2020年江苏省镇江市中考数学试卷(附答案详解)

2020年江苏省镇江市中考数学试卷
1.(2021·贵州省毕节市·模拟题)下列计算正确的是()
A. a3+a3=a6
B. (a3)2=a6
C. a6÷a2=a3
D. (ab)3=ab3
2.(2021·内蒙古自治区·期末考试)如图，将棱长为6的正方体截去一
个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的主视
图是()
A.
B.
C.
D.
3.(2020·江苏省·单元测试)一次函数y=kx+3(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，
它的图象不经过的象限是()
A. 第一
B. 第二
C. 第三
D. 第四
4.(2021·安徽省·单元测试)如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC=
106°，则∠CAB等于()
A. 10°
B. 14°
C. 16°
D. 26°
5.(2021·陕西省宝鸡市·期末考试)点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+
ax+4的图象上．则m−n的最大值等于()
A. 15
4B. 4 C. −15
4
D. −17
4
6.(2021·全国·单元测试)如图①，AB=5，射线AM//BN，点C在射线BN上，将△ABC
沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ//AB.设AP=x，QD=y.若y关于x的函数图象(如图②)经过点E(9,2)，则cos B的值等于()
A. 2
5B. 1
2
C. 3
5
D. 7
10
7.(2021·全国·单元测试)2
3
的倒数等于______．
8.(2012·湖北省武汉市·期中考试)使√x−2有意义的x的取值范围是______．
9.(2021·江苏省南通市·模拟题)分解因式：9x2−1=______．
10.(2020·全国·单元测试)2020年我国将完成脱贫攻坚目标任务．从2012年底到2019
年底，我国贫困人口减少了93480000人，用科学记数法把93480000表示为______．
11.(2021·天津市市辖区·期末考试)一元二次方程x2−2x=0的两根分别为______．
12.(2021·山东省枣庄市·模拟题)一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些
球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于______．
13.(2021·湖南省·期末考试)圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于______．
14.(2021·全国·单元测试)点O是正五边形ABCDE的中心，分
别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽
的图案(如图).这个图案绕点O至少旋转______°后能与原来
的图案互相重合．
15.(2020·江苏省·单元测试)根据数值转换机的示意图，输出的值
为______．
16. (2021·江苏省南京市·月考试卷)如图，点P 是正方形
ABCD 内位于对角线AC 下方的一点，∠1=∠2，则∠BPC
的度数为______°.
17. (2021·全国·单元测试)在从小到大排列的五个数x ，3，6，8，12中再加入一个数，
若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则x 的值为______．
18. (2020·湖北省黄石市·单元测试)如图，在△ABC 中，BC =3，将△ABC 平移5个单
位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、
Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于______．
19. (2020·江苏省·单元测试)(1)计算：4sin60°−√12+(√3−1)0；
(2)化简(x +1)÷(1+1
x ).
20. (2020·江苏省·单元测试)(1)解方程：2x x+3=1x+3+1；
(2)解不等式组：{4x +2>x −7,3(x −2)<4+x.
21.(2020·江苏省无锡市·月考试卷)如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1=∠B，点
E、F分别在AB、BC上，BE=CD，BF=CA，连接EF．
(1)求证：∠D=∠2；
(2)若EF//AC，∠D=78°，求∠BAC的度数．
22.(2020·江苏省·单元测试)教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年
级学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例为19.4%.某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t(单位：小时)进行了调查，将数据整理后绘制成下表：
平均每天的
5≤t<66≤t<77≤t<88≤t<99小时及以上睡眠时间分
组
频数15m24n
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了22%．
(1)求表格中n的值；
(2)该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t<8这个范围
内的人数是多少．
23.(2021·全国·单元测试)智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含
义．例如，符号“”有刚毅的含义，符号“”有愉快的含义．符号中的“”表示“阴”，“”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．
(1)所有这些三行符号共有______种；
(2)若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的
概率．
24.(2021·四川省成都市·模拟题)如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点
C在一条直线上，AC=10m.小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E 出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D(H、B、D三点在一条直线上).已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度(结果精确到0.1m).(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73.)
