2019年高三数学上期末试题及答案(1)

2019年高三数学上期末试题及答案(1)
一、选择题
1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）
A ．2
B ．-4
C ．2或-4
D ．4
2．正项等比数列
中，的等比中项为
，令
，则
（ ） A ．6
B ．16
C ．32
D ．64
3．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x y
a a
⎧
⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数23
1x y z x ++=+的最小值为
3
2
，则正实数a 的值为（ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
4．若直线()10,0x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6
B ．8
C ．9
D ．10
5．数列{}n a 中，对于任意,m n N *
∈，恒有m n m n a a a +=+，若11
8
a =
，则7a 等于( ) A ．
712
B ．
714
C ．
74
D ．
78
6．已知集合2
A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式
2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )
A ．()(),13,∞∞-⋃+
B ．()(),13,∞∞--⋃+
C ．(),1∞--
D ．()3,∞+
7．设实数,x y 满足242210
x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩
，则1
y x +的最大值是（ ）
A ．-1
B ．
12
C ．1
D ．
32
8．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32x
y =⨯的图象上，等
比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*
()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）
A ．2n n S T =
B ．21n n T b =+
C ．n n T a >
D ．1n n T b +<
10．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，6a =
，
7
cos 8
A =
，则ABC ∆的面积为（ ） A ．17
B ．3
C ．15
D ．
15 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )
A ．12n -
B ．1
3
()
2
n -
C ．1
2()
3
n - D ．
1
12n - 12．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题
13．已知实数
，且
，则
的最小值为____
14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合
{}53,23,19,37,82--中，则6q = .
15．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1
lim 2
n n S →∞
=，则首项1a 的取值范围是____________．
16．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()
()
*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.
17．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.
18．已知等差数列{}n a 的公差为()d d 0≠，前n 项和为n S ，且数列{
}
n S n +也为公差
为d 的等差数列，则d =______．
19．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，122n n S a +=-，若21
2
a =
，则5S =__________． 20．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前
n 项和为n T ，则使不等式11
2020|1|13n
n
T a -->成立的最大正整数n 的值是__________．
三、解答题
21．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n S na n n =--，等比数列{}n b 的前n 项和为
n T ，公比为1a ，且5352T T b =+．
（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n M ，求证：11
54n M ≤<．
22．在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ，若()2sin(2)()26
f x x f C π
=+
=-，，
7c =，sin B =2sin A ，
（1）求C （2）求a 的值．
23．已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式． 24．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acos C ＋3asin C －b －c ＝0.
(1)求A ；
(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝
17，AD 129
，求△ABC 的面积． 25．已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）若ab m ≤恒成立，求m 的取值范围； （2）)若
41
212x x a b
+≥--+恒成立，求x 的取值范围. 26．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；
（2）若3a =，ABC △的面积为
33
2
，求11b c +的值．
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】
∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，
2342S S S =+，12a =，
∴()()()34212122211q q q q
q
--+=
+
--，解得2q =-，
∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．D
解析：D 【解析】
因为，即
，
又
，所以
.
本题选择D 选项.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()121231
12111
x y x y y z x x x ++++++===+⨯
+++， 设1
1
y k x +=
+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率，
若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，即12z k =+的最小值是3
2
， 由3122
k +=
，得1
4k =，即k 的最小值是14，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时，直线的斜率k 最小，此时011
314
k a +==+， 得314a +=，得1a =. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
4．C
解析：C 【解析】 【详解】 因为直线
()10,0x y
a b a b
+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此
1144(4)(+)5+59b a b a
a b a b a b a b
+=+≥+⋅= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选
C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
5．D
解析：D 【解析】
因为11
,8
m n m n a a a a +=+=
,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 7347
8
a a a =+=.选D.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理． 【详解】
由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤
不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式
()()110x t x +-->恒成立，
∴只需{10
10x t x +->->或{
10
10x t x +-<-<恒成立， ∴只需{
11x t
x >->或{
11x t
x <-<恒成立，113t -≤-≤Q
