2024年福建省福州市鼓楼区杨桥中学中考数学适应性试卷(4月份)+答案解析

2024年福建省福州市鼓楼区杨桥中学中考数学适应性试卷（4月份）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各数中，是无理数的是()
A.1
B.
C.0
D.
2.下列运算正确的是()
A. B.
C. D.
3.若★，则★代表的代数式是()
A. B. C. D.
4.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F 为焦点.若，，则的度数为()
A. B. C. D.
5.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足
则b的值可以是()
A.2
B.
C.
D.
6.在同一平面直角坐标系中，函数和交于点A，则点A的纵坐标为()
A.2
B.
C.
D.
7.如图，在▱ABCD中，，，点M、N分别是BC、AD的
中点，连接AM、若四边形AMCN为菱形，则▱ABCD的面积为()
A. B. C.12 D.15
8.有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了m 个人，则第二轮被传染上流感的人数是()
A. B. C. D.
9.阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹
角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为：；；
现已知在中，，，，则
AC的长为()
A. B. C. D.
10.已知二次函数其中x是自变量的图象经过不同两点，
，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为()
A. B.2 C.3 D.4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.写出一个绝对值小于的负整数是______写出符合条件的一个即可
12.5G是第五代移动通信技术，其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，正常下载一部高清电影约需1秒．将1300000用科学记数法表示为______.
13.因式分解：______.
14.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD，则的度数是______度．
15.位于第一象限的点A在直线上，过点A作轴，交双曲线于点若点A与点B关
于y轴对称，则点A的坐标为______.
16.如图，在矩形ABCD中，，，点E在AB上，将沿直线
DE折叠，使点A恰好落在DC上的点F处，连接EF，分别与矩形ABCD的两条对角
线交于点M和点给出以下四个结论：①是等腰直角三角形；②：
：4；③；④，其中正确的结论序号
是______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题8分
计算：
18.本小题8分
先化简，再求值：，其中：
19.本小题8分
如图，四边形
ABCD是平行四边形，，，垂足分别为E，F，证明：
20.本小题8分
在某个滚珠游戏中，放入的滚珠随机落入如图所示的田字格中的某一格每个格子只能容纳一粒滚珠现放入一粒滚珠，这粒滚珠正好落入左上角的格子里的概率为______；
若依次放入两粒滚珠，求这两粒滚珠落入的两个格子正好成对角线的概率请用“画树状图”或“列表”
等方法写出分析过程
21.本小题8分
如图，在中，，点D在边BC上，连接AD，过点D作射线
在射线DE上求作点M，使得，且点M与点C是对应点；要求：尺规作图，不写
作法，保留作图痕迹
在的条件下，若，，求DM的长．
22.
23.本小题10分
如图，在的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画，与边AB相切于点D，，连接OA交于点E，连接CE，并延长交线段AB于点
求证：AC是的切线；
若，，求的半径．
24.本小题13分
【基础巩固】如图，在中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，，AF交DE于点若，求证：
【尝试应用】如图，在的条件下，在等边中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，，
AF分别交DE，CD于G，H两点.若，，求的值.
【拓展提高】如图，在▱ABCD中，，AC与BD交于点O，E为AO上一点，
交AD于点G，交BC于点F，若，FG平分，，直接写出BF的长.
25.本小题13分
已知抛物线与
x轴交于点A，点A在点B的左侧，与y轴交于点直接写出A，B，C三点的坐标；
如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，于点D，求PD的最大值；
如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线
上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1，0，是有理数，
是无理数，
故选：
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，…每两个
8之间依次多1个等形式．
2.【答案】D
【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：
直接利用积的乘方运算法则、合并同类项、完全平方公式分别判断得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算法则、合并同类项、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】D
【解析】解：，
，
故选：
根据题意，计算★即可确定正确的选项．
本题考查了列代数式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：，
，
，
，
，
故选：
由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，
由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
5.【答案】B
【解析】有题意可知，在数轴上的位置如图所示：
，
在A，B，C，D四个选项中，只有在数轴上的到a之间．
故选：
将在数轴上表示出来，可得出b在数轴上的位置．
本题主要考查了数轴中相反数的表示，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：函数和交于点A，
，
，
故选：
将代入解出y值即可．
本题考查了两条直线的相交问题，交点坐标满足两个函数解析式．
7.【答案】C
【解析】解：如图，连接AC，
四边形AMCN是菱形，
，
点M是BC的中点，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
故选：
连接AC，由菱形的性质得，再证，则是直角三角形，且，
进而由勾股定理得，，然后由平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：因为在每轮的传染中平均一个人传染了m个人，
所以经过一轮传染后有人染上流感，
所以第二轮被传染上流感的人数是人．
故选
本题考查了用字母表示数．
由每轮传染中一人传染的人数，可得出经过一轮传染后染上流感的人数，再利用第二轮被传染上流感的人数
=经过一轮传染后染上流感的人数每轮传染中一人传染的人数，即可得出结论．
9.【答案】B
【解析】解：，，，，
，
即，
解得，不合题意，舍去，
，
故选：
根据，，，，可以计算出AC的长．
本题考查解直角三角形、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