25.(2021·四川省乐山市·模拟题)如图，正比例函数y=kx(k≠0)的图象与反比例函数
y=−8
的图象交于点A(n,2)和点B．
x
(1)n=______，k=______；
(2)点C在y轴正半轴上．∠ACB=90°，求点C的坐标；
(3)点P(m,0)在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．
26.(2020·福建省福州市·月考试卷)如图，▱ABCD中，∠ABC
的平分线BO交边AD于点O，OD=4，以点O为圆心，
OD长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N.点
⏜的中点．
E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为MN
(1)求证：四边形ABEO为菱形；
(2)已知cos∠ABC=1
，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长．
3
27.(2020·江苏省·单元测试)【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示−3，点B表示1，则点C表示的数为______，AC长等于______；
【找一找】
−1、如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数√2
2
√2
+1，Q是AB的中点，则点______是这个数轴的原点；
2
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c−n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作
+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作−8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+(m+2b)、−12a的点F、G，并写出
+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系：______．
28.(2021·江苏省常州市·模拟题)如图①，直线l经过点(4,0)且平行于y轴，二次函数
y=ax2−2ax+c(a、c是常数，a<0)的图象经过点M(−1,1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
(1)当a=−1时，求点N的坐标及AC
的值；
BC
(2)随着a的变化，AC
的值是否发生变化？请说明理由；
BC
(3)如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC=2BE，DE交抛物线于点F.若FB=
FE，求此时的二次函数表达式．
答案和解析
1.【答案】B
【知识点】同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项
【解析】解：a3+a3=2a3，因此选项A不正确；
(a3)2=a3×2=a6，因此选项B正确；
a6÷a2=a6−2=a4，因此选项C不正确；
(ab)3=a3b3，因此选项D不正确；
故选：B．
根据同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算法则进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．2.【答案】A
【知识点】截一个几何体、简单组合体的三视图
【解析】解：从正面看是一个正方形，正方形的右上角是一个小正方形，
故选：A．
根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
3.【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】解：∵一次函数y=kx+3(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，
∴k>0，该函数过点(0,3)，
∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
根据一次函数y=kx+3(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，可以得到k>0，与y
轴的交点为(0,3)，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．4.【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
连接BD ，如图，根据圆周角定理得到∠ADB =90°，则可计算出∠BDC =16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB 的度数． 【解答】解：连接BD ，如图， ∵AB 是半圆的直径， ∴∠ADB =90°，
∴∠BDC =∠ADC −∠ADB =106°−90°=16°， ∴∠CAB =∠BDC =16°． 故选：C ．
5.【答案】C
【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征
【解析】解：∵点P(m,n)在以y 轴为对称轴的二次函数y =x 2+ax +4的图象上， ∴a =0， ∴n =m 2+4，
∴m −n =m −(m 2+4)=−m 2+m −4=−(m −1
2)2−154
，
∴当m =1
2时，m −n 取得最大值，此时m −n =−154， 故选：C ．
根据题意，可以得到a 的值，m 和n 的关系，然后将m 、n 作差，利用二次函数的性质，即可得到m −n 的最大值，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6.【答案】D
【知识点】翻折变换(折叠问题)、动点问题的函数图象 【解析】解：∵AM//BN ，PQ//AB ， ∴四边形ABQP 是平行四边形， ∴AP =BQ =x ，
由图②可得当x=9时，y=2，
此时点Q在点D下方，且BQ=x=9时，y=2，如图①所示，
∴BD=BQ−QD=x−y=7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC=CD=1
2BD=7
2
，AC⊥BD，
∴cosB=BC
AB =
7
2
5
=7
10
，
故选：D．
由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP=BQ=x，由图象②可得当x=9时，y=2，此时点Q在点D下方，且BQ=x=9时，y=2，如图①所示，可求BD=7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．
