图形的相似知识点总结及练习

相似三角形基本知识点总结及练习
知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念
1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那
么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n
例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。

2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即
d
c
b a =（或a ：b=
c ：
d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段
比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。

）
例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。

（2）比例性质
1.基本性质:
bc ad d c
b a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c
d
a b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换)
3.更比性质(交换比例的内项或外项)：
()()()a b
c d a c d c b d b a d b
c a ⎧=⎪⎪
⎪=⇒=⎨⎪
⎪=⎪⎩，
交换内项，交换外项．
同时交换内外项
4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）
如果
)0(≠++++====n f d b n
m
f e d c b a ，那么
b a n f d b m e
c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
例：已知的值求f
d b
e c a
f d b f e d c b a ++++≠++===),0(54
5.合比性质：
d
d
c b b a
d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．
知识点二：平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

用符号语言表示： ∵AD//BE//CF,
∴
2.推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。

几何语言：由DE ∥BC 可得：AC
AE
AB
AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.
例：如图，在四边形ABCD 中，AD//BC,EF//BC,
，则
=_______。

（1）是“A ”字型 （2）是“8”字型 经常考，关键在于找
知识点三：相似形多边形
1.定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。

2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。

3.判定：如果两个多边形的对应边成比列，对应角相等，那么这两个多边形相似。

（注意：判断两个多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比列，这两个条件缺一不可。

）
4.任意两个等边三角形相似，任意两个正方形相似，任意两个正n 边形相似。

例1：下列判断正确的是（ ）
A.两个矩形一定相似 。

B.两个平行四边形一定相似。

C.两个正方形一定相似。

D.两个菱形一定相似。

例2：小明将一张报纸对折，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，你能算出报纸的长与宽的比吗？
知识点四：黄金分割
(1) 定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果
AC
BC
AB AC =
，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

618.02
1
5≈-=AB AC 所以：AB AC 215-=
≈0.618AB 。

AB BC 2
5
3-= 例：已知线段AB=10cm,点C 是AB 的 黄
金分割点，且AC ＞BC ，求AC 和BC 的长。

(2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点. 作法：①过点B 作BD ⊥AB ，使
；
②连结AD ，在DA 上截取DE=DB ；
③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：
.
（3）黄金矩形：在矩形中，如果宽与长的比是黄金比，那么这个矩形叫做黄金矩形。

（4）黄金三角形：顶角为36。

的等腰三角形叫做黄金三角形，因为该三角形的底边比上腰长等于
例：如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角平分线．
(1)求证：AD2=CD·AC；
(2)若AC=a，求AD．
知识点五：相似三角形
1、相似三角形
（1）定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似（相似比为1）。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

（2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

（3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。

相似比为k。

（4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相
交，所构成的三角形与原三角形相似。

2.三角形相似的判定定理：
判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。

(此定理用的最多)
几何语言：在△ABC 和△DEF 中 如果<A=<D,<B=<E ，那么△ABC ∽△DEF
判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

几何语言：（如上图）在△ABC 和△DEF F 中 如果<A=<D,且
，那么△ABC ∽△DEF
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。

几何语言：（如上图）在△ABC 和△DEF 中
如果
，那么△ABC ∽△DEF
例1：如图，（1）若 AB
AE
________,则△ABC ∽△AEF ；（2）若∠E ＝________，则△ABC ∽△AEF 。

直角三角形相似判定定理: ○
1.有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

○
2.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

3.补充：直角三角形中的相似问题：
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理：
CD ²=AD ·BD ， AC ²=AD ·AB ， BC ²=BD ·BA
（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.
例：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，
(1)求证：AC 2
=AD ·AB ；BC 2
=BD ·BA ； (2)求证：CD 2=AD ·AD ； (3)求证：AC ·BC =AB ·CD ．
4.相似图形中常见的基本图形：
5.相似三角形的性质
①相似三角形对应角相等、对应边成比例.
②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).
③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
④两个相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根
⑤任意两个相似多边形的周长比都等于相似比，面积比都等于相似比的平方。

