第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克试题另解
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证明 如 图 １，设 △ ＡＢＣ的垂 心为 Ｐ．
Ｎ
类 似地 ，Ａ、Ｇ、Ｋ、Ｆ四点共 圆． 以 ４为反 演 中心 、 Ｅ·Ａｃ为 反演 半 径 进 行 反 演 变 换 ． 由 Ｂ、Ｆ、Ｅ、Ｃ四 点共 圆
ｊ ＡＥ·ＡＣ ＝ＡＦ·ＡＢ
（曰）＝Ｆ， （Ｆ）＝Ｂ， （Ｃ）＝Ｅ， （Ｅ）＝Ｃ 由反演的保 圆性 （将 不过 反演 中心 的直 线 反 演 为 过 反 演 中心 的 圆 ），得 ＥＦ 与 △ ＡＢＣ 的外 接 圆ｏ ０互 反 ． 故点 Ｇ、Ｈ在反演 中保持不变． 则 ＡＧ＝Ａ日＝反演半径 ＝ Ｅ·ＡＣ， Ｑ（ＡＰＩ￣）与直线 ＦＤ互反（ＡＰ．ＡＤ＝ＡＦ．ＡＢ）， Ｏ（ 凡 ）与直线 ＢＨ互反 ， 直 线 ＢＧ与 Ｏ（ＧＦＡＫ）互 反 ． 从而 ，点 、Ｋ均在反演 中保持不变． 类 似 地 ，点 、 、 、Ⅳ 在 反 演 中保 持
２０１８年 第 １Ｏ期
１７
圃
第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克试题另解
中 图 分 类 号 ：Ｏ１２ 文 献标 识码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１００５—６４１６（２０１８）１０—００１７—０５
【说 明 】本 文解 答 均 选 自本 届 学 员考 场
试 题 解 答 ．
第 １题 已知锐角△ ＡＢＣ的外接圆为ｏ０，
边 ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上 的高 的垂足 分别 为 、Ｅ、Ｆ，
／ 、
、
直线 与ｏ０的弧ＡＢ、ＡＣ分别交 于点 Ｇ、日，
直线 ＤＦ与 ＢＧ、ＢＨ分别交于点 Ｋ、 ，直线 ＤＥ
与 ＣＧ、ＣＨ分别交 于点 、 证 明：Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎ
四点共 圆，且该 圆 的直径 为 √２（ｂ ＋ｃ 一ａ ）， 其 中 ，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ．
其 中 ，０＜０＜ｔ． 由于＿厂 （ａ）关于 ａ单调递减 ，于是 ， 当＿厂 （口）＝０时 ， ＿厂（ａ）取 得 最 大 值
＝ （ 专＝ ２．
设 ｂ＝ａ２ｋ，ｄ＝Ｃ２ ．则 只需 证 （ａ３ｋ）丁１＋（Ｃ３ｋ）了１ ≤（口＋ｃ＋口 ）丁１（Ⅱ＋ｃ＋ｃ ）丁１
ｋ（Ⅱ＋ｃ） ≤（口＋ｃ＋口 ）（ａ＋ｃ＋ｃ２ｋ）
ａＴｂ丁＋ｃｒｄ了≤ （ａ＋ｃ）丁（ｂ丁＋ｄ丁）了． 故 只 需
０≤ｉ＜ ＜后≤忍，有
Ｘｋ＝ｒ ａ ｉ · ｎ｛Ｉ Ｘｉ， ， ｝ １戥 一 Ｘｋ＝ ｍａｘ｛ ｌ Ｘｉ， ，，· ＾｝ ·
（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ＋２、／／６ｄ） ≤ （Ⅱ＋ｃ） ＋（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）＋６ｄ 甘 ２（ａ＋ｃ） ≤（ａ＋ｃ） ＋ 上式 由均值不等式 即得．
