格林公式
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2
分析:曲线L围成圆环区域.函数在圆环区域有连续偏导. 且定向曲线是围成区域的负向.
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例3. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L
2x y d x x 2 d y 0
证: 令 P 2x y, Q x 2 , 则
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0 d x d y 0
xd y y d x y 2 x2 y 2 x2 L x2 y 2 ( ( x2 y 2 )2 ( x2 y 2 )2 )d D 0 d xd y 0 D
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证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 1 ( x) y 2 ( x) y E D: d a xb
L Pd x Qd y 0 .
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
即
在 D 内是某一函数
的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
AB Pdx Qd y A Pdx Qd y
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证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B( x, y )
A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )
2)若闭区域的边界曲线是负向则
Q P Pd x Qd y d xd y
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注:1)格林公式揭示了定向闭曲线对坐标积分与定向闭曲线
3)定理中的函数
闭曲线L所围的区域 D 上具 y
有连续一阶偏导数的条件不可少 例:
其中 L : x 2 y 2 r 2 为逆时针
2 2
x 2 y2 1
则
D
解:
P x 2 y, Q xy 2
利用格林公式 , 得
2 2
( y 2 x 2 ) d x d y 其中 D 圆环区域 L xy d y yx d x
D
故
L
xy d y yx d x
2 2
2
0
d
2
1
15 r rdr 2
A
D
C
B
bx
c
2 ( y ) Q Q d 则 d xd y d y dx D x 1 ( y) x c
d d c c
o a
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y
CBE
Q( x, y )d y
EAC
L
例
D
D
2:区域D 正向边界曲线: 一个人沿着区域的的边界D一个 方向前行时,邻近处的D始终位于人的左侧,这一方向规定为 D的正向边界曲线. 即域 D 边界D的正向: 域的内部靠左
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(二)、 格林公式 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有 Q P Pd x Qd y x y d xd y L D ( 格林公式 ) 或 P d x Qd y x y d xd y Q L D P 所围的闭区域的一个二重积分的联系.它是计算对坐标曲线 积分的重要工具,尤其是定向闭曲线的对坐标的积分
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例1. 计算
其中L如图
L
x y d x ( x y) d y 0
2
y
B ( 1, 1 )
2
yx
o
解:
P x y, Q x 2 y, 则
A(1, 0 ) x
利用格林公式 , 得 x y d x ( x 2 y ) d y x d x d y 其中 D : 0 x 1,0 y x 2
L
o x
由L所为的闭区域D包含 (0, 0) ,显然 在 (0, 0) 无定义,自然在闭区域 D 更谈不上具连续一阶偏导数.. 故格林公式不成立 事实上 若用格林公式
x y Q ( x, y ) 2 P ( x, y ) 2 2 x y2 x y
2 0
r 2 cos 2 r 2 sin 2 d 2 2 r
积分可能一个区域积分与路径无关,在另一区域有关 (2) 曲线积分若在区域D 与路径无关,则可在区域D 上
定义一个二元函数
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(二)、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
y2
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
yx
D OA
xe xe
y2 y2
dy
1 0
o
y2
x
dy
dy ye
1 (1 e 1 ) 2
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证明 (1) (2) 设 L1 , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 线, 则
L
1
Pd x Qd y
L2
Pd x Qd y
L2
B
L1
A
L1 L 2
Pd x Qd y
(根据条件(1))
L2
B
Pd x Qd y
但对区域 D1 以原点为圆心的圆线L来说 xd y y d x L x2 y 2 2 0 xd y y d x 若区域D为如图 则 L x 2 y 2 在区域D与路径无关
故可以看到同一曲线积分在不同区域积分的路径无关性不同
P Q ,则积分与路径无关 ( 2)若在某单连通区域内 若 y x
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
(一)曲线积分与路径无关的概念 设D 是平面内的开区域,L是D 内的光滑或分段光滑的 定向曲线弧, 只要L起止点相同, 曲线积分
L
Pd x Qd y
相同. 与L到达起止点的方式(即路径)无关 则称曲线积分 L Pd x Qd y 在区域D与路径无关 注:(1)曲线路径无关应指明在那个区域,因为同一个曲线
4 ( x2 2 y)dx (3x ye y )dy
D
(3 2) d x d y 5(
1) 故
分析:曲线L不是封闭曲线.用格林公式需添加曲线使封闭.
且定向一致.
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例5. 计算 的分段光滑正向闭曲线.