例1：已知△ABC∽△DEF，BD和EG是它们的对应中线，，，求BD的长。

例2：如果两个相似三角形的面积比为16:25，那么这两个相似三角形对应边的比是_______。

例3：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，DE//BC,AD=3BD,S⊿ABC=48求S⊿ADE
相似的应用：位似
（1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比
又称为位似比。

需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。

②两个位似图形的位似中心只有一个。

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

④位似比就是相似比。

（2）性质：①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）。

②位似图形上任意位似对应点和位似中心在同一条直线上。

③位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上。

④位似图形是特殊的相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心（位似中心可能在图形内部也可能在图形外部
也可能在图形上）
（2）确定原图形的关键点（通常是多边形的顶点）
（3）确定位似比
（4）根据位似比，找出新图形的关键点，最后将各点顺次连接。

坐标变换与图形的关系：在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，他们的相似比为∣k∣。

例1：下列说法中正确的有（）
（1）位似多边形一定是相似多边形。

（2）相似多边形一定是位似多边形
（3）两个位似多边形每一对对应点到位似中心的距离之比为2︰3，则两个多边形的面积之比为4︰9。

（4）两个位似多边形的对应边互相平行或在同一直线上。

例2：若△ABC与△DEF关于点O位似，其位似比是1:2，AO=5，则对应点A、Ｄ之间的距离是。

例3：在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(6，0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短后得到线段A1B1，则A1B1，的长度等于。

第5题
B
C D E A
历年中考试题练习
一、选择题 1、如图1,已知AD 与BC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC 的大小为（ ）
A.60°
B.70°
C.80°
D.120°
2、如图，已知D 、E 分别是的AB 、 AC 边上的点，且 那么等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 :
3、如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是的中点，则与的面积比是（ ） A ． B ． C ． D ．
第3题图 第4题图
4、如上图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ）
A.5:3
B.3:5
C.4:3
D.3:4 5、如图，在中，、分别是、边的中点，若，则等于（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
6、已知，相似比为3，且的周长为18，则的周长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．54
ABC ∆,DE BC //1ADE DBCE S S :=:8,四边形:AE AC DEF △ABC △O D E F ，，OA OB OC ，，DEF △ABC △1:61:51:41:
2ABC ∆D E AB AC 6BC =DE ABC DEF △∽△ABC △DEF △A
B C D O 图1
B A D E
7、如图,Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于 D ,设BP =x ,则PD+PE =（ ）
A. B. C.
D.
8、 如图，在Rt △ABC 内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、
9、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影
部分的面积是△ABC 的面积的 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
二、填空题
1、如图，两点分别在的边上，与不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，．
2、如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个三角形面积的比是 ．
3、如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点D,
BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ； 并写出它的面积比 .
4、两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为 ．
5、如图4，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=
35
x +45
x -
72
212125
25
x x -
,,a b c ,,a b c b a c =+b ac =222b a c =+22b a c ==9192319
4
D E ，ABC △AB AC ，DE BC ADE ACB △∽△1:
3（第10题） A ． B ． C ． D ．
A
B
C
D
E
P
D
B
第3题图
第9题
9、如图，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ，OB 的中点D ，测得CD =30米，则AB =______米．
11、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为__ ____米．
三、解答题
1、如图，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，
点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：EF ∥BC.
（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.
2、如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．
求证：（1）；
（2）
CG AE =.MN CN DN AN ∙=
∙
3、如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交于点．
（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求．
4、如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，。

⑴求证：△ABF ∽△CEB;
⑵若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积。

5、如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ．
（1）求证： ADE ∽BEF ；
（2）设正方形的边长为4， AE =，BF =．当取什么值时， 有最大值?并求出
这个最大值．
ABCD ACED R DE BR AC CD ，P Q ，::BP PQ QR CD DE 2
1
=∆∆x y x y A B
C
D E
P
O R F
A
D
E
B
C
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
以下无正文
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Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
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