高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 湘教版

【变式训练】 2.已知集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2（a
＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}.若B A，求实数a的值.
【解析】B A可分为B A和B＝A两种情况，易知A＝{0，－4}.
（1)当A＝B＝{0，－4}时，
∵0，－4是方程x2＋2（a＋1)x＋a2－1＝0的两根，
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（1)解题时要注意集合中元素的三个性质的应用,特别是无序性和互异 性,要进行解题后的检测,注意符号语言与文字语言之间的相互转化. （2)解题时要注意空集的特殊地位,讨论时要防止遗漏. （3)元素与集合之间是属于关系,集合与集合之间是包含关系. （4)可以用图示显示集合与集合之间的关系,用数轴上的点表示数集,注 意数形结合思想方法的运用.
或a＝－ 1
.
3
1
故所求集合为0，
2
，－
1
.
3
2
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（2)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝
，满足B A；
若B≠ ，且满足B A，如图所示，
则 m+1≤2m-1，
m≥2,
m+1≥-2，
即 m≥-3,
2m-1≤5，
m≤3,
∴2≤m≤3.
故m<2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}.
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【变式训练】 1.（1）已知集合M={x|（x2+1)（x+a)≤0}，P={x|a2—
x≤0}，若M∩P的子集的个数为2，则实数a的值是（ ）
A.0
B.1
C.-1
D.-1或0
（2）对任意两个集合M，N，定义：M－N={x|x∈M且x N}，设
M={y|y=x2,x∈R}，N={y|y=3sin x,x∈R}，则集合M * N=（M－N)∪（
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集合间的基本关系
判断集合与集合的关系,基本方法是归纳为判断元素与 集合的关系.对于用描述法表示的集合,要紧紧抓住代表元素 及它的属性,可将元素列举出来直观发现或通过元素特征,求 同存异,定性分析.
【注意】 要特别注意 是任何集合的子集,是任何非空集
合的真子集在解题中的应用.
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（1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S P，求由a的可取值
S∩T={1}，设P=S∪T，则集合P的真子集的个数
是
.
【解析】: 由已知可得T={1,2}，∴a=1， P=S∪T={1,2,3}，故P的真子集的个数是23－1=7. 【答案】: 7
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集合的基本概念 1.掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注
意集合中元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺 利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检 验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确. 2.用描述法表示集合时,首先应清楚集合的类型和元素的性质. 如集合{y|y =2x},{x|y =2x },{(x,y)|y =2x}表示不同的集合.
N－M)=
.
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【解析】（1）∵a∈R,x∈R,∴M={x|x≤-a}. 又P={x|x≥a2},且M∩P的子集的个数为2， 则M∩P中有且仅有一个元素， 即M∩P={x|a2≤x≤—a}中有且仅有一个元素， ∴a2=—a，解得a=0或a=—1,故正确选项为D. （2）由已知M={y|y≥0}，N={y|－3≤y≤3}， ∴M－N={y|y>3}，N－M={y|－3≤y<0}， ∴M * N={y|－3≤y<0或y>3}. 【答案】（1)D （2){y|－3≤y<0或y>3}
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已知全集为R，集合A={t|t使得{x|x2+2tx－4t－3≥0}=R}，
集合B={t|t使得{x|x2+2tx－2t=0}≠ }其中x,t均为实数.
（1）求A∩B和 R (A∪B)； （2）设m为整数，g(m)=m2－3， 求M={(m,g(m))|g(m)∈A∩B}.
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③A＝{x|0<x<1}，B＝R.
其中，“保序同构”的集合对的序号是
.（写出所有“保序同构”的集合
对的序号)
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【规范解答】对①：取f（x)＝x－1，x∈N*，所以B＝N*，A＝
【变式训练】 3.设全集是实数集 R，A ＝{x|2x2 －7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．
(1)当 a＝－4 时，求 A ∩B 和 A ∪B； (2)若(∁RA )∩B＝B，求实数 a 的取值范围．
【解析】 (1)A ＝{x|12≤x≤3}． 当 a＝－4 时，B＝{x|－2<x<2}， ∴A ∩B＝{x|12≤x<2}，A ∪B＝{x|－2<x≤3}．
）
A.1
B.1
C.1,1
D.1,0,1
【解析】由题意知当集合B不能为空集时，它的元素为1或—1；当 B为空集时， a=0，故 a=0或1或—1.故选D. 【答案】D
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2.设全集U=R，A x 2 x x 1 1 , B x y l 1 n x ,
则如图中阴影部分表示的集合为
（）
A.xx1
B.x1x2
C.x0x1
D.xx1
【解析】:对于 2xx2 ，等价x于 x20,解得 0x2,所以
Ax0x2;集合 B表示函y数ln1x的定义域 由1x0,得x1,故Bxx1,CRBxx1, 则阴影部分面A积 C表 RB示 x1x2.
【答案】： B
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3.已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为
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（1)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，
则B中所含元素的个数为
.
（2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，b ，b，则b－a＝
.
a
【解析】（1)由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}得x>y，
当y＝1时，x可取2,3,4,5，有4个；
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(5)子集、全集、补集等概念实质上即是生活中的“部分”、“全体
”、“剩余”等概念在数学中的抽象与反映，当AU时, C U A的含义
是：从集合U中去掉集合A的元素后，由所有剩余的元素组成的新集 合.集合A的元素补上
C U A 的元素后可合成集合U. (6)补集 C U A 与集合A的区别:两者没有相同的元素;两者的所有元素
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4.已知集合
M＝x x
2n 1, 2
n
Z
，N=
x
xn2源自2,nZ
,
则集合 M 与 N 的关系为
.