其中L为一无重点且不过原点
解: 令
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D 时, 由格林公式知
y
L
o
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x
结束
在D 内作圆周 l : x 2 y 2 r 2 , 取逆时 当(0,0) D 时,
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
第十章
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 三、应用
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结束
一、 格林公式
(一)连通区域D 分类
1:区域D 分类 如果区域D内任意一条简单闭曲线所围的 有界区域都属于D,则称是单连通的;否则称为复连通的
注:单连通区域俗称无“洞”区多连通区域 称有“洞”区 域, 域 L
D
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计算 ( x 2 y )dx (3x ye )dy 例4. L
2 y
其中L如图
x y 1
2 2
B(0,1)
D
解: 利用格林公式 , 得
L
L CA
( x 2 y )dx (3x ye )dy
2 y
C (1, 0)
A(2, 0)
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证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
利用格林公式 , 得
D D L
Q Q L P d x Q d y D ( x x )d xd y
L
D
故 x y d x ( x y) d y
2 L
dx
0
1
x2
0
注:当然可以直接计算. .和直接计算做下比较
若L方向为顺时针时,能否用公式
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1 xdy 4
例2. 计算
其中L如图
L
xy d y yx d x
2 2
x y 4
C ( x x, y )
则
x u u( x x, y) u ( x, y )
( x x , y ) ( x, y )
Pd x Qd y
Pd x
P( x x, y)x xu u lim P( x x, y ) P( x , y ) lim x x 0 x x 0 u 同理可证 Q( x , y), 因此有 d u P d x Q d y y
故计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; (3) 曲线积分 Pd x Qd y 在区域 D 内与路径无关 则在区域 D 内定义一个二元函数 取定点( x0 , y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 令
y
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 0 d xd y 0 2 2 D1 x y
l
o D1
L
x
L l
2 0
r cos r sin d 2 2 r
2 2 2 2
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例6. 计算 解: 令 P 0, Q xe
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证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
d u P dx Q d y u u P( x, y ), Q ( x, y ) x y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 P Q y x
0
证毕
定理2
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结束
注: (1)这个定理是讲述的单连通区域的积分与路径 y 无关的条件. 若区域不是单连通的, 则即使有 也不能说与路径无关. xd y y d x 例 在区域复连通 D1
P Q . y x
L
x y
2
o D1
x
2
(1)有连续偏导 (2)且满足
P Q y x
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A xd y y d x 2 L x a cos , 0 2 所围面积 例如, 椭圆 L : y b sin
1 2 (ab cos 2 ab sin 2 ) d ab 2 0
y
D2 D1 Dn
L
k 1 n
n
Dk
Q P d xd y x y
o
x
k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
证毕
P dx Qd y
L
定理1
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结束
Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
Q( x, y )d y
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即 同理可证
①
② ①、②两式相加得:
Q P D x y d xd y L Pd x Qd y
定理1
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返回结束2) 若来自不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P D x y d xd y
分析:曲线L围成圆环区域.函数在圆环区域有连续偏导. 且定向曲线是围成区域的负向.
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例3. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L
2x y d x x 2 d y 0
证: 令 P 2x y, Q x 2 , 则
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0 d x d y 0
xd y y d x y 2 x2 y 2 x2 L x2 y 2 ( ( x2 y 2 )2 ( x2 y 2 )2 )d D 0 d xd y 0 D
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证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 1 ( x) y 2 ( x) y E D: d a xb
L Pd x Qd y 0 .
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
即
在 D 内是某一函数
的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
AB Pdx Qd y A Pdx Qd y
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证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B( x, y )
A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )
2)若闭区域的边界曲线是负向则
Q P Pd x Qd y d xd y
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注:1)格林公式揭示了定向闭曲线对坐标积分与定向闭曲线
3)定理中的函数
闭曲线L所围的区域 D 上具 y
有连续一阶偏导数的条件不可少 例:
其中 L : x 2 y 2 r 2 为逆时针
2 2
x 2 y2 1
则
D
解:
P x 2 y, Q xy 2
利用格林公式 , 得
2 2
( y 2 x 2 ) d x d y 其中 D 圆环区域 L xy d y yx d x
D
故
L
xy d y yx d x
2 2
2
0
d
2
1
15 r rdr 2
A
D
C
B
bx
c
2 ( y ) Q Q d 则 d xd y d y dx D x 1 ( y) x c
d d c c
o a
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y
CBE
Q( x, y )d y
EAC
L
例
D
D
2:区域D 正向边界曲线: 一个人沿着区域的的边界D一个 方向前行时,邻近处的D始终位于人的左侧,这一方向规定为 D的正向边界曲线. 即域 D 边界D的正向: 域的内部靠左
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(二)、 格林公式 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有 Q P Pd x Qd y x y d xd y L D ( 格林公式 ) 或 P d x Qd y x y d xd y Q L D P 所围的闭区域的一个二重积分的联系.它是计算对坐标曲线 积分的重要工具,尤其是定向闭曲线的对坐标的积分