只需3x >或1x <-即可． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
由约束条件确定可行域，由1
y x
+的几何意义，即可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率求得答案． 【详解】
由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪-≥⎩
，作出可行域如图，
联立10220
x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得A （112，），
1
y x
+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率， 由图可知，
11
3212
PA
k +==
最大．
故答案为3
2
． 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．
8．C
解析：C 【解析】
因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以611611115
0,0,,2
a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2
n d
S n =
--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 9．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：332,323n n
n n S S +=⨯=⨯- ，
由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项
公式：1
32n n a -=⨯ ，
设11n n
b b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，
数列{}n b 的通项公式12n n
b -= ，
由等比数列求和公式有：21n
n T =- ，考查所给的选项：
13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .
本题选择D 选项.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
三角形的面积公式为1
sin 2
ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】
解：在ABC ∆中，2227
cos 28b c a A bc +-==
将2b c =
，a =222
467
48
c c c +-=， 解得：2c =
由7cos 8A =
得sin 8A ==
所以，11sin 242282
ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=
故选D. 【点睛】
三角形的面积公式常见形式有两种：一是
12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助1
2
（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1
sin 2
bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用公式1n n n a S S -=-计算得到113
23,2
n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】
由已知111
2n n a S a +==，，1n n n a S S -=-
得()12n n n S S S -=-，即113
23,
2
n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以1
3
()2
n n S -=.
故选B. 【点睛】
本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴
，
∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ， ∴，
即
，
又数列{}n a 前三项的和，
∴
，即
，
即d ＝2或d ＝−2（舍去）， 则公差d ＝2． 故选：C ．
二、填空题
13．3+54【解析】【分析】由a+b ＝2得出b ＝2﹣a 代入代数式中化简后换元t ＝2a ﹣1得2a ＝t+1得出1＜t ＜3再代入代数式化简后得出2t6t-(t2+5)然后在分式分子分母中同时除以t 利用基本不等 解析：
【解析】 【分析】
由a +b ＝2得出b ＝2﹣a ，代入代数式中，化简后换元t ＝2a ﹣1，得2a ＝t +1，得出1＜t ＜
3，再代入代数式化简后得出，然后在分式分子分母中同时除以t ，利用基本不
等式即可求出该代数式的最小值． 【详解】
解：由于a +b ＝2，且a ＞b ＞0，则0＜b ＜1＜a ＜2， 所以，
，
令t ＝2a ﹣1∈（1，3），则2a ＝t +1， 所以，
． 当且仅当，即当时，等号成立． 因此，的最小值为
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，解本题的关键就是对代数式进行化简变形，考查计算能力，属于中等题．
14．【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为=-9 解析：9-
【解析】 【分析】 【详解】
考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合
{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为3
2
q =-
，6q = -9. 15．【解析】【分析】由题得利用即可得解【详解】由题意知可得又因为所以可求得故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式数列极限的运算法则考查了推理能力与计算能力属于中档题
解析：110,,122⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U
【解析】 【分析】 由题得11
(1)2
a q =-，利用(1,0)(0,1)q ∈-⋃即可得解 【详解】
由题意知，1112a q =-，可得11
(1)2a q =-，又因为(1,0)(0,1)q ∈-⋃，所以可求得1110,,122a ⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U .
故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849
【解析】 【分析】
直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】
数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()
()
*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪
=∈⎨-≤⎪⎩，
当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，
所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1， 所以()()100100134663118492
2
S +⨯=
+⨯
+=，
故答案为：1849 【点睛】
本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也
考查了分类讨论的思想，属于中档题.
17．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根
解析：11
(,)23
--
【解析】 【分析】
根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式
250bx x a -+>的解集，得到答案.
【详解】
由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，
可得53(2)(3)(2)a b a ⎧
-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩
，解得1,6a b =-=-，
所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->， 即2
651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得11
23
x -
<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23
--. 【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得
,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．【解析】【分析】表示出再表示出整理并观察等式列方程组即可求解【详解】等差数列的公差为前项和为设其首项为则=又数列也为公差为的等差数列首项为所以=即：整理得：上式对任意正整数n 成立则解得：【点睛】本题 解析：
12
【解析】 【分析】
表示出n S
【详解】
等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，设其首项为1a ， 则n S =()112
