山东省威海市2016届高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年山东省威海市高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|log2（x﹣4）≤0}，B={y|y=a x+1（a＞0且a≠0）}，则∁R A∩B=（）
A．（5，+∞）B．（1，4]∪（5，+∞）C．[1，4）∪[5，+∞）
D．[1，4）
2．（5分）（2016沈阳校级一模）i是虚数单位，复数2i=z（﹣1+i），则z的共轭复数是（）
A．﹣1+i B．﹣i+1 C．i+1 D．﹣i﹣1
3．若，且α是第二象限角，则的值等于（）
A．B．C．D．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．3 B．C．D．1
5．一次实验中测得（x，y）的四组数值如图所示，若根据该表的回归方程，则m的值为（）
x 16 17 18 19
y 50 34 m 31
A．39 B．40 C．41 D．42
6．执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，已知m∥α，则l⊥m是l⊥α的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知双曲线与抛物线有公共焦点F，F到M的
一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（）
A．B．C．D．
9．已知f（x）=2x，若，，，其中，a＞b＞0，则下列关系中正确的是（）
A．p＜r＜q B．q＜p＜r C．r＜p＜q D．p＜q＜r
10．已知直线l：ax﹣y+2=0与圆M：x2+y2﹣4y+3=0的交点为A、B，点C是圆M上的一
动点，设点P（0，﹣1），的最大值为（）
A．12 B．10 C．9 D．8
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分．
11．设，若与2+共线，则k=．
12．若函数的图象过点（1，2），则函数f（x）的值域
为．
13．设变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣2y的取值范围．14．以下四个命题：
①∃x0∈R，使；
②若x≠kπ（k∈Z），则；
③若命题“￢p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；
④函数y=x3+2e x在x=1处的切线过（0，﹣2）点．
其中真命题的序号是（把你认为正确的命题的序号都填上）．
15．把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设a ij为图乙三角形数阵中第i行第j个数，若a mn=2015，则实数对（m，n）为．
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2015秋威海期末）已知向量，
，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若a+b=2c，且△ABC的面积为，求c边的长．
17．（12分）（2015秋威海期末）某校对该校的1000名教师的年龄进行统计分析，年龄的频率分布直方图如图所示．规定年龄[25，40）的为青年教师，年龄[40，50）为中年教师，年龄在[50，60）为老年教师．
（I）求年龄[30，35）、[40，45）的教师人数；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法从中、青年中抽取18人进行课堂展示，求抽到年龄在[35，40）的人数．
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的中年教师中，随机选取2名教师进行总结交流，求抽取的中年教师中甲、乙至少有一名作总结交流的概率．
18．（12分）（2015秋威海期末）等比数列{a n}满足a6=a2a4，且a2为2a1与的等差中项．
（I）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设，T n为{b n}的前n项和，求使成立时n 的最小值．
19．（13分）（2015秋威海期末）已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点，Q为BC边上的一点．
（I）若PQ∥面A1ABB1，求出PQ的长；
（Ⅱ）求证：AB1⊥面PBC．
20．（13分）（2015秋威海期末）设函数．
（I）若m=﹣1，n=3，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x=2是f（x）的极大值点，求出m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试讨论y=f（x）零点的个数．
21．（13分）（2015秋威海期末）已知椭圆的离心率为，
点P（0，1）在短轴CD上，且．
（I）求出椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点P的直线l和椭圆E交于A，B两点．
（i）若，求直线l的方程；
（ii）已知点Q（0，2），证明对于任意直线l，恒成立．
2015-2016学年山东省威海市高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|log2（x﹣4）≤0}，B={y|y=a x+1（a＞0且a≠0）}，则∁R A∩B=（）