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例1. 计算
其中L如图
L
x y d x ( x y) d y 0
2
y
B ( 1, 1 )
2
yx
o
解:
P x y, Q x 2 y, 则
A(1, 0 ) x
利用格林公式 , 得 x y d x ( x 2 y ) d y x d x d y 其中 D : 0 x 1,0 y x 2
L
o x
由L所为的闭区域D包含 (0, 0) ,显然 在 (0, 0) 无定义,自然在闭区域 D 更谈不上具连续一阶偏导数.. 故格林公式不成立 事实上 若用格林公式
x y Q ( x, y ) 2 P ( x, y ) 2 2 x y2 x y
2 0
r 2 cos 2 r 2 sin 2 d 2 2 r
积分可能一个区域积分与路径无关,在另一区域有关 (2) 曲线积分若在区域D 与路径无关,则可在区域D 上
定义一个二元函数
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(二)、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
y2
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
yx
D OA
xe xe
y2 y2
dy
1 0
o
y2
x
dy
dy ye
1 (1 e 1 ) 2
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证明 (1) (2) 设 L1 , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 线, 则
L
1
Pd x Qd y
L2
Pd x Qd y
L2
B
L1
A
L1 L 2
Pd x Qd y
(根据条件(1))
L2
B
Pd x Qd y
但对区域 D1 以原点为圆心的圆线L来说 xd y y d x L x2 y 2 2 0 xd y y d x 若区域D为如图 则 L x 2 y 2 在区域D与路径无关
故可以看到同一曲线积分在不同区域积分的路径无关性不同
P Q ,则积分与路径无关 ( 2)若在某单连通区域内 若 y x
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
(一)曲线积分与路径无关的概念 设D 是平面内的开区域,L是D 内的光滑或分段光滑的 定向曲线弧, 只要L起止点相同, 曲线积分
L
Pd x Qd y
相同. 与L到达起止点的方式(即路径)无关 则称曲线积分 L Pd x Qd y 在区域D与路径无关 注:(1)曲线路径无关应指明在那个区域,因为同一个曲线
4 ( x2 2 y)dx (3x ye y )dy
D
(3 2) d x d y 5(
1) 故
分析:曲线L不是封闭曲线.用格林公式需添加曲线使封闭.
且定向一致.
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例5. 计算 的分段光滑正向闭曲线.
其中L为一无重点且不过原点
解: 令
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D 时, 由格林公式知
y
L
o
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x
结束
在D 内作圆周 l : x 2 y 2 r 2 , 取逆时 当(0,0) D 时,
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
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一、格林公式
第十章
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 三、应用
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一、 格林公式
(一)连通区域D 分类
1:区域D 分类 如果区域D内任意一条简单闭曲线所围的 有界区域都属于D,则称是单连通的;否则称为复连通的
注:单连通区域俗称无“洞”区多连通区域 称有“洞”区 域, 域 L
D
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计算 ( x 2 y )dx (3x ye )dy 例4. L
2 y
其中L如图
x y 1
2 2
B(0,1)
D
解: 利用格林公式 , 得
L
L CA
( x 2 y )dx (3x ye )dy
2 y
C (1, 0)
A(2, 0)
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证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
利用格林公式 , 得
D D L
Q Q L P d x Q d y D ( x x )d xd y
L
D
故 x y d x ( x y) d y
2 L
dx
0
1
x2
0
注:当然可以直接计算. .和直接计算做下比较
若L方向为顺时针时,能否用公式
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1 xdy 4
例2. 计算
其中L如图
L
xy d y yx d x
2 2
x y 4
C ( x x, y )
则
x u u( x x, y) u ( x, y )
( x x , y ) ( x, y )
Pd x Qd y
Pd x
P( x x, y)x xu u lim P( x x, y ) P( x , y ) lim x x 0 x x 0 u 同理可证 Q( x , y), 因此有 d u P d x Q d y y
故计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; (3) 曲线积分 Pd x Qd y 在区域 D 内与路径无关 则在区域 D 内定义一个二元函数 取定点( x0 , y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 令
y
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 0 d xd y 0 2 2 D1 x y
l
o D1
L
x
L l
2 0
r cos r sin d 2 2 r
2 2 2 2
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例6. 计算 解: 令 P 0, Q xe
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证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
d u P dx Q d y u u P( x, y ), Q ( x, y ) x y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 P Q y x
0
证毕
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注: (1)这个定理是讲述的单连通区域的积分与路径 y 无关的条件. 若区域不是单连通的, 则即使有 也不能说与路径无关. xd y y d x 例 在区域复连通 D1
P Q . y x
L
x y
2
o D1
x
2
(1)有连续偏导 (2)且满足
P Q y x
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A xd y y d x 2 L x a cos , 0 2 所围面积 例如, 椭圆 L : y b sin
1 2 (ab cos 2 ab sin 2 ) d ab 2 0
y
D2 D1 Dn
L
k 1 n
n
Dk
Q P d xd y x y
o
x
k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
证毕
P dx Qd y
L
定理1
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Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
Q( x, y )d y
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即 同理可证
①
② ①、②两式相加得:
Q P D x y d xd y L Pd x Qd y
定理1
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为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P D x y d xd y