本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识，理解函数图象上的点的具体含义是本题的关键．
7.【答案】3
2
【知识点】倒数
【解析】解：∵2
3×3
2
=1，
∴2
3的倒数是3
2
，
故答案为：3
2
．
根据倒数的意义求解即可．
本题考查倒数的意义，理解乘积为1的两个数是互为倒数是正确求解的关键．8.【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】解：根据二次根式的意义，得
x−2≥0，解得x≥2．
故答案为：x≥2．
当被开方数x−2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
9.【答案】(3x+1)(3x−1)
【知识点】因式分解-运用公式法
【解析】解：9x2−1，
=(3x)2−12，
=(3x+1)(3x−1)．
符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式分解即可．
本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反是解题的关键．
10.【答案】9.348×107
【知识点】科学记数法-绝对值较大的数
【解析】解：93480000=9.348×107．
故答案为：9.348×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值是易错点，由于93480000有8位，所以可以确定n=8−1=7．
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
11.【答案】x1=0，x2=2
【知识点】解一元二次方程-因式分解法
【解析】
【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法求解可得．
【解答】
解：∵x2−2x=0，
∴x(x−2)=0，
∴x=0或x−2=0，
解得x1=0，x2=2．
12.【答案】5
6
【知识点】概率公式
【解析】解：∵袋子中共有5+1=6个小球，其中红球有5个，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于5
，
6
故答案为：5
．
6
用红球的个数除以球的总个数即可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13.【答案】30π
【知识点】圆锥的计算
×2π×5×6=30π．
【解析】解：圆锥侧面积=1
2
故答案为30π．
利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】72
【知识点】旋转及其相关概念、旋转对称图形
【解析】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，
=72°．
∠AOE=360°
5
故答案为：72．
直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角．
此题主要考查了旋转图形，正确掌握旋转图形的性质是解题关键．
15.【答案】1
9
【知识点】负整数指数幂
，
【解析】解：当x=−3时，31+x=3−2=1
9
．
故答案为：1
9
利用代入法和负整数指数幂的计算方法进行计算即可．
本题考查代数式求值，用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算，求出的结果即为代数式的值．
16.【答案】135
【知识点】正方形的性质
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．
由正方形的性质可得∠ACB=∠BAC=45°，可得∠2+∠BCP=45°=∠1+∠BCP，由三角形内角和定理可求解．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠BAC=45°，
∴∠2+∠BCP=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BCP=45°，
∵∠BPC=180°−∠1−∠BCP，
∴∠BPC=135°，
故答案为：135．
17.【答案】1
【知识点】算术平均数、中位数
【解析】解：从小到大排列的五个数x，3，6，8，12的中位数是6，
∵再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等，
∴加入的一个数是6，
∵这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等，
∴1
5(x+3+6+8+12)=1
6
(x+3+6+6+8+12)，
解得x=1．
故答案为：1．
原来五个数的中位数是6，如果再加入一个数，变成了偶数个数，则中位数是中间两位数的平均数，由此可知加入的一个数是6，再根据平均数的公式得到关于x的方程，解方程即可求解．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和平均数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而错误，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
18.【答案】7
2
【知识点】平移的基本性质
【解析】解：取AC的中点M，A1B1的中点N，
连接PM，MQ，NQ，PN，
∵将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，
∴B1C1=BC=3，PN=5，
∵点P、Q分别是AB、A1C1的中点，
∴NQ=1
2B1C1=3
2
，
∴5−3
2≤PQ≤5+3
2
，
即7
2≤PQ≤13
2
，
∴PQ的最小值等于7
2
，
故答案为：7
2
．
取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=4×√3
2
−2√3+1
=2√3−2√3+1
=1；
(2)原式=(x +1)÷(x
x +1
x )
=(x +1)÷
x +1
x =(x +1)⋅x
x +1
=x ．
【知识点】特殊角的三角函数值、零指数幂、实数的运算、分式的混合运算 【解析】(1)先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；
(2)先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
本题主要考查分式和实数的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：(1)2x x+3=1
x+3+1，
2x =1+x +3， 2x −x =1+3， x =4，
经检验，x =4是原方程的解， ∴此方程的解是x =4；
(2){4x +2>x −7①3(x −2)<4+x②，
①4x −x >−2−7， 3x >−9， x >−3；