ｊ Ａ、Ｐ、Ｌ、Ｂ 四点 共 圆．
孺
√—■厂
Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎ四点共 圆且直径为
√ （ｂ ＋ｃ 一ｎ ） ．
（杨 一鸣 河 北省邯郸 市第一 中学 高三 （Ａ１）班 ，０５６００２）
第 ２题 设 ａ、ｂ、Ｃ、ｄ＞０．证 明 ： ｎ ｎ了 了１ ６ ６了 了１＋ ＋ｃ ｃ÷ 丁ｄ ｄ÷ 了≤ ≤（ （ ａ ＋ ＋ ｂ ＋ ＋Ｃ ） ）÷ 了（ （ ａ ＋ ＋ ｃ ＋ ＋ ｄ ） ）了 了１， 。①（１） 并求等号成立 的充分必要条件． 证 法 １ 逐 步 调 整 法 ．
不 变 ． 故 ＡＬ＝ＡＫ＝ＡＭ ＝ＡＮ ＝反 演半 径
丽 ＝ 、 ＝，／—ｂｃｃｏｓ￣—ＢＡＣ
图 １
由 ＣＦ上 ＡＢ，ＢＥ上 ＡＣ，ＡＤ 上 ＢＣ
ＢＦＤ ＝ ＡＣＢ ＝ ＡＨＢ
Ａ、Ｆ、Ｌ、Ｈ 四点 共 圆 ＝ 朋 ＝２（９Ｏ。一 ＡＣＢ）
△ 删 为等腰三 角形
ＡＬ ＝Ａ日 ． ＬＨ ＝ ＡＨＢ ＝ ＡＣＢ ＝ ＢＰＤ
，
，
正 实数 ． （阎光 溪 湖 南师 范大学 附属 中学 高二
（１７０２）班 ，４３１００６） 证 法 ３
（ｂ＋ａ＋Ｃ）了（Ⅱ＋Ｃ＋ｄ）了
≥（￣／６（ａ＋ｃ）＋、／／ （ａ＋ｃ））了 （Ｃａｕｃｈｙ不等式 ）
（ ＝
（ ＋ ））。
＝ （０＋ｃ）（ ＋ ）（ ＋ ） ≥ａＴｂ丁＋ｃｒｄ了（Ｈ６１ｄｅｒ不 等式 ）， 当且仅 当 ｂ＝旦 （ｒｚ＋ｃ），ｄ＝ （ｎ＋ｃ）时 一卜
（ａ ＋ｃ。）＋３ｋａｃ（ａ＋ｃ）
≤ ａ ｃ ＋ｋ（ａ＋ｃ）（口。＋ｃ ）＋（ａ＋ｃ）
２ｋａｃ（０＋Ｃ）≤ ａ ｃ ＋（０＋ｃ）２．
又 ｋ２ ｒ上 ｃ ＋（ａ＋ｃ） ＝（ｋａｃ） ＋（ａ＋ｃ）
＞ １２（ｋａｃ）（ａ＋Ｃ）， 因此 ，原不等式①成立．
由上 述 过 程 知
ｋａｃ＝ｒＩ＋ｃ，ｂ＝ａ２ｋ ｄ＝ｃ２ｋ
进 而 ， ＝ ｛Ｘｉ｝或 ＝ｍａｘ Ｉ ｝·
。 ｌ ≤ ≤ ｋ
Ｉ ≤ ￡≤
由题 设 ，知 优 数 列 的 ｎ＋１个 项 的 取 值 办
法有 ｃ： 。种 ，按从小到大排列 为
必要 条 件 ． （邓皓文 重 庆 市 巴 蜀 中 学 高 ２０１９届
（３）对任 意的 ０≤ｉ＜ ＜ ≤ｎ，均有 ｍａｘ｛ｌ 一 ｌ，ｌ 一 Ｉ｝
＝ —｝（Ｉ ｘ 一 ｌ＋’ 一 ｌ＋ｌ Ａ一 １），
（５）班 ，４０００１３） 证法 ２ 由赫尔德不等式得
则称该数列为 “优数列 ”．求优数列 的个数． 解 类 似 标 准 答 案 得 到 ：优 数 列 中对
式 等 号 成 立 ．
（危 志 家 河 北省衡 水 市 第二 中学 高三
奥 赛 班 ，０５３０９９）
第 ３题 已知正整数 ｎ＞ １２．若整 数数列
一
满 足 ：
，
，
（１）对任 意的 ０≤ｉ≤凡，均有 ｌ≤ｎ；
（２）对任 意的 ０≤ ＜ ≤ｎ，均有 ≠ ，；
即 ｂ：旦（口＋ｃ），ｄ：旦（ｎ＋ｃ）为取 等 的充分 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
１８
Ｉｌ等 数 学
固定 ｂ、ｄ、口＋ｃ，则式①右边 为定 值．
记 ａ＋ｃ＝ｔ．
故式① 左边 ＝ ＿厂（ａ）＝ｂｒａ丁＋ｄ丁（ｔ—ａ）Ｔ
