高中数学学案：极坐标与参数方程的应用

高中数学学案:极坐标与参数方程的应用

基础诊断

1. 将参数方程⎩⎨⎧x ＝sin α，

y ＝cos α＋1(α为参数)化为普通方程为________________．

2. 圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎨⎧x ＝2＋2t ，

y ＝1＋4t (t 为参数)截得的弦长为________．

3. 圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，

y ＝2t

(t 为参数)的焦点坐标是________．

4. 在极坐标系中,直线ρcos θ＋ρsin θ＝a(a>0)与圆ρ＝2cos θ相切,则a ＝________．

范例导航

考向

例1在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为

⎩⎪

⎨

⎪⎧x＝1－22t，

y＝2＋

2

2t

(t为参数),直线l与抛物线y2＝4x相交于A,B两点,求线段AB的长．

在极坐标系中,圆C的方程为ρ＝42cos(θ－

π

4),以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建

立平面直角坐标系,直线l的参数方程为

⎩

⎨

⎧x＝t＋1，

y＝t－1

(t为参数),求直线l被圆C截得的弦AB的长度．

考向

例2在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为

⎩

⎨

⎧x＝3cosα，

y＝sinα

(α是参数),以坐

标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

θ＋π4＝2 2.

(1) 写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；

(2) 设点P 在曲线C 1上,点Q 在直线C 2上,求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．

在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，

y ＝sin θ(θ是参数),直线l 的参数方程

为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t

(t 是参数)． (1) 若a ＝－1,求曲线C 与直线l 的交点坐标；

(2) 若曲线C 上的点到直线l 距离的最大值为17,求a 的值．

考向

例3 在平面直角坐标系xOy 中,设动点P,Q 都在曲线C:⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，

y ＝2sin θ(θ为参数)上,

且这两点对应的参数分别为θ＝α,θ＝2α(0<α<2π),设PQ 的中点M 与定点A(1,0)间的距离为d,求d 的取值范围．

自测反馈

1. 在极坐标系中,直线4ρcos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．

2. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

θ－π6,则它的直角坐标方程为______________．

3. 在平面直角坐标系xOy 中,过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的左焦点与直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－4＋2t (t 为参数)垂直的直线方程为________．

4. 设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，

y ＝a ＋3t (t 为参数)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建

立极坐标系得到另一直线l 2的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0,若直线l 1与l 2之间的距离为10,则实数a 的值为________．

1. 求解与极坐标有关的问题,主要有两种方法:一是直接利用极坐标求解,求解时可与数形结合的思想一起应用；二是转化为直角坐标后,用直角坐标求解．使用后一种方法时应注意,若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标．

2. 参数方程化为普通方程:化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法,不要忘了参数的范围．

3. 总结参数方程求解的思路:

第17课 极坐标与参数方程的应用

基础诊断

1. x 2

＋(y －1)2

＝1(－1≤x ≤1) 解析:由题意得⎩⎨⎧sin α＝x ，

cos α＝y －1(α为参数),所以x 2＋(y －1)2＝1,

即该参数方程化为普通方程为x 2＋(y －1)2＝1且－1≤x ≤1.

2. 3 解析:圆ρ＝3cos θ化为直角坐标方程为⎝ ⎛

⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.将直线⎩⎨⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)

代入⎝ ⎛

⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94得20t 2＋10t －1＝0,则t 1＋t 2＝－12,t 1t 2＝－120,所以(t 1－t 2)2＝920,故直线截得

20（t 1－t 2）2＝3.

3. (1,0) 解析:由题意得曲线参数方程⎩⎨⎧x ＝t 2 ①，

y ＝2t ②(t 为参数),将②两边平方得y 2＝4t 2.又因

为x ＝t 2,所以该曲线的普通方程为y 2＝4x,故焦点为(1,0)．

4 1＋2 解析:圆ρ＝2cos θ,转化成ρ2＝2ρcos θ,

进一步转化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1,把直线ρ cos θ＋ρ sin θ＝a 的方程转化成直角坐标方程为x ＋y －a ＝0.由于直线和圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,所以 |1－a|

2＝1,

且a>0,故a ＝1＋ 2.

范例导航

例1 解析:直线l 的普通方程为x ＋y ＝3, 代入抛物线y 2＝4x 并整理得x 2－10x ＋9＝0,

解得x ＝1或x ＝9,所以交点A(1,2),B(9,－6),故AB ＝8 2.

解析:圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＝0,即(x －2)2＋(y －2)2＝8,圆心C(2,2),半径r ＝22,

直线l 的普通方程为x －y －2＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝2

2

＝2,