②3x −6<4+x ， 3x −x <4+6， 2x <10， x <5，
∴不等式组的解集是−3<x<5．
【知识点】一元一次不等式组的解法、分式方程的一般解法
【解析】(1)解分式方程的步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验；
(2)先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出其解集，然后根据是否存在公共部分求解即可．
本题主要考查了解分式方程以及解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的步骤以及不等式的性质是解答本题的关键．
21.【答案】证明：(1)在△BEF和△CDA中，
{BE=CD ∠B=∠1 BF=CA
，
∴△BEF≌△CDA(SAS)，
∴∠D=∠2；
(2)∵∠D=∠2，∠D=78°，
∴∠D=∠2=78°，
∵EF//AC，
∴∠2=∠BAC=78°．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】(1)由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D=∠2；
(2)由(1)可得∠D=∠2=78°，由平行线的性质可得∠2=∠BAC=78°．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明△BEF≌△CDA是本题的关键．
22.【答案】解：(1)n=50×22%=11；
(2)m=50−1−5−24−11=9，
所以估计该校平均每天的睡眠时间在7≤t<8这个范围内的人数是400×9
50
=72(人)．【知识点】加权平均数、用样本估计总体、频数(率)分布表
【解析】(1)根据频率=频数
总体数量
求解可得；
(2)先根据频数的和是50及n的值求出m的值，再用总人数乘以样本中平均每天的睡眠
时间在7≤t<8这个范围内的人数所占比例即可得．
本题主要考查加权平均数、样本估计总体及频数(率)分布表，解题的关键是掌握频率=
频数
、频数的和是50．
总体数量
23.【答案】8
【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】解：(1)根据题意画图如下：
共有8种等可能的情况数，
故答案为：8；
(2)根据第(1)问一个阴、两个阳的共有3种，
．
则有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是3
8
(1)根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数即可；
(2)根据(1)列举的结果数和概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，
∵∠BHN=45°，BA⊥MH，
则BN=NH，
设BN=NH=x，
∵HF=6，∠BFN=30°，
∴tan∠BFN=BN
NF =BN
NH+HF
，
即tan30°=x
x+6
，
解得x=8.19，
根据题意可知：
DM=MH=MN+NH，
∵MN=AC=10，
则DM=10+8.19=18.19，
∴CD=DM+MC=DM+EF=18.19+1.6=19.79≈19.8(m)．
答：建筑物CD的高度约为19.8m．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要
求出HN就可以，在Rt△BNF中，设BN=NH=x，则根据tan∠BFN=BN
NF
就可以求出
x的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
25.【答案】−4−1
2
【知识点】待定系数法求正比例函数解析式、反比例函数综合、一次函数与反比例函数综合
【解析】解：(1)把A(n,2)代入反比例函数y=−8
x
中，得n=−4，
∴A(−4,2)，
把A(−4,2)代入正比例函数y=kx(k≠0)中，得k=−1
2
，
故答案为：−4；−1
2
；
(2)过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵A(−4,2)，
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B(4,−2)，
设C(0,b)，则CD=b−2，AD=4，BE=E，CE=b+2，∵∠ACO+∠OCB=90°，∠OCB+∠CBE=90°，
∴∠ACO=∠CBE，
∵∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ACD∽△CBE，
∴CD
BE =AD
CE
，即b−2
4
=4
b+2
，
解得，b=2√5，或b=−2√5(舍)，
∴C(0,2√5)；
(3)如图2，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得OP1=OP2=OA=OB，
∴OP1=OP2=OA=√42+22=2√5，
∴P1(−2√5,0)，P2(2√5,0)，
∵OP1=OP2=OA=OB，
∴四边形AP1BP2为矩形，
∴AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，
∵点P(m,0)在x轴上，∠APB为锐角，
∴P点必在P1的左边或P2的右边，
∴m<−2√5或m>2√5．
(1)把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k；
(2)可设点C(0,b)，只要求出b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可；
(3)在x轴上找到点P1，P2，使AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，则点P在P1的左边，在P2的右边就符合要求了．
本题主要考查了反比例函数图象与性质，正比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，矩形的判定，待定系数法，第(2)小题关键是证明相似三角形，第(3)小题关键在于构造矩形．
⏜的中点，
26.【答案】解：(1)证明：∵G为MN
∴∠MOG=∠MDN．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AO//BE，∠MDN+∠A=180°，
∴∠MOG+∠A=180°，
∴AB//OE，
∴四边形ABEO是平行四边形．
∵BO平分∠ABE，
∴∠ABO=∠OBE，
又∵∠OBE=∠AOB，
∴∠ABO=∠AOB，
∴AB=AO，
∴四边形ABEO为菱形；
(2)如图，过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AE交OB于点F，
则∠PAO=∠ABC，
设AB=AO=OE=x，则∵cos∠ABC=1
