人教A版高中数学必修一 二次函数与一元二次不等式 (解析版)

二次函数与一元二次不等式
一、知识聚焦
考点一 数学建模-不等式的应用
例题6. 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳
税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 【解析】设税率调低后“税收总收入”为y 元．
y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－
1225
m (x 2
＋42x －400)(0<x ≤8)． 依题意，得y ≥2 400m ×8%×78%，
即－12
25m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%， 整理，得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知x 的范围为0<x ≤2.
考点二 数学运算-解不等式
例题7、解下列不等式
(1)－x 2＋2x －3<0； (2)－3x 2＋5x －2>0. 【答案】(1) R (2)
⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
23
<x <1
【解析】(1)原不等式可化为x 2－2x ＋3>0， 由于Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无解， ∴不等式－x 2＋2x －3<0的解集为R . (2)原不等式可化为3x 2－5x ＋2<0，
由于Δ>0，方程3x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1＝2
3，x 2＝1， ∴不等式－3x 2
＋5x －2>0
的解集为⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
23<x <1
. 考点三 直观想象-不等式恒成立
例题8.若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1时，y <0恒成立，如何求x 的取值范围？
【答案】不存在
【解析】要使对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立，只需满足
⎩
⎨⎧
2x ＋x 2
－4x ＋4＜0－3×2x ＋x 2
－4x ＋4＜0， 即⎩⎨⎧
x 2
－2x ＋4<0，x 2－10x ＋4<0.
因为x 2－2x ＋4<0的解集是空集，
所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立． 二、学业质量测评
一、选择题
1．（2019·全国高一课时练习）不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为 （ ）
A ．{|12}x x ≤≤－
B ．{|12}x x <<－
C ．1-12x x x ⎧
⎫>-≤⎨⎬⎩⎭
或 D ．}{21x x x <-或
【答案】A
【解析】由二次函数()()12y x x =+-的图象可知，不等式的解是12x ≤≤－，故选A.
2．（2019·全国高一课时练习）若关于x 的一元二次方程2
(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取
值范围为（ ） A ．0k ≥ B ．0k ≥且2k ≠ C ．32
k ≥
D ．3
2
k ≥
且2k ≠ 【答案】D
【解析】（k -2）x 2-2kx +k -6=0，
∵关于x 的一元二次方程（k -2）x 2
-2kx +k =6有实数根，∴
2
20(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨∆=----⎩…
，
解得：3
2
k ≥且k ≠2． 故选D ．
3．（2019·全国高一课时练习）若0a <，则不等式()110a x x a ⎛
⎫
++
< ⎪⎝⎭
的解集是（ ) A ．1 1,a ⎛
⎫--
⎪⎝⎭
B ．1 ,1a ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
C ．()1 ,1,a ⎛
⎫
-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭
D ．()1,1,a ⎛⎫
-∞-⋃-
+∞ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】0a <，对应二次函数()11y a x x a ⎛
⎫
=++
⎪⎝⎭
抛物线开口向下，小于零的解集为“两根之外”，又101a -
>>-，故解集为()1,1,a ⎛⎫
-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭
，故选D . 4．（2018·全国高二单元测试）设R x ∈，则“1
2
x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意得，不等式2210x x +->，解得1x <-或12x >，所以“1
2
x >”是“2210x x +->”的充分而不必要条件，故选A ．
5．（2019·全国高一课时练习）已知方程()2
250x m x m +-+-=的两根都大于2，则实数m 的取
值范围是（ ) A.(][) 5,44,--⋃+∞ B.(]
5,4--
C.() 5,-+∞
D.[)[
)4,24,--⋃+∞
【答案】B
【解析】方程()2
250x m x m +-+-=的两根都大于2，则二次函数()2
25y x m x m =+-+-的
图象与x 轴的两个交点都在x=2的右侧，根据图象得：方程的判别式0∆≥；当2x =时函数值0y >；
函数对称轴2
22m -->。

即()()()22450422502
2
2m m m m m ⎧
⎪---≥⎪+-+->⎨⎪-⎪->⎩
，解得54m -<≤-，所以正确选项为B. 6．（2019·全国高一课时练习）函数22
28(0)y x ax a a =-->，记0y ≤的解集为A ，若(),1
A -⊆，
则a 的取值范围（ ） A.1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C.11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D.11,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】A
【解析】函数()()2
2
2824y x ax a x a x a =--=+-，抛物线开口向上，又0a >，所以24a a -<,
则
0y ≤的解集为[]
2,4A a a =-，得2141
a a -≤-⎧⎨≥⎩，解得1
2a ≥，所以正确选项为A 。