A．（5，+∞）B．（1，4]∪（5，+∞）C．[1，4）∪[5，+∞）
D．[1，4）
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B 的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：log2（x﹣4）≤0=log21，即0＜x﹣4≤1，
解得：4＜x≤5，即A=（4，5]，
∴∁R A=（﹣∞，4]∪（5，+∞），
由B中y=a x+1＞1，得到B=（1，+∞），
则∁R A∩B=（1，4]∪（5，+∞），
故选：B．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5分）（2016沈阳校级一模）i是虚数单位，复数2i=z（﹣1+i），则z的共轭复数是（）
A．﹣1+i B．﹣i+1 C．i+1 D．﹣i﹣1
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z后得答案．
【解答】解：由2i=z（﹣1+i），得，
∴z的共轭复数是i+1．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．若，且α是第二象限角，则的值等于（）
A．B．C．D．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值、再利用两角差的正切公式求得要求式子的值．
【解答】解：若，且α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣，
∴tanα=﹣，则==﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式，属于基础题．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．3 B．C．D．1
【分析】几何体为四棱柱，底面为直角梯形，代入体积公式即可．
【解答】解：由三视图可知几何体为直四棱柱，棱柱的底面为直角梯形，上下底分别为1，2，高为1，棱柱的高为2，
∴棱柱的体积V=×（1+2）×1×2=3．
故选A．
【点评】本题考查了棱柱的结构特征和三视图，棱柱的体积计算，属于基础题．
5．一次实验中测得（x，y）的四组数值如图所示，若根据该表的回归方程，则m的值为（）
x 16 17 18 19
y 50 34 m 31 A．39 B．40 C．41 D．42
【分析】求出代入回归方程解出m．
【解答】解：==17.5，==，
∴=﹣5×17.5+126.5，解得m=41．
故选C．
【点评】本题考查了线性回归方程与数据的关系，属于基础题．
6．执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】模拟执行程序框图，可得S=1++++…+=．利用等比数列的求和公式解得p的值为8．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1++++…+=
=．
解得：p=8．
故当p=8时，n=8＜p，不成立，退出循环，输出S的值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，利用等比数列的求和公式解得p的值是解题的关键，属于基础题．
7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，已知m∥α，则l⊥m是l⊥α的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】若m∥α，l⊥α，则l⊥m；反之不成立，可能l与α平行或相交．即可判断出结论．
【解答】解：若m∥α，l⊥α，则l⊥m；反之不成立，可能l与α平行或相交．
因此l⊥m是l⊥α的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．已知双曲线与抛物线有公共焦点F，F到M的
一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（）
A．B．C．D．
【分析】求得抛物线的焦点F（0，2），可得c=2，求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式可得b，求得a，进而得到双曲线的方程．
【解答】解：抛物线，即x2=8y的焦点F（0，2），
即有双曲线的c=2，
双曲线的渐近线方程为y=±x，
可得F到渐近线的距离为d==b=，
即有a===1，
则双曲线的方程为y2﹣=1．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．
9．已知f（x）=2x，若，，，其中，a＞b＞0，则下列关系中正确的是（）
A．p＜r＜q B．q＜p＜r C．r＜p＜q D．p＜q＜r
【分析】由题意可得p=，q=＞=p，r=（2a+2b）＞，可得大小关系．【解答】解：∵f（x）=2x，a＞b＞0，
∴p=，
q=＞=p，
r=（2a+2b）＞，
∴p＜q＜r，
故选：D．
【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．10．已知直线l：ax﹣y+2=0与圆M：x2+y2﹣4y+3=0的交点为A、B，点C是圆M上的一
动点，设点P（0，﹣1），的最大值为（）
A．12 B．10 C．9 D．8
【分析】由题意，圆M：x2+y2﹣4y+3=0可化为x2+（y﹣2）2=1，利用=|2