10.【答案】C
【解析】解：由二次函数的图象与x轴有公共点，
，即①，
由抛物线的对称轴，抛物线经过不同两点，，
，即，②，
②代入①得，，即，因此，
，
，
故选：
求出抛物线的对称轴，再由抛物线的图象经过不同两点，，也可以得到对称
轴为，可得，再根据二次函数的图象与x轴有公共点，得到，进而求出b、c的值．
本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键．
11.【答案】答案不唯一
【解析】解：，
，
是绝对值小于的负整数，
故答案为：答案不唯一
运用算术平方根和绝对值的知识进行求解．
此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根和绝对值的知识进行求解．
12.【答案】
【解析】解：将数据1300000用科学记数法可表示为：
故答案为：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】
【解析】解：
故答案为
先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，注意分解因式要彻底．
14.【答案】36
【解析】解：根据正五边形的性质，≌，
，
根据正五边形的性质和内角和为，得到≌，，，先求出和的度数，再求就很容易了．
本题考查了正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为
15.【答案】
【解析】解：因为点A为直线上，因此可设，
则点A关于y轴对称的点，
由点B在双曲线上可得
，
解得，负数舍去
，
故答案为：
根据点A为直线上，可设，由点A与点B关于y轴对称，于是可得，再根据反比例函数图象上点的坐标关系得出答案．
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称的性质，理解一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
16.【答案】①③
【解析】解：①将沿直线DE折叠，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
故①正确；
②，
，
将沿直线DE折叠，
，，，
，
，
∽，
：：：：9，
故②错误；
③，
，，
，，
，
，
故③正确；
④如图，过点E作于H，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
故④错误，
故答案为：①③．
由折叠的性质和直角三角形的性质可得，可判断①；通过证明∽，可得：
：9，可判断②；由平行线分线段成比例可求EM，FG，GM的长，可判断③；由勾股定理和锐角三角函数可求EH的长，可判断④，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17.【答案】解：
【解析】根据负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值是解题的关键．
18.【答案】解：原式
，
当时，
原式
【解析】先把括号里面进行通分，再把除法化为乘法，进行约分，最后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，熟练运用运算法则是本题的关键．
19.【答案】证明：，，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
在和中
≌，
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质．
由全等三角形的判定定理得≌，得出对应边相等即可．
20.【答案】
【解析】解：放入的滚珠随机落入田字格中的某一格每个格子只能容纳一粒滚珠，
现放入一粒滚珠，这粒滚珠正好落入左上角的格子里的概率为，
故答案为：；
如图，把四个格子按顺时针依次记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这两粒滚珠落入的两个格子正好成对角线的结果有4种，即AC、BD、CA、DB，
这两粒滚珠落入的两个格子正好成对角线的概率
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有12种等可能的结果，其中这两粒滚珠落入的两个格子正好成对角线的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：如图点M即为所求．
∽，
，
在中，，
，
，
，
，
【解析】作即可．
证明∽，利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查作图-复杂作图，相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】
【解析】
23.【答案】解：如图，连接OD，
与边AB相切于点D，
，即，
在和中，
，
≌，
，
，
又是半径，
是的切线；
，
设，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故的半径为
【解析】连接OD，由切线的性质可得，由“SSS”可证≌，可得
，可得结论；
由锐角三角函数可设，，由勾股定理可求，再由勾股定理可求解．
本题是考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，熟记切线的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键．
24.【答案】解：，
，，
∽，
，
同理，，
，
；
，，
，
，，
在和中
≌，
，
，
，
，，
在和中
≌，
，
由知，，
，
，
解得，；
值不能为负，舍去负值，
；
【解析】见答案，
见答案，
延长GE交AB于M，连接MF，过点M作于N，四边形ABCD为平行四边形，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
根据证明∽，同理可证明∽得到，于是根据即可证得答案；
根据条件证明≌，设，，于是证明≌，根据得到m，n的关系式进而得到答案；
延长GE交AB于M，连接MF，过点M作于N，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：对于，令，则，
，，
点，点，
令，则，
点；
解：过点
P作轴于E，交BC于点F，如图1：
设直线BC的解析式为，
将点，代入得：
，
解得：，
直线BC的解析式为，
设，则，
，
轴，
轴，
，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
，
当时，PD最大为；
证明：如图2，设点，，
直线MN：，直线CM：，直线BN：，
将点代入直线CM的解析式得：，
将点代入直线BN的解析式得：，
联立直线MN与抛物线的解析式得：，
整理得：，
则，，
同理：，，
，，
，，
，
，联立直线CM与直线BN的解析式得：，
解得：，
直线BN与直线CM的交点始终在直线上，
，
化简得：，
，
直线MN：，
第21页，共21页不论为何值，均有时，，
即：直线MN
恒过定点
【解析】令和，解方程可求解；
过点P 作轴于E ，交BC 于点F ，利用待定系数法可得直线BC
的解析式为，设
，则，则，再证得∽，
可得，得出，再运用二次函数的性质即可求得答案；
设点，，直线MN ：
，直线CM ：，直线BN ：，将点C 、B 的坐标代入可得：，，联立直线MN 与抛物线的解析式可得出
，，同理：，，进而可得：，，根据直线BN 与直线CM 的交点始终在直线
上，可得，，即直线MN ：，故直线MN
恒过定点
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的极值，相似三角形的判定与性质等知识，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．。