各式等号成立 当且仅 当 ｂｄ＝（Ⅱ＋ｃ） ， ＝ ，
Ｄ ｄ
即 ｂ＝旦 （０＋ｃ） ｄ＝旦 （口＋ｃ），而 ｎ、ｃ为任 意 ，
）＝６÷ 手 １÷（ ）～，
Ｎ
类 似地 ，Ａ、Ｇ、Ｋ、Ｆ四点共 圆． 以 ４为反 演 中心 、 Ｅ·Ａｃ为 反演 半 径 进 行 反 演 变 换 ． 由 Ｂ、Ｆ、Ｅ、Ｃ四 点共 圆
ｊ ＡＥ·ＡＣ ＝ＡＦ·ＡＢ
（曰）＝Ｆ， （Ｆ）＝Ｂ， （Ｃ）＝Ｅ， （Ｅ）＝Ｃ 由反演的保 圆性 （将 不过 反演 中心 的直 线 反 演 为 过 反 演 中心 的 圆 ），得 ＥＦ 与 △ ＡＢＣ 的外 接 圆ｏ ０互 反 ． 故点 Ｇ、Ｈ在反演 中保持不变． 则 ＡＧ＝Ａ日＝反演半径 ＝ Ｅ·ＡＣ， Ｑ（ＡＰＩ￣）与直线 ＦＤ互反（ＡＰ．ＡＤ＝ＡＦ．ＡＢ）， Ｏ（ 凡 ）与直线 ＢＨ互反 ， 直 线 ＢＧ与 Ｏ（ＧＦＡＫ）互 反 ． 从而 ，点 、Ｋ均在反演 中保持不变． 类 似 地 ，点 、 、 、Ⅳ 在 反 演 中保 持
２０１８年 第 １Ｏ期
１７
圃
第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克试题另解
中 图 分 类 号 ：Ｏ１２ 文 献标 识码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１００５—６４１６（２０１８）１０—００１７—０５
【说 明 】本 文解 答 均 选 自本 届 学 员考 场
试 题 解 答 ．
第 １题 已知锐角△ ＡＢＣ的外接圆为ｏ０，
边 ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上 的高 的垂足 分别 为 、Ｅ、Ｆ，
／ 、
、
直线 与ｏ０的弧ＡＢ、ＡＣ分别交 于点 Ｇ、日，
直线 ＤＦ与 ＢＧ、ＢＨ分别交于点 Ｋ、 ，直线 ＤＥ
与 ＣＧ、ＣＨ分别交 于点 、 证 明：Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎ
四点共 圆，且该 圆 的直径 为 √２（ｂ ＋ｃ 一ａ ）， 其 中 ，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ．
其 中 ，０＜０＜ｔ． 由于＿厂 （ａ）关于 ａ单调递减 ，于是 ， 当＿厂 （口）＝０时 ， ＿厂（ａ）取 得 最 大 值
＝ （ 专＝ ２．
设 ｂ＝ａ２ｋ，ｄ＝Ｃ２ ．则 只需 证 （ａ３ｋ）丁１＋（Ｃ３ｋ）了１ ≤（口＋ｃ＋口 ）丁１（Ⅱ＋ｃ＋ｃ ）丁１
ｋ（Ⅱ＋ｃ） ≤（口＋ｃ＋口 ）（ａ＋ｃ＋ｃ２ｋ）
ａＴｂ丁＋ｃｒｄ了≤ （ａ＋ｃ）丁（ｂ丁＋ｄ丁）了． 故 只 需
０≤ｉ＜ ＜后≤忍，有
Ｘｋ＝ｒ ａ ｉ · ｎ｛Ｉ Ｘｉ， ， ｝ １戥 一 Ｘｋ＝ ｍａｘ｛ ｌ Ｘｉ， ，，· ＾｝ ·
（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ＋２、／／６ｄ） ≤ （Ⅱ＋ｃ） ＋（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）＋６ｄ 甘 ２（ａ＋ｃ） ≤（ａ＋ｃ） ＋ 上式 由均值不等式 即得．
ｊ Ａ、Ｐ、Ｌ、Ｂ 四点 共 圆．
孺
√—■厂
Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎ四点共 圆且直径为
√ （ｂ ＋ｃ 一ｎ ） ．
（杨 一鸣 河 北省邯郸 市第一 中学 高三 （Ａ１）班 ，０５６００２）
第 ２题 设 ａ、ｂ、Ｃ、ｄ＞０．证 明 ： ｎ ｎ了 了１ ６ ６了 了１＋ ＋ｃ ｃ÷ 丁ｄ ｄ÷ 了≤ ≤（ （ ａ ＋ ＋ ｂ ＋ ＋Ｃ ） ）÷ 了（ （ ａ ＋ ＋ ｃ ＋ ＋ ｄ ） ）了 了１， 。①（１） 并求等号成立 的充分必要条件． 证 法 １ 逐 步 调 整 法 ．
不 变 ． 故 ＡＬ＝ＡＫ＝ＡＭ ＝ＡＮ ＝反 演半 径
丽 ＝ 、 ＝，／—ｂｃｃｏｓ￣—ＢＡＣ
图 １
由 ＣＦ上 ＡＢ，ＢＥ上 ＡＣ，ＡＤ 上 ＢＣ
ＢＦＤ ＝ ＡＣＢ ＝ ＡＨＢ
Ａ、Ｆ、Ｌ、Ｈ 四点 共 圆 ＝ 朋 ＝２（９Ｏ。一 ＡＣＢ）
△ 删 为等腰三 角形
ＡＬ ＝Ａ日 ． ＬＨ ＝ ＡＨＢ ＝ ＡＣＢ ＝ ＢＰＤ
，
，
正 实数 ． （阎光 溪 湖 南师 范大学 附属 中学 高二
（１７０２）班 ，４３１００６） 证 法 ３
（ｂ＋ａ＋Ｃ）了（Ⅱ＋Ｃ＋ｄ）了
≥（￣／６（ａ＋ｃ）＋、／／ （ａ＋ｃ））了 （Ｃａｕｃｈｙ不等式 ）
（ ＝
（ ＋ ））。
＝ （０＋ｃ）（ ＋ ）（ ＋ ） ≥ａＴｂ丁＋ｃｒｄ了（Ｈ６１ｄｅｒ不 等式 ）， 当且仅 当 ｂ＝旦 （ｒｚ＋ｃ），ｄ＝ （ｎ＋ｃ）时 一卜
（ａ ＋ｃ。）＋３ｋａｃ（ａ＋ｃ）
≤ ａ ｃ ＋ｋ（ａ＋ｃ）（口。＋ｃ ）＋（ａ＋ｃ）
２ｋａｃ（０＋Ｃ）≤ ａ ｃ ＋（０＋ｃ）２．
又 ｋ２ ｒ上 ｃ ＋（ａ＋ｃ） ＝（ｋａｃ） ＋（ａ＋ｃ）
＞ １２（ｋａｃ）（ａ＋Ｃ）， 因此 ，原不等式①成立．
由上 述 过 程 知
ｋａｃ＝ｒＩ＋ｃ，ｂ＝ａ２ｋ ｄ＝ｃ２ｋ
进 而 ， ＝ ｛Ｘｉ｝或 ＝ｍａｘ Ｉ ｝·
。 ｌ ≤ ≤ ｋ
Ｉ ≤ ￡≤
由题 设 ，知 优 数 列 的 ｎ＋１个 项 的 取 值 办
法有 ｃ： 。种 ，按从小到大排列 为
必要 条 件 ． （邓皓文 重 庆 市 巴 蜀 中 学 高 ２０１９届
（３）对任 意的 ０≤ｉ＜ ＜ ≤ｎ，均有 ｍａｘ｛ｌ 一 ｌ，ｌ 一 Ｉ｝
＝ —｝（Ｉ ｘ 一 ｌ＋’ 一 ｌ＋ｌ Ａ一 １），
（５）班 ，４０００１３） 证法 ２ 由赫尔德不等式得
则称该数列为 “优数列 ”．求优数列 的个数． 解 类 似 标 准 答 案 得 到 ：优 数 列 中对
式 等 号 成 立 ．
（危 志 家 河 北省衡 水 市 第二 中学 高三
奥 赛 班 ，０５３０９９）
第 ３题 已知正整数 ｎ＞ １２．若整 数数列
一
满 足 ：
，
，
（１）对任 意的 ０≤ｉ≤凡，均有 ｌ≤ｎ；
（２）对任 意的 ０≤ ＜ ≤ｎ，均有 ≠ ，；
即 ｂ：旦（口＋ｃ），ｄ：旦（ｎ＋ｃ）为取 等 的充分 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
１８
Ｉｌ等 数 学
固定 ｂ、ｄ、口＋ｃ，则式①右边 为定 值．
记 ａ＋ｃ＝ｔ．
故式① 左边 ＝ ＿厂（ａ）＝ｂｒａ丁＋ｄ丁（ｔ—ａ）Ｔ
各式等号成立 当且仅 当 ｂｄ＝（Ⅱ＋ｃ） ， ＝ ，
Ｄ ｄ
即 ｂ＝旦 （０＋ｃ） ｄ＝旦 （口＋ｃ），而 ｎ、ｃ为任 意 ，
）＝６÷ 手 １÷（ ）～，