二、填空题
7．（2018·甘肃武威十八中高二单元测试）已知不等式11
ax
x <-的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a ＝________. 【答案】12
【解析】
()1101
a x x -+<-，得()11010a x x ⎧-+<⎨
->⎩或()11010
a x x ⎧-+>⎨
-<⎩，
又解为1x <或2x >， 则12
a =。

8．（2019·北京市十一学校高一单元测试）关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式
02
ax b
x +>-的解集为______ 【答案】()(),12,-∞-+∞
【解析】不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，故0a >且0a b -=，
故
02ax b
x +>-可化为()102
a x x +>-即()()120x x +->， 它的解为()(),12,-∞-+∞，填()(),12,-∞-+∞.
9．（2019·北京市十一学校高一单元测试）方程230x kx k -++=的两个根均大于2,则k 的取值范围是__________ 【答案】67k ≤< 【解析】如图所示：
必须同时满足以下三个条件： ①()24230f k k =-++> ②对称轴22
k
x =
> ③()2
430k k =-+≥ 联立解得67k ≤<
10．（2016·黑龙江高一期中（文））已知关于x 的不等式22
(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集，
则实数a 的取值范围是 ． 【答案】6
[2,)5
- 【解析】
试题分析：由题意知()
()2
2
4210a x a x -++-<恒成立，当2a =-时，不等式化为10-<，显然
恒成立；当2a ≠-时，则()
()
222
40
{2440a a a -<++-<，即625a -<<，综上实数a 的取值范围是6
[2,)5
-，故答案填6
[2,)5
-. 三、解答题
11．（2019·全国高一课时练习）解下列一元二次不等式： (1)2 76x x -+>；
(2)()
()2
42214x x x x -+>-．
【答案】(1){|16}x x <<；(2)2
{|}3
x x ≠.
【解析】(1)不等式2 76x x -+>，即()()2
760610x x x x -+->⇒-+->，对应抛物线开口向
下，不等式解集为“两根之间”，所以解集为{|16}x x <<
(2)()
()2
42214x x x x -+>-，化简291240x x -+>，对应方程0∆=，方程的根122
3
x x ==
所以解集为2
{|}3
x x ≠.
12．（2019·全国高一课时练习）不等式x 2﹣3x +2＞0的解集记为p ，关于x 的不等式x 2
+（a ﹣1）x ﹣
a ＞0的解集记为q ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】﹣2＜a ≤﹣1
【解析】由不等式x 2
﹣3x +2＞0得，x ＞2或x ＜1； 不等式x 2
+（a ﹣1）x ﹣a ＞0等价为（x ﹣1）（x +a ）＞0，
①当﹣a ≤1，即a ≥﹣1时，不等式的解是x ＞1或x ＜﹣a ， ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴﹣a ≥1，即a ＝﹣1，
②若﹣a ＞1，即a ＜﹣1时，不等式的解是x ＞﹣a 或x ＜1， ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴﹣a ＜2，即﹣2＜a ＜﹣1， 综上﹣2＜a ≤﹣1．
13．（2019·全国高一课时练习）已知关于x 的不等式220x x a a -+-≤． (1)求不等式的解集A ； (2)若1
2
a >
，()1,1A ⊆-，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) ，当1 2a <
时，{|1}A x a x a =≤≤-；当1 2a =时， 12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
；当1 2a >时，
{|1}A x a x a =-≤≤；(2)1
12
a <<.
【解析】(1) ()()2
2
10⎡⎤-+-=---≤⎣⎦x x a a x a x a ，
当1a a <-（1
2
a <）时，不等式解集为{|1}x a x a ≤≤-； 当1a a >-（1
2a >
）时，不等式解集为{|1}x a x a -≤≤； 当1a a =-（12a =）时，不等式解集为1
{|}2x x =.
所以，当1
2a <时，不等式解集为{|1}A x a x a =≤≤-；
当1 2a =时，不等式解集为12A ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
；
当1 2
a >
时，不等式解集为{|1}A x a x a =-≤≤.
(2)由上(1)，
1
2
a>时，()
{|1}1,1
A x a x a
=-≤≤⊆-，所以
11
1
a
a
->-
⎧
⎨
<
⎩
，得1
a<，
所以，实数a的取值范围1
1 2
a
<<.。