华东师大初中数学九年级上册图形与坐标--知识讲解

图形与坐标—知识讲解
【学习目标】
1．能建立适当的平面直角坐标系确定物体的位置；
2. 能在同一坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化.
【要点梳理】
要点一、用坐标确定位置
根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起．利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向；
（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
要点诠释：
(1)建立坐标系的关键是确定原点和坐标轴的位置，我们一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法，例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等，而建立平面直角坐标系的方法是不唯一的．所建立的平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标不同．
(2)应注意比例尺和坐标轴上的单位长度的确定．
要点二、图形的变换与坐标
1.点的平移：
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．
要点诠释：
（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
要点诠释：
（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．
（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
【典型例题】
类型一、用坐标确定位置
1．王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），你能帮她求出其他各景点的坐标吗？
【思路点拨】由游乐园D的坐标为（2，﹣2），可以确定平面直角坐标系中原点的位置，以及坐标轴的位置，从而可以确定其它景点的坐标．
【答案与解析】
解：由题意可知，本题是以点F为坐标原点（0，0），FA为y轴的正半轴，建立平面直角坐标系．则A、B、C、E的坐标分别为：A（0，4）；B（﹣3，2）；C（﹣2，﹣1）；E（3，3）．【总结升华】由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键．
2．（2016春•潮南区月考）写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标并回答：
（1）点B、E的位置有什么特点；
（2）从点B与点E，点C与点D的位置看，它们的坐标有什么特点？
【思路点拨】根据图象可直观看出点B和点E在y轴上，且到x轴的距离都是2个单位长度所以它们关于x轴对称；点C与点D也是关于x轴对称，所以它们的横坐标相同纵坐标互为相反数．
【答案与解析】
解：（1）点B（0，﹣2）和点E（0，2）关于x轴对称；
（2）点B（0，﹣2）与点E（0，2），点C（2，﹣1）与点D（2，1），它们的横坐标相同纵坐标互为相反数．
【总结升华】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
举一反三：
【变式】一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置．
(1)画出坐标系确定宝藏的位置；
(2)确定点P的坐标．
【答案】
解：根据数据的特点，选择250作为单位长度，以大圆石O为原点，建立平面直角坐标系．
(1)如图，中心带有箭头的线是行动路线，点P的位置如图所示．
(2)点P的坐标是(500，250).
类型二、图形的变换与坐标
3.将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P′（-1，3），则点P的坐标是．
【思路点拨】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，本题需注意的是已知新点的坐标，求原来点的坐标，注意平移的顺序的反过来的运用．
【答案】（1，2）．
【解析】新点P′的横坐标是-1，纵坐标是3，点P′向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到原来的点P，即点P的横坐标是-1+2=1，纵坐标为3-1=2．则点P的坐标是（1，2）．【总结升华】左右平移的单位数是平移后点的横坐标减去平移前对应点的横坐标，上下平移的单位数是平移后点的纵坐标减去对应平移前点的纵坐标．
举一反三：
【变式】已知：两点A（-4，2）、B（-2，-6），
(1)线段AB的中点C坐标是；
(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点
的坐标是．
(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2
点的坐标是．
【答案】（1）(-3, -2)； (2)(1,2),(3,-6)； (3)(-4,-1),(-2,-9).
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α度的角，得到矩形CFED，设FC与AB交于点H，且A（0，4）、C（8，0）．
（1）当α=60°时，△CBD的形状是．
（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式．
【思路点拨】（1）先根据旋转的性质得∠BCD=60°，CB=CD，然后根据等边三角形的判定方法得到△CBD为等边三角形；
（2）设AH=HC=x，则BH=8﹣x，CB=4，在Rt△CBH中，根据勾股定理得到x2=（8﹣x）2+42，解得x=5，则H点的坐标为（5，4），然后根据待定系数法确定直线FC的解析式．
【答案与解析】
解：（1）∵矩形COAB绕点C顺时针旋转60度的角，得到矩形CFED，
∴∠BCD=60°，CB=CD，
∴△CBD为等边三角形；
（2）∵A（0，4）、C（8，0），
∴OA=BC=4，OC=AB=8，
设AH=HC=x，则BH=8﹣x，CB=4，
在Rt△CBH中，
∵CH2=BH2+BC2，
∴x2=（8﹣x）2+42，解得x=5，
∴H点的坐标为（5，4），
设直线FC的解析式为y=kx+b，
把C（8，0）、H（5，4）代入得，解得，
∴直线FC的解析式为．
【总结升华】本题考查了坐标与图形变化变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
5.在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC关于y
轴的对称图形是△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1关于直线l 的对称图形是△A 2B 2C 2，写出△A 2B 2C 2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P 的坐标是（-a ，0），其中a ＞0，点P 关于y 轴的对称点是P 1，点P 1关于直线l 的对称点是P 2，求PP 2的长．
【思路点拨】（1）根据关于y 轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△A 1B 1C 1各点坐标，又关于直线l 的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△A 2B 2C 1的三个顶点的坐标；
（2）P 与P 1关于y 轴对称，利用关于y 轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P 1的坐标，再由直线l 的方程为直线x=3，利用对称的性质求出P 2的坐标，即可PP 2的长．
【答案与解析】
(1)∵A （-2，0），B （-1，0），C （-1，2），△ABC 关于y 轴的对称图形是△A 1B 1C 1， ∴A 1（2，0），B 2（1，0），C 2（1，2）
∵直线l 过点M （3，0），且平行于y 轴，
∴△A 2B 2C 2的三个顶点的坐标分别是A 2（4，0），B 2（5，0），C 2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a ≤3时，
∵P 与P 1关于y 轴对称，P （-a ，0），
∴P 1（a ，0），
又∵P 1与P 2关于l ：直线x=3对称，
设P 2（x ，0），可得：2
x a =3， 即x=6-a ，
∴P 2（6-a ，0），
则PP 2=6-a-（-a ）=6-a+a=6．
如图2，当a ＞3时，
∵P 与P 1关于y 轴对称，P （-a ，0），
∴P 1（a ，0），
又∵P 1与P 2关于l ：直线x=3对称，
设P 2（x ，0），可得：2
x a =3，即x=6-a ， ∴P 2（6-a ，0），
则PP 2=6-a-（-a ）=6-a+a=6．
【总结升华】考查了学生关于变换与坐标知识的综合运用能力．其解决的过程体现了数学内在的和谐美，体现了对学生“操作--发现--猜想”的能力的考查.
举一反三：
【变式】如图，△ABC 在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A 的坐标是（-2，3），先把△ABC 向右平移4个单位得到△A 1B 1C 1，再作△A 1B 1C 1关于x 轴对称图形△A 2B 2C 2，则顶点A 2的坐标是（ ）.
A ．（-3，2）
B ．（2，-3）
C ．（1，-2）
D ．（3，-1）
【答案】B.。