2018届高三数学文一轮复习课件：选4-4-2 参数方程 精品

答案： 2
x＝t－3， 3．(2016·株洲模拟)已知直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为y＝ 3t (t 为参数)。以直角坐标系 xOy 中的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆 C 的极坐标方程为 ρ2－4ρcosθ＋3＝0，则圆心 C 到直线 l 的距离为________。
x＝t＋2，
分别为 l：y＝1－s (s 为参数)和 C：y＝t2
(t 为参数)，若 l 与 C 相交于
A，B 两点，则|AB|＝________。
解析：直线 l 的普通方程为 x＋y＝2，曲线 C 的普通方程为 y＝(x－2)2(y≥0)， 联立两方程得 x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB|＝ 2。
微知识❷ 直线的参数方程 过定点 P0(x0，y0)且倾斜角为
α
的直线的参数方程为
xy＝＝xy00＋＋ttcsionsαα，
(t
为参数)，则参数 t 的几何意义是 有向线段 P0P 的数量
。
微知识❸ 圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为 r，以圆心为顶点且与 x 轴同向的射线，按逆时
针方向旋转到圆上一点所在半径成的角 α 为参数的圆的参数方程为
解析：记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 θ＝4π转化为直角坐标方程为 y＝x(x≥0)， 曲线为 y＝(x－2)2，联立上述两个方程得 x2－5x＋4＝0，所以 x1＋x2＝5，故线 段 AB 的中点坐标为52，52。
答案：25，25
x＝t， 5．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为y＝t＋1 (参数 t∈R)， 圆 C 的参数方程为yx＝＝scionsθθ＋1， (参数 θ∈[0,2π))，则圆心 C 到直线 l 的距离 是__________。
x＝1＋π6－1t，
y＝
3π 6t
(t 为参数)。
微考场 新提升
考题选萃 随堂自测
1．(2015·广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系。曲线 C1 的极坐标方程为 ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线 C2
x＝t2， 的参数方程为y＝2 2t (t 为参数)，则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________。
(×)
x＝5cosθ， 2．曲线y＝3sinθ (θ 为参数)的左焦点的坐标是__________。
解析：化为普通方程为2x52 ＋y92＝1，故左焦点为(－4,0)。 答案：(－4,0)
x＝1＋3t， 3．若直线的参数方程为 y＝2－ 3t (t 为参数)，则直线的倾斜角为 __________。
所以直线 l 的参数方程为xy＝ ＝22＋ ＋ttcsionsπ3π3，，
x＝2＋12t，
即 y＝2＋
3 2t
(t 为参数)。
(2)设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求|PA|·|PB|的值。
x＝2＋21t，
解析：(2)把直线
l
的参数方程 y＝2＋
3 2t
代入圆 C：x2＋y2＝16 中，得
解析：曲线 C1 的直角坐标方程为 x＋y＝－2，曲线 C2 的普通方程为 y2＝
x＋y＝－2 x＝2
8x，由y2＝8x
得y＝－4 ，所以 C1 与 C2 交点的直角坐标为(2，－4)。
答案：(2，－4)
2．(2016·榆林模拟)在平面直角坐标系中，已知直线 l 与曲线 C 的参数方程
x＝1＋s，
(2)参数方程yx＝＝scionsθθ－＋mm，， 当 m 为参数时表示直线，当 θ 为参数时 表示的曲线为圆。( × )
(3)直线xy＝＝－1＋2＋tsintc1o5s03°0°， (t 为参数)的倾斜角 α 为 30°。(√)
x＝2cosθ， (4)参数方程y＝5sinθ
(θ 为参数且 θ∈0，π2)表示的曲线为椭圆。
x＝3－ 由
22t，
y＝ 5＋ 22t，
可得直线 l 的普通方程为 x＋y－ 5－3＝0。
所以圆 C 的圆心(0，
5)到直线 l 的距离为|0＋
5－ 2
5－3|＝3 2 2。
(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B。若点 P 的坐标为(3， 5)，求|PA|＋|PB|。
解析：(2)将
l
的参数方程代入圆
x＝2＋sin2θ， (2)y＝－1＋cos2θ (θ 为参数)。
解析：(2)∵y＝－1＋cos2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2， ∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0。 ∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1。∴2≤x≤3。 ∴所求的普通方程为 2x＋y－4＝0(2≤x≤3)。
解析：将曲线 ρ2－4ρcosθ＋3＝0 化成直角坐标方程为 x2＋y2－4x＋3＝0，
将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程 y＝ 3(x＋3)，即 3x－y＋3 3＝0，圆
心(2,0)到直线 l 的距离是 d＝
3×2＋3 2
3＝5 2 3。
答案：52 3
x＝tcosθ， 4．(2016·宝鸡质检)若直线y＝tsinθ
【微练 1】将下列参数方程化为普通方程。
x＝1＋3kk2， (1)y＝16＋k2k2；
x＝1－sin2θ， (2)y＝sinθ＋cosθ。
y 解析：(1)两式相除，得 k＝2yx，将其代入得 x＝1＋3·22yxx2，化简得所求的普通
方程是 4x2＋y2－6y＝0(y≠6)。
(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ) 得 y2＝2－x。又 x＝1－sin2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为 y2＝2－x，x∈[0,2]。
选修部分 选修4－4 坐标系与参数方程
第二节 参数方程
微知识 小题练 微考点 大课堂 微考场 新提升
微知识 小题练
教材回扣 基础自测
一、知识清单
微知识❶ 参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点 的坐标 x，y
都是某个变数 t 的函数：xy＝ ＝fgtt，。 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组 所确定的点 M(x，y)都在 这条曲线上 ，那么方程叫做这条曲线的参数 方程，t 叫做参变数，简称 参数 。相对于参数方程而言，直接给出点的坐 标间关系的方程叫做 普通方程 。
(1)以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标；
解析：(1)由已知，点 M 的极角为π3， 且|OM|＝π3，故点 M 的极坐标为π3，π3。
(2)求直线 AM 的参数方程。
