2.2 平面向量的线性运算

2.2 平面向量的线性运算
2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式
：
a b a b a b -≤+≤+ ．
⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+
；
②结合律：()()
a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+=
．
⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++
．
3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--
．
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--
． 4、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ
． ①
a a λλ= ；②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a
的方向相反；当0λ=时，
0a λ=
．
⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+
；③()
a b a b λλλ+=+ ．
⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==
．
5、向量共线定理：向量()
0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．设()11,a x y =
，()22,b x y = ，
其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()
0b b ≠
共线．
课堂训练 一．选择题
1．下列命题正确的是（ ） Ａ．若∥a b ，则a 与b 同向
Ｂ．若∥a b ，则a 与b 同向或反向 Ｃ．若a =0，则a 与0共线
Ｄ．若a 不为0，则a 与0不共线
且3AC CB =-
，设
2．如图1所示，向量 ，，OAOB
OC 的终点A B C ，，在一条直线上，=
OA p ，= OB q ，= OC r ，则以下等式中成立的是（ ）
Ａ．13
22
r p q =-+
Ｂ．2r p q =-+
b
a
C
B
A
a b C C -=A -AB =B
Ｃ．3122
r p q =
- Ｄ．2r q p =-+
3．如图2所示，在菱形ABCD 中，120DAB ∠= ，则以下说法错误的是（ ） Ａ．与AB 相等的向量只有一个（不含AB
本身） Ｂ．与AB 的模相等的向量只有4个（不含AB
本身） Ｃ．BD 的长度恰为DA
Ｄ．CB 与DA
不共线
4．将1
[2(28)4(42)]12
+--a b a b 化简成最简式为（ ） Ａ．2a b - Ｂ．b a - Ｃ．a b - Ｄ．2b a -
5．已知G 是ABC △的重心，如图1所示，则GA GB GC +-=
（ ） Ａ．0 Ｂ．4GE
Ｃ．4GD
Ｄ．4GF
6．若9AB = ，6AC = ，则BC
的取值范围为（ ）
Ａ．[315]
，
Ｂ．[39]， Ｃ．(315)，
Ｄ．[69]，
二．填空题
7．已知非零向量1e 和2e 不共线，欲使t 12+e e 和1+e t 2e 共线， 则实数t 的值为 ．
8．平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点．设AB = a ，AD = b ，则=
MN （用a ，b 表
示）．
9．已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC AB ∠==
，
a ，AC = c ，BC =
b ，则a b
c ++= ．
10．已知OA = a ，OB = b ，若12OA = ，5OB =
，且90AOB ∠= ，则-=a b ． 11．在菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，1AB = ，则BC DC +=
．
12．在静水中划船速度是10米／分钟，水流速度10米／分钟，如果船从岸边径直沿垂直于水流方向行走，那么船实际行进速度应是 ．实际行进方向与水流方向的夹角为 ． 三．解答题
13．两个非零向量12，e e 不共线．
（1）若= AB 12e e +，BC = 1228e e +，CD =
123()-e e ，求证：，，A B D 三点共线； （2）求实数k ，使k 12e e +与12+e k 2e 共线．
14．一艘军舰从基地A 出发向东航行了200海里到达基地B ，然后又改变航向向东偏北60 航行了400海里到达C 岛，最后又改变航行，向西航行了200海里到达D 岛．
（1）试作出向量AB BC CD
，，；
（2）求AD ．
15．如图4，在ABC △中，在AC 上取点N ，使得13AN AC =，在AB 上取点M ，使得1
3AM AB =，在BN 的延长
线上取点P ，使得12NP BN =
，在CM 的延长线上取点Q ，使得1
2
MQ CM =，用向量的方法证明P A Q ，，三点共线．
16．一架飞机向北飞行300 km ，然后改变方向向西飞行400 km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成．
17．已知ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，用向量a ，b 分别表示向量OC ，OD
，DC ，BC ．
18．飞机从甲地以北偏西15˚的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地以南偏东75˚的方向飞行1400km 到达丙地．试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
第19题．如图，13AM AB = ，13
AN AC =
．
求证：13
MN BC = ．
同步提升
一.选择题(每题5分)
1.设b →
是a →
的相反向量,则下列说法错误的是( ) A .a →
与b →
的长度必相等 B .a b
C .a →
与b →
一定不相等 D .a →
是b →
的相反向量
2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a →
、b →
、c →
,则向量OD 等于( ) A .a b c ++ B .a b c -+ C .a b c + - D .a b c
-- 3.(如图)在平行四边形ABCD 中,下列正确的是( ).
A .A
B CD = B .
AB AD BD -=
C .A
D AB AC += D .AD BC 0+= 4.+++等于( ) A . B . C .AC D .CA
5.化简SP PS QP OP ++-的结果等于( )
A 、
B 、
C 、
D 、
A A
B O
C = B AB ∥DE
C A
D B
E =
D AD FC =
7.下列等式中,正确的个数是( )
①a b b a +=+ ②a b b a = --③0a a -=- ④(a )a --= ⑤a (a )0+-=
A .5
B .4
C .3
D .2
8.在△ABC 中,AB a = ,AC b = ,如果a||b|=
|,那么△ABC 一定是( ).