n n na d -+
，
又数列也为公差为d
=
()1
n d
-
()1
n d
=
-
=
上式对任意正整数n成立，
则
)
2
1
2
12
2
d
d
d
d
a d d
⎧
=
⎪
=
⎪-+=
⎪⎩
，解得：
1
2
d=，
1
3
4
a=-
【点睛】
本题主要考查了等差数列的前n项和及通项公式，考查了方程思想及转化思想、观察能力，属于中档题．
19．【解析】【分析】由题意首先求得然后结合递推关系求解即可【详解】由题意可知：且：整理可得：由于故【点睛】本题主要考查递推关系的应用前n 项和与通项公式的关系等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力
解析：
31
16
【解析】
【分析】
由题意首先求得1S，然后结合递推关系求解5S即可.
【详解】
由题意可知：12
221
S a
=-=，
且：()
1
22
n n n
S S S
+
=--，整理可得：()
1
1
22
2
n n
S S
+
-=-，
由于121
S-=-，故()
4
55
1131
21,
21616
S S
⎛⎫
-=-⨯=-∴=
⎪
⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查递推关系的应用，前n项和与通项公式的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考
解析：8
【解析】
【分析】
根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181
a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-，带入不等式
11
2020|1|13n n
T a -->，解不等式即可.
【详解】
因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，
由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15
181a a =⎧⎨=⎩.
则3q =，13-=n n a .
1
(1)1323(1)1313n
n n T -
=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1
112020|11|133n n ---->. 整理得：38080n <.
使不等式成立的最大整数n 为8. 故答案为：8 【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
三、解答题
21．(1) 43n a n =-;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】
（1）∵2(1)n n S na n n =--①， ∴11(1)2(1)n n S n a n n ++=+-+②， ②-①，11(1)4n n n a n a na n ++=+--，
∴14n n a a +-=，又∵等比数列{}n b ，5352T T b =+， ∴535452T T b b b -=⇐=，1q =，
∴11a =，∴数列{}n a 是1为首项，4为公差的等差数列， ∴14(1)43n a n n =+-=-；
（2）由（1）可得111111
()(43)(41)44341
n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)(1)45594341441n M n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=--++，∴111(1)454
n M -≤<， 即
1154
n M ≤<． 考点：1．等差等比数列的运算；2．列项相消法求数列的和． 22．（1）23
C π
=；（2）1a =. 【解析】 【分析】
（1）由()2f C =，结合特殊角的三角函数值，求得C .
（2）利用正弦定理得到2b a =，利用余弦定理列方程，解方程求得a 的值. 【详解】
（1）由()2f C =-,得sin(2)16
C π
+
=-,且(0,)C π∈,所以326
2c π
π+
=
，23C π
=
- （2）因为sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =
又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：22
27422cos
,3
a a a a π=+-⨯ 解得1a = 【点睛】
本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.
23．(1)212n a n =-;(2)4(13)n
n S =-.
【解析】 【分析】 【详解】
本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n 项和的综合运用．、 （1）设{}n a 公差为d ，由已知得
1126
{50
a d a d +=-+=解得110{
2a d =-=, 212n a n =-
（2）21232324b a a a a =++==-Q ，
∴等比数列{}n b 的公比2124
38
b q b -=
==- 利用公式得到和8(13)
4(13)13
n n n S -⨯-==--．
24．（1）A ＝60°；（2）【解析】 【分析】
(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式可求；
(2)利用三角形内角关系求出sin C ，结合正弦定理求出,a c 关系，利用余弦定理可求,a c . 【详解】
(1)acos C －b －c ＝0，由正弦定理得sin Acos C ＝sin B ＋sin C ，
即sin Acos C sin Asin C ＝sin(A ＋C)＋sin C ，
又sin A －cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝12
. 在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°.
(2)在△ABC 中，因为cos B ＝
17，所以sin B .
所以sin C ＝sin(A ＋B)＝2×17＋12×7＝14
. 由正弦定理得，
sin 7
sin 5
a A c C ==. 设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2
＝AB 2
＋BD 2
－2AB·BDcos B， 即
1294＝25x 2＋14×49x 2
－2×5x×12×7x×17
，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，
故S △ABC ＝1
2
acsin B ＝ 【点睛】
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，合理选择公式是求解的关键. 25．（1）1
4
m ≥（2）[]6,12- 【解析】 【分析】
（1）由已知根据基本不等式得2
124a b ab +⎛⎫≤=
⎪⎝⎭
，再由不等式的恒成立的思想：
ab m ≤恒成立，则需()max m ab ≥得所求范围；
（2）根据基本不等式得
()41419a b a b a b ⎛⎫
+=++≥ ⎪⎝⎭
，再根据不等式恒成立的思想得到绝对值不等式2129x x --+≤，运用分类讨论法可求出不等式的解集. 【详解】
（1）0a >，0b >，且1a b +=，∴2
124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
，当且仅当12a b ==时“=”成
立，由ab m ≤恒成立，故1
4
m ≥
. （2）∵(),0,a b ∈+∞，1a b +=，
∴
()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，故若41
212x x a b
+≥--+恒成立，则2129x x --+≤， 当2x -≤时，不等式化为1229x x -++≤，解得62x -≤≤-，
当122x -<<，不等式化为1229x x ---≤，解得122
x -<<， 当1
2x ≥
时，不等式化为2129x x ---≤，解得1122
x ≤≤. 综上所述，x 的取值范围为[]6,12-. 【点睛】
本题综合考查运用基本不等式求得最值，利用不等式的恒成立的思想建立相应的不等关系，分类讨论求解绝对值不等式，属于中档题.
26．（1）3π；（2【解析】 【分析】
（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。

（ 2）可通过计算b c +和bc 的值来计算11
b c
+的值。

【详解】
（1）由()bsin 2sin 0A a A C -+=得bsin 2sin sin A a B b A ==， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以A 3
π
=。

（2）由ABC n 及A 3π=得1bcsin 23π=bc 6= ，
又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=，所以b c +=，
所以
11b c b c bc ++==。

【点睛】
本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解。