+|≤|2|+||，即可得出结论．
【解答】解：由题意，圆M：x2+y2﹣4y+3=0可化为x2+（y﹣2）2=1．
=|2+|≤|2|+||=2×3+4=10，
故选：B．
【点评】本题考查圆的方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分．
11．设，若与2+共线，则k=﹣．
【分析】由题意和向量共线可得a的方程，解方程可得．
【解答】解：∵，
∴2+=（5，4+k），
∵与2+共线，
∴3（4+k）﹣2×5=0，
解得k=﹣
故答案为：﹣
【点评】本题考查平行向量与共线向量，属基础题．
12．若函数的图象过点（1，2），则函数f（x）的值域为（﹣
∞，log2]．
【分析】把（1，2）代入f（x）求出a，得到f（x）的解析式，判断真数的取值范围，根据对数函数的单调性得出f（x）的最值，得到值域．
【解答】解：f（1）=log2（﹣1+a）=2，解得a=5．∴f（x）=log2（﹣x2+5x）．由f（x）有意义得﹣x2+5x＞0，
又∵﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+≤，∴0＜﹣x2+5x≤．
∴f（x）≤log2，
故答案为（﹣∞，log2]．
【点评】本题考查了对数函数的性质，二次不等式的解法，属于中档题．
13．设变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣2y的取值范围[，]．
【分析】作出可行域，先由线性规划求出t=x﹣2y的取值范围，再求指数可得．
【解答】解：解：作出条件所对应的可行域（如图△ABC），
令t=x﹣2y，则可得y=x﹣t，平移直线y=x可知
当直线经过点A时，直线的截距最小，t取最大值，
当直线经过点B时，直线的截距最大，t取最小值，
解方程组可得A（，），同理可得B（2，2），
代入计算可得t的最大值为，最小值为﹣2，
∴z=2x﹣2y的取值范围为[，]
故答案为：[，]
【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
14．以下四个命题：
①∃x0∈R，使；
②若x≠kπ（k∈Z），则；
③若命题“￢p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；
④函数y=x3+2e x在x=1处的切线过（0，﹣2）点．
其中真命题的序号是③④（把你认为正确的命题的序号都填上）．
【分析】①根据特称命题结合对数函数的性质进行判断．
②根据基本不等式的性质和条件进行判断．
③根据复合命题真假关系进行判断．
④根据导数的几何意义进行判断．
【解答】解：①∵x2+1≥1，∴ln（x2+1）≥ln1=0，
则∃x0∈R，使错误，故①错误；
②当x=﹣，满足x≠kπ（k∈Z），但sinx+=﹣=﹣=﹣，则
错误，故②错误；
③若命题“￢p”与“p或q”都是真命题，则p是假命题，则命题q一定是真命题，成立，故
③正确；
④当x=1时，y=1+2e，即切点坐标为（1，1+2e），
函数y=x3+2e x在x=1处的导数f′（x）=3x2+2e x，则f′（1）=3+2e，
则切线方程为y﹣（1+2e）=（3+2e）（x﹣1），
即y=（3+2e）x﹣3﹣2e+1+2e=（3+2e）x﹣2，
则当x=0时，y=﹣2，即此时切线过（0，﹣2）点．故④正确，
故答案为：③④
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数，不等式以及导数的内容，综合性较强，难度中等．
15．把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设a ij为图乙三角形数阵中第i行第j个数，若a mn=2015，则实数对（m，n）为（45，40）．
【分析】观察图乙找出每行数字的规律，即可使用数列知识解出．
【解答】解：观察图乙可发现以下规律：
（1）第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有3个数字，…故可归纳得出第i行有i个数字；
（2）每一行的数字从左到右都是等差为2的等差数列；
（3）每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大1；
（4）每一行的最后一个数字都是该行数的平方．
∵442=1936＜2015，452=2025＞2015，∴2015是第45行的数字，
设第45行第n个数字为a n，则a1=1937，d=2，∴a n=1937+2（n﹣1）=2n+1935．
令a n=2n+1935=2015，解得n=40．
∴2015是第45行第40个数字，
故答案为（45，40）．
【点评】本题考查了归纳推理，寻找图中数字的规律是解题的关键．
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2015秋威海期末）已知向量，
，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若a+b=2c，且△ABC的面积为，求c边的长．
【分析】（Ⅰ）根据平面向量的数量积的运算法则及两角和的余弦函数公式化简，得到﹣cos2C 等于﹣cosC，化简后即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）利用已知及三角形面积公式可求ab=60，结合已知利用余弦定理即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）