【解析】M＝ x
x
2n 1, 2
n
Z，N= x
x
n
2
2
,n
Z ，
且当 n∈Z 时，2n＋1 表示奇数，n＋2 表示整数，
所以 M N.
【答案】M N.
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5．已知集合S={3,a}，T={x|x2－3x<0,x∈Z}，且
合在一起就是全集.
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集合是高中数学的基础内容,也是高考数学的必考内容,难度不大,一 般是一道选择题或填空题.通过对近两年高考试题的统计分析可以看出,对 集合内容的考查一般以两种方式出现:一是考查集合的概念、集合间的关 系及集合的运算.集合的概念以考查集合中元素的特性为重点,集合间的关 系以子集、真子集、空集的定义为重点；二是与其他知识相联系，以集合 语言和集合思想为载体，考查函数的定义域、值域，函数、方程与不等式 的关系，直线与曲线的位置关系等问题.
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念与运算 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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知识点
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集合
1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问 题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用Venn图表示集合的关系及运算.
符号
N
N*或N+ Z
Q
R
(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法.
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关系 相等 子集
定义
集合A与集合B中的所有元 素都相同
A中任意一个元素均为B中 的元素
记法 A=B AB或B A
A中任意一个元素均为B中 真子集 的元素，且B中至少有一个
元素不是 A中的元素
AB
【思考探究】 集合{ }是空集吗?它与{0}、 有什么 区别？ 提示: 集合{ }不是空集.空集是不含任何元素的集合,而 集合{ }中有一个元素 .若 把 看做 一个元素则有 ∈{ },而{0}表示集合中的元素为0.
.
【解析】因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.
当m＋2＝3时，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，
所以m＝1不符合题意，舍去；
当2m2＋m＝3时，解得m＝－ 3 或m＝1（舍去)，
2
此时当m＝－ 3 时，m＋2＝ 1 ≠3符合题意.
2 所以m＝－ 3 .
2
2
【答案】－ 3
2
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3.集合的基本运算
并集
交集
符号 表示
A∪B
A∩B
补集
若全集为U,则集 合A的补集为 CUA
图形 表示
意义
{x|x∈A,或 x∈B}
{x|x∈A,且 x∈B}
{x|x∈U,且x A}
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1.（2014·惠州高三调研）已知集合A= -1,1， Bxa x10
若A B，则实数 a 的所有可能取值的集合为 （
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知识点
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命题与量词、 基本逻辑联结
词
1.了解命题的概念. 2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 3.理解全称量词与存在量词的意义. 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
充分条件、必 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题， 要条件与命题 会分析四种命题的相互关系. 的四种形式 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
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1.1 集合的概念与运算
1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性: 确定性 、 互异性 、无序性. (2)集合中元素与集合的关系
元素与集合的关系：对于元素a与集合A，或者a∈A ，或
者 a A .二者必居其一.
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（3）常见集合的符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
当y＝2时，x可取3,4,5，有3个；
当y＝3时，x可取4,5，有2个；
当y＝4时，x可取5，有1个.
故共有1＋2＋3＋4＝10（个).
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b
（2)因为{1，a＋b，a}＝0，
b
a
所以a＋b＝0，得
＝－1，
a
所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
，b，a≠0，
【答案】（1) 10（个) （2) 2
组成的集合.
（2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B A ，求由m的可取
值组成的集合.
【解析】（1)P＝{－3,2}.当a＝0时，S＝ ，满足S P；
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－ 1
，
a
为满足S P可使－ 1 ＝ －3或－ 1 ＝2，
a
a
即a＝ 1
②当B＝ 时，Δ<0，∴a<－1，
综上知所求实数a的取值范围为a≤－1或a＝1.
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集合的基本运算 在进行集合的运算时,先看清集合的元素和所满足 的条件,再把所给集合化为最简形式,并合理转化求解 ,必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题 直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法， 使运算更加直观、简洁.
∴ 16 - 8（a+1)a2-1=0,
a2 - 1=0，
∴a＝1.
12/16/2020
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（2)当B A时，有B≠ 或B＝
，
①当B≠ 时，B＝{0}或B＝{－4}，
∴方程x2＋2（a＋1)x＋a2－1＝0有相等的实数根0或－4.
∴Δ＝4（a＋1)2－4（a2－1)＝0，∴a＝－1，
∴B＝{0}满足条件.
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(2)∁RA ＝{x|x<12或 x>3}． 当(∁RA )∩B＝B 时，B⊆∁RA ， ①当 B＝∅，即 a≥0 时，满足 B⊆∁RA ； ②当 B≠∅，即 a<0 时，B＝{x|－ －a<x< －a}， 要使 B⊆∁RA ，需 －a≤12，解得－14≤a<0. 综上可得，a 的取值范围为aa≥－41.
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（2013·福建卷)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝
f（x)满足：
（i)T＝{f（x)|x∈S}；
（ii)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f（x1)<f（x2)， 那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合：
①A＝N，B＝N*；
②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}；