解析：(2)由(1)可得点 M 的直角坐标为π6， 63π， A(1,0)，故直线 AM 的参数方程为
C
的直角坐标方程，得3－
22t2＋
22t2＝5，
即 t2－3 2t＋4＝0。
由于 Δ＝(3 2)2－4×4＝2>0，故可设 t1，t2 是上述方程的两个实根，所以
tt11＋ ·t2＝t2＝4。3 2，
又直线 l 过点 P(3， 5)，故由上式及 t 的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1 ＋t2＝3 2。
(t 为参数，0≤θ＜π 且
θ≠π2)与圆
x＝4＋2cosα， y＝2sinα
(α 为参数)相切，则 θ＝________。
解析：直线的普通方程为 y＝xtanθ，即 kx－y＝0，其中 k＝tanθ，圆的普通 方程为(x－4)2＋y2＝4，由于直线与圆相切，得 1|4＋k|k2＝2，解得 k＝± 33，即 tanθ ＝± 33，又 0≤θ＜π 且 θ≠π2，易知 θ＝π6或56π。
微考点
极坐标与参数方程的综合应用
【典例 3】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系。已知点 A 的极坐标为
2，π4，直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ－π4
＝a，且点 A 在直线 l 上。
(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；
解析：(1)由点 A
2，π4在直线 ρcosθ－π4＝a 上，可得 a＝
2。
所以直线 l 的方程可化为 ρcosθ＋ρsinθ＝2，
从而直线 l 的直角坐标方程为 x＋y－2＝0。
x＝1＋cosα，
(2)圆 C 的参数方程为y＝sinα
(α 为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位
置关系。
解析：(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆 C 的圆心为(1,0)，半径 r＝1，
2＋12t2＋2＋ 23t2＝16，t2＋2( 3＋1)t－8＝0，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，
则 t1t2＝－8，即|PA|·|PB|＝8。
[规律方法] 经过点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为xy＝＝xy00＋＋ttcsionsαα， (t 为 参数)。若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 t1，t2。线段 AB 的中点 为 M，点 M 所对应的参数为 t0。注意以下几个常用的结论：(1)t0＝t1＋2 t2；(2)|PM| ＝|t0|＝|t1＋2 t2|；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1t2|。
[规律方法] 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的 消参方法。常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对 于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2θ＋cos2θ＝ 1 等。 (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解。
【微练 2】
在直角坐标系
xOy
中，直线
l
x＝3－ 的参数方程为
22t，
(t
y＝
5＋
2 2t
为参数)，在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极 点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为 ρ＝2 5sin θ。
(1)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离； 解析：(1)由 ρ＝2 5sin θ，得 x2＋y2－2 5y＝0，即圆 C 的直角坐标方程为 x2＋(y－ 5)2＝5。
因为圆心
C
到直线
l
的距离
d＝
1＝ 2
22＜1，
所以直线 l 与圆 C 相交。
[规律方法] 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方 程和直角坐标方程后求解。当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程。
【微练 3】已知 P 为半圆 C：xy＝＝csionsθθ， (θ 为参数，0≤θ≤π)上的点，点 A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与半圆 C 的弧 AP 的长度均为π3。
(t 为参数)；
解析：(1)∵1t 2＋1t
t2－12＝1，
∴x2＋y2＝1。
∵t2－1≥0，∴t≥1 或 t≤－1。
又 x＝1t ，∴x≠0。 当 t≥1 时，0＜x≤1， 当 t≤－1 时，－1≤x＜0， ∴所求普通方程为
x2＋y2＝100＜ ≤xy≤ ＜11， 或－－11＜≤yx≤＜00， 。
解析：由直线的参数方程知，斜率 k＝yx－ －21＝－3t3t＝－ 33＝tanθ，θ 为直 线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为 150°。
答案：150°
4．在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系。已知射线 θ＝π4与曲线yx＝＝t＋t－11，2 (t 为参数)相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为__________。
解析：直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1。由点 到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为 12＋|2|－12＝ 2。
答案： 2
微考点 大课堂
考点例析 对点微练
微考点
参数方程与普通方程的互化
【典例 1】将下列参数方程化为普通方程。
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
x＝a＋r0,2π)。
微知识❹ 椭圆的参数方程 以椭圆的离心角 θ 为参数，椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的参数方程为 x＝acosθ， y＝bsinθ θ∈[0,2π)。
二、小题查验
1. 思维辨析(在括号内打“√”或“×”)
x＝t＋1， (1)参数方程y＝2－t (t≥1)表示的曲线为直线。( ×)
微考点
参数方程的应用
x＝4cosθ， 【典例 2】在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为y＝4sinθ (θ
为参数)，直线 l 经过点 P(2,2)，倾斜角 α＝3π。 (1)写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程；
解析：(1)由圆 C 的参数方程可得其标准方程为 x2＋y2＝16。 因为直线 l 过点 P(2,2)，倾斜角 α＝π3，