解：（I）∵=cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=﹣cosC，
∴﹣cos2C=﹣cosC，整理可得：2cos2C﹣cosC﹣1=0，
∴cosC=﹣或1，
∵C∈（0，π），
∴C=…6分
（Ⅱ）S△ABC=absinC=absin=15，
∴ab=60，a+b=2c，
∵c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab（1+cosC）=20，
∴解得：c=2…12分
【点评】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17．（12分）（2015秋威海期末）某校对该校的1000名教师的年龄进行统计分析，年龄的频率分布直方图如图所示．规定年龄[25，40）的为青年教师，年龄[40，50）为中年教师，年龄在[50，60）为老年教师．
（I）求年龄[30，35）、[40，45）的教师人数；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法从中、青年中抽取18人进行课堂展示，求抽到年龄在[35，40）的人数．
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的中年教师中，随机选取2名教师进行总结交流，求抽取的中年教师中甲、乙至少有一名作总结交流的概率．
【分析】（I）根据频率=，求出对应的频率与频数；
（Ⅱ）根据分层抽样原理，计算出从中青年教师中抽取的18人年龄在[35，40）中的人数；
（Ⅲ）利用列举法求出从7名教师中随机选取2名的可能情况，计算甲、乙至少有1名作总结交流的概率．
【解答】解：（I）年龄在[40，45）的教师人数为1000×0.04×5=200人；
年龄在[30，35）的教师频率为[1﹣（0.07+0.04+0.03）×5]=0.15
年龄在[30，35）的教师人数为1000×0.15=150人；
（Ⅱ）中青年教师共有1000×（1﹣0.02×5）=900，
其中年龄在[35，40）中有1000×0.07×5=350人，
设抽取的18人年龄在[35，40）中的有x人，
则18：900=x：350，解得x=7；
（Ⅲ）中年教师共350人，所以抽出的18人中，中年教师有7人，
不妨设7名教师分别为甲、乙、A、B、C、D、E，
从7人中随机选取2名教师的可能情况有
甲乙，甲A，甲B，甲C，甲D，甲E，乙A，乙B，乙C，乙D，乙E，
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共21种，
其中甲乙至少有1人有11种情况，
所以抽取的中年教师中甲、乙至少有一名作总结交流的概率为．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．
18．（12分）（2015秋威海期末）等比数列{a n}满足a6=a2a4，且a2为2a1与的等差中项．
（I）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设，T n为{b n}的前n项和，求使成立时n 的最小值．
【分析】（I）通过设数列{a n}的公比为q，利用a6=a2a4化简可知a1=q，利用a2为2a1与
的等差中项可知q=2，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（I）裂项可知b n=﹣，进而并项相加可知T n=1﹣，问
题转化为1﹣＞1﹣，比较即得结论．
【解答】解：（I）设数列{a n}的公比为q，
由a6=a2a4可知a1a5=a1qa1qq3，解得：a1=q，
又∵a2为2a1与的等差中项，
∴2a1+a3=2a2，解得q=2，
∴数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，
故其通项公式a n=2n；
（Ⅱ）由（I）可知==﹣
，
∴T n=﹣+﹣+…+﹣
=1﹣，
要使，即1﹣＞1﹣，
∴2n+1＞2017，n+1≥11，
∴n的最小值为10．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．（13分）（2015秋威海期末）已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点，Q为BC边上的一点．
（I）若PQ∥面A1ABB1，求出PQ的长；
（Ⅱ）求证：AB1⊥面PBC．
【分析】（I）取AA1的中点M，连接BM，PM，由P，M分别为D1D，A1A的中点，可得PM∥BC，由PQ∥面A1ABB1，可得PQ∥BM，可得PQ=BM，在Rt△BAM中，利用勾股定理即可解得PQ=BM的值．
（Ⅱ）先证明AA1⊥BC，AB⊥BC，即可证明AB1⊥BC，利用△ABM≌△A1B1A，可得：AB1⊥BM，从而可判定AB1⊥面PBC．
【解答】（本题满分为12分）
解：（I）取AA1的中点M，连接BM，PM，
∵P，M分别为D1D，A1A的中点，
∴PM∥AD，∴PM∥BC，
∴PMBC四点共面，…2分
由PQ∥面A1ABB1，可得PQ∥BM，
∴PMBQ为平行四边形，PQ=BM，…4分
在Rt△BAM中，BM==2．
可得：PQ=BM=2．…6分
（Ⅱ）AA1⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，
∴AA1⊥BC，
∵ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，
