高中数学奥林匹克试题及解答厦门缺答案 试题

2021第八届女子数学奥林匹克〔〕

时间：

2022.4.12 单位： ……*** 创编者： 十乙州

第一天

〔2021年8月13日 上午8：00—12：00〕

1．求证：方程)(2009c b a abd ++=只有有限组正整数解〔c b a ,,〕

2．如图，在△ABC 中，∠=BAC 90°，

点E 在△ABC 的外接圆Γ的弧BC

〔不含点A 〕内，EC AE >。连接EC

并延长至F ，使得∠=EAC ∠CAF ，

连接BF 交圆Γ于点D ，连接ED ，记

△DEF 的外心为O 。求证：O C A ,,三

点一共线。

3．设平面直角坐标系中点集

y x y x P P P n ,|),[(},...,,{1421=+为整数，},0,||,||=≤≤xy n y n x

期中n 为正整数，求21142144232221)()(...)()(P P P P P P P P n n n ++++最小值

4．设平面上有n 个点n V V V ,...,21〔n ≥4〕，任意三点补奉献，某些点之间连有线段。把标号

分别为1，2，…，n 的n 枚棋子放置在这n 个点处，每个点处恰有一枚棋子，现对这n 枚棋子进展如下操作：每次选取假设干枚棋子，将它们分别挪动到与自己所在点有线段相连的另一个点处；操作后每点处恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置。假设一种连线段的方式使得无论开场时如何放置这n 枚棋子，总能经过有限次操作后，使每个标号为k 的棋子在点k V 处，n k ,...,2,1=，那么称这种连线段的方式为“和谐的〞，求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值。

5．设实数x 、y 、z 大于或者等于1，求证：

)22)(22)(22(222+-+-+-z z y y x x ≤22)(2+-xyz xyz

6．如图，圆1Γ，2Γ内切于点S ，圆2Γ的弦AB 与

圆1Γ相切于点C ，M 是弧AB 〔不含点S 〕的

中点，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N 。记圆 1Γ的半径为r ，求证：MN r CB AC ⋅=⋅2.

7．在一个10×10的方格表中有一个4n 个1×1的小方格组成的图形，它既可被n 个“ 〞

型的图形覆盖，也可被n 个 或者 型〔可以旋转〕的图形覆盖。求正整数n 的最小值

8．设]5[5n n a n -=，求数列200921,,,a a a ⋅⋅⋅中的最大项和最小项，其中][x 表示不超过

实数x 的最大整数。