A .等腰三角形
B .等边三角形
C .直角三角形
D .钝角三角形
9.在ABC ∆中,BC a =
,CA b =
,则AB 等于( )
A .a b +
B .(a b )-+
C .a b -
D .b a -
10.已知a 、b 是不共线的向量,AB a b λ=+ ,AC a b μ=+
(λ、R μ∈),当且仅当( )时, A 、B 、C 三点共线. ()1A λμ+= ()1B λμ-=
()1C λμ=-
()1D λμ=
二.填空题(每题5分)
11.ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a,AD b ==
,则MA = ______,
MB = ______,MC = ______,MD =
______.
12.已知向量a 和b 不共线,实数x ,y 满足b y x a b a y x
)2(54)2(-+=+-,则=+y x ______
13.在ABCD 中,AB a,AD b ==
,则AC = ______,DB = ______.
14.已知四边形ABCD 中,1AB DC 2
=
,且AD BC = 则四边形ABCD 的形状是______.
三.解答题
15.化简下列各式:
(1)=++++______;
(2)()()AB MB BO BC OM ++++=
______.
（3）=-++-)()(______.
16.某人从A 点出发向西走了10m ,到达B 点,然后改变方向按西偏北︒60走了15m 到达C 点,最后又向东走了10米到达D 点.
(1)作出向量AB ,,(用1cm 长线段代表10m 长);(2)求DA
17.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O ,E 、F 分别是AC 和BD 的中点,分别写出 (1)图中与、共线的向量; (2)与相等的向量.
C
D
A
B
N
M
18.在直角坐标系中,画出下列向量: (1)a 2= ,a
的方向与x 轴正方向的夹角为 60,与y 轴正方向的夹角为 30;
(2)a 4=
,a
的方向与x 轴正方向的夹角为 30,与y 轴正方向的夹角为 120;
(3)a
=
,a
的方向与x 轴正方向的夹角为 135,与y 轴正方向的夹角为 135.
19.在ABC ∆所在平面上有一点P ,
使得=++,试判断P 点的位置.
20.如图所示,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 边中点,点N 在BD 上且BD BN 3
1
=,求证:M 、N 、C 三点共线.
2.2 平面向量的线性运算 课堂训练参考答案
一．选择题 1~5 CADDD 6 A 二．填空题
7．1± 8．1
()2
-a b 9．2 10．13 11．45
三．解答题 第13题．
（1）证明：=++= AD AB BC CD 1266+=e e 6AB
， A B D ∴，，三点共线；
（2）解： k 12+e e 与12e +k 2e 共线， ∴k 12+=e e λ（12e ＋k 2e ），
(2)λ∴-k 1e ＋(1)k λ-2e =0，
20
1k k k λλ-=⎧∴⇒=⎨-⎩
，，
第14题．
解：（1）向量AB
BC CD ，，如右图所示．
（2）根据题意，易知AB 和CD 方向相反，故AB 与CD
共线．
又AB CD = ，
∴在四边形ABCD 中，AB CD
∥，四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴= ，400AD BC ∴==
海里．
第15题．
证明：111()()222
AP NP NA BN CN BN NC BC =-=-=+=
，
111()()222
QA MA MQ BM CM BM MC BC =-=-=+= ，
AP QA ∴= ，
P A Q ∴，，三点共线．
第16题．
飞机飞行的路程是700 km ；两次位移的合成是向北偏西约53˚方向飞行500 km ．
第17题．
OC a =- ，OD b =- ，DC b a =- ，BC a b =--
．
第18题．
丙地在甲地的北偏东45˚方向，距甲地1400km ．
第19题．
证明：因为MN AN AM =-
，
而13AN AC = ，13AM AB = ，
所以1133MN AC AB =- ()
1133
AC AB BC =-= ．
同步提升参考答案 一.选择题(每题5分)
1.C
2. B
3.C
4.B
5. B
6.D
7.C
8.A
9.B 10.D 二.填空题(每题5分)
11.111(a b ),(a b ),(a b )222-+-+ ,1(b a )2-
12.1 13.a b + ,a b
- 14.等腰梯形
三.解答题(每题10分)
15.(1)0
(2)AC （3）0
16.【解答】(1)如图,
(2)∵-=,
故四边形ABCD 为平行四边形, )
m (15==DA BC
17.【解答】与EF 共线的向量有AB 、; 与CO 共线的向量有CE ,CA ,OE ,OA ,; 与EA 相等的向量是
18.【解答】
19.【解答】 PA PB PC AB ++=
(
)
PA PA AB PC AB ∴+++=
,故-=2
A ∴、P 、C 三点共线,
且P 是线段AC 的三分点中靠近A 的那一个
20.【解答】提示:可以证明MC 3MN =
C
D
A
B
N
M。