∴BC⊥面AA1BB1，
∵AB1⊂面AA1BB1，
∴AB1⊥BC，…8分
通过△ABM≌△A1B1A，可得：AB1⊥BM，…10分
∵BM∩BC=B，
∴AB1⊥面PBC．…12分
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．属于中档题．
20．（13分）（2015秋威海期末）设函数．
（I）若m=﹣1，n=3，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x=2是f（x）的极大值点，求出m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试讨论y=f（x）零点的个数．
【分析】（Ⅰ）将m=﹣1，n=3代入f（x），求出f（x）的导数，得到函数的单调区间；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过讨论m的范围判断函数的极大值的情况，进而判断出m的范围；
（Ⅲ）先求出f（x）max=f（2）=2ln2+2m﹣2，通过讨论m的范围去掉函数的零点问题．【解答】解：（Ⅰ）由m=﹣1，n=3，得：f（x）=2lnx+x2﹣3x，（x＞0），
f′（x）=，（x＞0），
∴x＞2或0＜x＜1时，f′（x）＞0，1＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减；
（Ⅱ）f′（x）=﹣mx﹣n，（x＞0），
由已知得f′（2）=0，整理得2m+n=1，
∴f′（x）=，
m≥0时，﹣mx﹣1＜0恒成立，
x＞2时，f′（x）＜0，0＜x＜2时，f′（x）＞0，
f（x）在x=2处取得极大值，满足题意，
m＜0时，令f′（x）=0，解得：x=2或x=﹣，
要使f（x）在x=2处取得极大值，只需﹣＞2，解得：﹣＜m＜0，
综上，m＞﹣时，f（x）在x=2处取得极大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得m≥0时，f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
f（x）max=f（2）=2ln2+2m﹣2，
当f（2）＞0即m＞1﹣ln2时，f（x）有2个零点，
当f（2）=0即m=1﹣ln2时，f（x）有1个零点，
当f（2）＜0即m＜1﹣ln2时，f（x）没有零点，
当﹣＜m＜0时，f（x）在（0，2），（﹣，+∞）递增，在（2，﹣）递减，
f（2）＜0，f（x）至多1个零点，
法一：在（﹣，+∞）取一点x=4﹣=，代入f（x）得：
f（4﹣）=2ln（4﹣）﹣m+（2m﹣2）=2ln（4﹣）＞0，
f（x）在（﹣，+∞）上必有1个零点，
法二：y=2lnx在（0，+∞）递增，y=﹣mx2﹣（1﹣2m）x是开口向上的二次函数，
∴f（x）在（﹣，+∞）上必有正值，即f（x）在（﹣，+∞）上必有1个零点，
综上，m＞1﹣ln2时，f（x）有2个零点，m=1﹣ln2或﹣＜m＜0时，f（x）有1个零点，0≤m＜1﹣ln2时，f（x）没有零点．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数的零点问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．
21．（13分）（2015秋威海期末）已知椭圆的离心率为，
点P（0，1）在短轴CD上，且．
（I）求出椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点P的直线l和椭圆E交于A，B两点．
（i）若，求直线l的方程；
（ii）已知点Q（0，2），证明对于任意直线l，恒成立．
【分析】（Ⅰ）由已知得e==，b2=2，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）（i）当直线l斜率不存在时，不存在这样的直线，当直线l斜率存在时，设方程为
y=kx+1，与椭圆联立得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由此利用韦达定理，能求出直线l的方程．
（ii）当直线l与x垂直时，，对于任意直线l，欲证明恒成立．只需证明：k QB+k QA=0．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且，
∴e==，∴a=，
又C（0，b），D（0，﹣b），∴b2=2，
∴a=2，∴椭圆E的方程为．
（Ⅱ）（i）当直线l斜率不存在时，=，=，，
不符合题意，不存在这样的直线，
当直线l斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，整理，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，
由韦达定理得，，
由，得，∴，
代入韦达定理，整理得，，
解得，∴k=，
∴直线l的方程为．
证明：（ii）当直线l与x垂直时，，∴命题成立．
下面证明对任意斜率存在的直线l，均有=，
即证：y轴为∠AQB的角平分线所在直线，只需证明：k QB+k QA=0
=，==k﹣，
∴=2k﹣，
由（1）中韦达定理得=2k，∴k QB+k QA=2k﹣2k=0，
∴对任意直线l，恒成立．
【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查两组线段比值相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．。