3
，
∴cos∠PAO=1
3
，
∴PA
AO =1
3
，
∴PA=1
3
x，
∴OP=OQ=2√2 3
x
当AE与⊙O相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F为切点，
∴由勾股定理得：(4
3x)2+(2√2
3
x)2=82，
解得：x=2√6(舍负)．
∴AB的长为2√6．
【知识点】平行四边形的性质、菱形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理
【解析】(1)先由G为MN
⏜的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出∠MOG=
∠MDN，再由平行四边形的性质得出AO//BE，∠MDN+∠A=180°，进而判定四边形ABEO是平行四边形，然后证明AB=AO，则可得结论；
(2)过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AB=AO=
OE=x，则由cos∠ABC=1
3
，可用含x的式子分别表示出PA、OP及OQ，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
27.【答案】5 8 N m=4a
【知识点】二元一次方程组的应用、实数与数轴、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
【解析】解：(1)【算一算】：记原点为O，∵AB=1−(−3)=4，
∴AB=BC=4，
∴OC=OB+BC=5，AC=2AB=8．
所以点C表示的数为5，AC长等于8．
故答案为：5，8；
(2)【找一找】：记原点为O，
∵AB=√2
2+1−(√2
2
−1)=2，
∴AQ=BQ=1，
∴OQ=OB−BQ=√2
2+1−1=√2
2
，
∴N为原点．
故答案为：N．
(3)【画一画】：记原点为O，
由AB=c+n−(c−n)=2n，
作AB的中点M，
得AM=BM=n，
以点O为圆心，
AM=n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
(4)【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m=4a．
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b=3×a×4，即m+4b=12a(Ⅰ)；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b=4×a×2，即m+2b=8a(Ⅱ)；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
作OB的中点E，则OE=BE=4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG=3OE=12a，
则点G即为所求．
+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程(Ⅱ)×2−方程(Ⅰ)得：m=4a．
故答案为：m=4a．
(1)根据数轴上点A对应−3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB=BC可求得AC 的长以及点C表示的数；
(2)可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB=2，可得AQ=BQ=1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；
(3)设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM=BM=n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；
(4)①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组{m+4b=12a
m+2b=8a，根据m+2b=OF，m+4b=12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②解①中的方程组，即可得到m=4a．
本题考查了二元一次方程组的应用、实数与数轴、作图−复杂作图，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
28.【答案】解：(1)分别过点M、N作ME⊥CD于点E，NF⊥DC于点F，
∵ME//FN//x轴，
∴△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，
∴ME
AC =DE
DC
，BC
FN
=DC
DF
，
∵a=−1，则y=−x2+2x+c，
将M(−1,1)代入上式并解得：c=4，
∴抛物线的表达式为：y=−x2+2x+4，
则点D(1,5)，N(4,−4)，
则ME=2，DE=4，DC=5，FN=3，DF=9，
∴2
AC =4
5
,BC
3
=5
9
，解得：AC=5
2
，BC=5
3
，
∴AC
BC =3
2
；
(2)不变，理由：
∵y=ax2−2ax+c过点M(−1,1)，则a+2a+c=1，解得：c=1−2a，
∴y=ax2−2ax+(1−2a)，
∴点D(1,1−4a)，N(4,1+5a)，
∴ME=2，DE=−4a，
由(1)的结论得：AC=1−4a
−2a ，BC=1−4a
−3a
，
∴AC
BC =3
2
；
(3)过点F作FH⊥x轴于点H，则FH//l，则△FHE∽△DCE，
∵FB=FE，FH⊥BE，
∴BH=HE，
∵BC=2BE，
则CE=6HE，
∵CD=1−4a，
∴FH=1−4a
6
，
∵BC=4a−1
3a
，
∴CH=5
4×4a−1
3a
=20a−5
12a
，
∴F(5
3−5
12a
+1,1
6
−2
3
a)，
将点F的坐标代入y=ax2−2ax+(1−3a)=a(x+1)(x−3)+1得：
1 6−2
3
a=a(5
3
−5
12a
+1+1)(5
3
−5
12a
+1−3)+1，
解得：a=−5
4或1
4
(舍弃)，
经检验a=−5
4
，
故y=−5
4x2+5
2
x+19
4
．
【知识点】二次函数综合
【解析】(1)证明△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，则ME
AC =DE
DC
，BC
FN
=DC
DF
，求出AC=5
2
，
BC=5
3
，即可求解；
(2)点D(1,1−4a)，N(4,1+5a)，则ME=2，DE=−4a，由(1)的结论得：AC=1−4a
−2a
，
BC=1−4a
−3a
，即可求解；
(3)利用△FHE∽△DCE，求出F(5
3−5
12a
,1
6
−2
3
a)，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似等，综合性强，难度较大．。