浙江专升本《高数二》试卷及答案

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷
1．函数x e x x x
y --=)
1(sin 2的连续区间是____________________.
2．_______
____________________)
4(1lim 2
=
-+-∞
→x x x x .
3．写出函数
的水平渐近线
和
垂直渐近线
4．设函数⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1
)(2)1(1
2
x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点x=1处连
续.
5．设参数方程⎩⎨⎧==θ
θ
2sin 2cos 3
2r y r x ， （1）当r 是常数,θ是参数时，则_____
__________=dx dy .
（2）当θ是常数，r 是参数时，则
=dx
dy
_____________
.
二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）
1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('
=c f ，则当（ ）时，)(x f 在c x =处取得极大值.
)(A 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , )(B 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f , )(C 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , )(D 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则
). ()
2()3(lim
000=--+→h
h x f h x f h
).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A
3．设函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=--0
,0
0,0
x ,)(22
x e x e x f x x ，则积分⎰-1
1)(dx x f ＝（ ）. .2)( ,e
1
)( 0)( ,1)(D C B A -
4．
可微函数
在点
处有
是函数
在点处取得极值的 （）。

充分条件，必要条件， 充分必要条件，既非充分又非必要条件。

5．设级数
∑∞
=1
n n
a
和级数
∑∞
=1
n n
b
都发散，则级数
∑∞
=+1
)(n n n
b a
是（ ）.
)(A 发散， )(B 条件收敛， )(C 绝对收敛，)( D 可能发散或者可能收敛.
三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共10个小题，每小题7分，共70分）
1．求函数x
x x y )1(2
+-=的导数.
2. 求函数122
3+-=x x y 在区间（－1，2）中的极大值，极小值.
3. 求函数x
e x x
f 2
)(=的3阶导数3
3dx f
d .
4．计算极限)
1sin()
1(lim 1--+-→x x e e x x .
5．计算积分⎰+dx e x
211
. 6．计算积分⎰-+1
2)2(dx e x x x .
7．函数方程
，其中变量是变量的函数，
求和
8．把函数1
1
+=
x y 展开成1-x 的幂级数，并求出它的收敛区间.
9．求微分方程x y x dx
dy
x
sin )(sin cos =+的通解.
10．直线1=x 把圆42
2=+y x 分成左，右两部分，求右面部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积.
四．综合题： （本题共2个小题，每小题10分，共20分）
1．设m n ,是整数，计算积分⎰
π
cos cos mxdx nx .
2．已知函数d cx bx ax x f +++=234)(2
3， 其中常数0,,,,=+++d c b a d c b a 满足， （1）证明函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根，
（2）当ac b 832
<时，证明函数)(x f 在（0，1）内只有一个根.
2005年高数（二）答案（A 卷）
一．填空题：(每空格5分，共40分)
1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，
2．
21， 3．（1）0y =， （2）2x = 4．1,0-==b a ，
5．（1）y x r 2-， （2）x
y
23.
三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,每小题7分，共70分） 1．解 ：令)1ln(ln 2
+-=x x x y ， （3分）
则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1
)
12([
222
'
+-+-++--= （7分） 2．解：)43(432
'-=-=x x x x y ，驻点为3
4,021==x x （2分）
（法一） 46'
'-=x y ，
04)0(''<-=y ， 1)0(=y （极大值）， （5分）
04)34(''>=y ， 27
5
)34(-=y （极小值）. （7分）
（5分）
当0=x 时，1=y （极大值），当34=x 时，275-=y （极小值） （7分）
3．解：（法一）利用莱布尼兹公式x
e x x dx
f d ]66[23
3++= （7分） （法二）x
e x x x
f )2()(2'+=， （3分） x e x x x f )24()(2''++=， x e x x x f
)66()(2)
3(++= （7分）
4．解：)
1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x ＝)1cos(1
lim 1-+→x e x x ＝1+=e
5．解：⎰+dx e
x
211＝=+-+⎰dx e e e x x
x 22211 (3分) ++-=)1ln(2
1
2x e x C （7分）
6.解：⎰
-+1
2)2(dx e x x x ＝=+--+⎰dx e x e
x x x x 1
10
2
)12()2( （3分）
＝2－⎰
+1
)12(dx e x x
＝2－)13(-e +10
2x e
=
＝e e e -=-+-12233。

（7分）
7．解：
()22,220F x y x xy y =++=
2222222233
422202(2)2()0
21()()(1)()()()220()()
dy dy x y x
y dx dx
dy
x y x y dx
dy x y x dx x y x y
x dy x y x x x x y x d y x y dx dx x y x y x y x x xy y x y x y ∴+++=⇒+++=+⇒=-=--+++-+++-++=-=-++++++=-=-=++ （3分）
（7分）
8．解：
])21()1()21()21(211[21]2111[211132 +--++---+--=-+
=+=
n
n x x x x x x y
＝∑∞
=+--0
1
2)1()1(n n n n x ， （5分） 收敛区间为（-1， 3）. （7分）
9．解：
x
x
x y 2cos sin )'cos (
=
（5分）
1cos +=x C y （其中C 为任意常数） （7分）
10．解：直线1=x 与圆42
2=+y x 的交点是)3,1(),3,1(21-P P ， （2分） 右面部分绕y 轴旋转一周的所得几何体的体积.
⎰
---=3
3
2
]1)4[(dy y V π
（5分） ＝ππ34)33(23
3
=-
y y （7分） 四．综合题：
1．解：⎰π0
cos cos mxdx nx ＝⎰-++π
])cos()[cos(21
dx x m n x m n （3分）＝
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≠==≠=m n m n m n ,00 ,0 ,2ππ
（10分） 2．证明：证明：（1）考虑函数dx cx bx ax x F +++=2
34)(, （2分） )(x F 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(==F F ， （4分）
由罗尔定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)('
=ξF ，即
0)()('==ξξf F ，就是=)(ξf 023423=+++d c b a ξξξ,
所以函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根. （7分）
（2）c bx ax x F x f 2612)()(2
'''++==
因为ac b 832
<，所以0)83(129636)2)(12(4)6(222<-=-=-ac b ac b c a b ，
)('x f 保持定号，)(x f 函数)(x f 在（0，1）内只有一个根. （10分）。