组合数学课件(第七章 生成函数)

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
• • • • • 7.1生成函数的定义和性质 7.2多重集的r-组合数 7.3正整数的划分 7.4指数生成函数与多重集的排列问题 7.5Catalan数和Stiring
§7.1 生成函数概念
§4.1 生成函数的基本概念
4.1.1 生成函数
定义 4.1
给定一无穷序列(a0,a1,…an,…)(简记为{an}),称函
e
1! 2! 1 4 7 ... (3n 1) n x n! n0 4 7 ... 3n 1 3 3 3n x n 1 3 n! n 1 4 4 1 ... 4 n 1 3 3 3 1 ( 3 x )n n! n 1 4 1 3 ( 3 x )n n n 1
§7.1 生成函数的基本概念 7.1.2 指数生成函数
定义 7.2 给定一无穷序列(a0,a1,…an,…)(简记为{an}),称函 xi 数 f e ( x ) ai 为序列{an}的指数生成函数。 i! i 0 注: fe(x)也是形式幂函数。 经常可结合以下公式运算: 2 n x x x e x 1 2 ... n ... 1! 2! n! n x x2 x n x e 1 ... ( 1) ... 1! 2! n! x x3 x 2 n 1 e x e x sin x ... ... 1! 3! (2n 1)! 2
********************** 课程总结
第7章 生成函数
本章重点介绍生成函数(生成函数、指数生成函 数)的基本概念及其在排列组合中的应用 : 生成函数的基本概念 生成函数的基本运算 生成函数在排列、组合中的应用 整数拆分 生成函数在组合恒等式中的应用
• • • • •
第7章 生成函数 第7章 生成函数



§7.1 生成函数的基本概Biblioteka 7.1.1 生成函数例 题
例4、求序列(0, 1×2×3, 2×3×4,…, n(n+1)(n+2),…)的生成函数。
§7.1 生成函数例4
1 解:由牛顿二项式定理的推论1.10.4,有 xn 1 x n0 2 n2 将上式两端同时微分两次得 n ( n 1) x (1 x )3 n 2 6 n3 将上式两端再微分得 n ( n 1)( n 2) x (1 x )4 n 3 6x n 两边同乘以x得 n ( n 1)( n 2) x (1 x )4 n 0 0 1 2 3 x 2 3 4 x 2 ... n( n 1)( n 2) x n ... 6x 因此 f ( x ) 是序列(0, 1 2 3, 2 3 4, ..., n( n 1)( n 2), ...) 4 (1 x ) 的普通母函数。

n!






(1 3 x )
4
3
§7.1 生成函数的基本概念 7.1.2 指数生成函数
设 f(x) 、 fe(x) 分别为序列 {an} 的普通、指数生
§7.1 生成函数定理1
定理 7.1
成函数,则
f ( x ) e x f e ( sx )ds

第四章 二项式系数 4.1 二项式定理 4.2组合恒等式 4.3非降路径问题 4.4牛顿二项式定理 4.5多项式定理 4.6 基本组合计数的应用 本章小结 习题 第五章 包含排斥原理 5.1 包含排斥原理 5.2 多重集的r-组合数 5.3错位排列 5.4 有限制条件的排列问题 5.5有禁区的排列问题 本章小结 习题
王继顺目录1目录2第7章生成函数第7章生成函数71生成函数的定义和性质72多重集的r组合数73正整数的划分74指数生成函数与多重集的排列问题75catalan数和stiring71生成函数概念71生成函数例171生成函数例271生成函数例371生成函数例471指数生成函数概念71指数生成函数例571指数生成函数例671指数生成函数例771指数生成函数例871生成函数定理172生成函数运算定理272生成函数运算例172生成函数运算例272生成函数运算推论172生成函数运算推论272生成函数运算推论372生成函数运算推论472生成函数运算推论5672生成函数定理365母函数在递推关系中的应用65母函数的应用例1165母函数的应用例1265母函数的应用例265母函数的应用例3165母函数的应用例3265母函数的应用例4165母函数的应用例4265母函数的应用例5165母函数的应用例5265母函数的应用例5365母函数的应用例673排列组合概述73组合应用例173组合应用例273组合应用例373组合应用例473组合应用例573组合应用例673组合应用例773排列应用例873排列应用例973排列应用例1073排列应用例1173排列应用例1273排列应用例1374整数的拆分概念74整数的拆分定理474整数的拆分例174整数的拆分例274整数的拆分例374整数的拆分例474整数的拆分定义74整数的拆分推论74整数的拆分定理574整数的拆分定理6174整数的拆分定理6274整数的拆分定理774整数的拆分例574整数的拆分例674整数的拆分定理8174整数的拆分定理8274整数的拆分定理8374整数的拆分定理8474整数的拆分定理8575ferrers图定义75ferrers图定理975ferrers图定理101176组合恒等式应用76组合恒等式应用例1176组合恒等式应用例1276组合恒等式应用例276组合恒等式应用例3176组合恒等式应用例3276组合恒等式应用例476组合恒等式应用例5第7章小结第7章习题结束74整数的拆分定理77sylvester定理
例 题 例 1 、 求 序 列 (C(n,0),C(n,1),C(n,2),…, C(n,n))的生成函数。
§7.1 生成函数例1
解:由定义7.1及二项式定理的推论有 f ( x ) n n x ... n x n 0 1 n (1 x )n


§7.1 生成函数的基本概念 7.1.1 生成函数
§7.1 指数生成函数概念
§7.1 生成函数的基本概念
§7.1 指数生成函数例5
7.1.2 指数生成函数
例 题
例5、设n是整数,求序列(p(n,0), p(n,1), …, p(n,n))的指数生成函数fe(x)。
解:由定义7.2及公式P(n,r)=r!C(n,r),以及例1的 结论,有 x xn f e ( x ) p( n, 0) p( n,1) ... p( n, n) 1! n! n n x ... n x n 0 1 n (1 x )n
解:由定义7.2,有
特别地:若 =1,则序列(1,1,…,1,…)的指数生成函数为ex 。
§7.1 指数生成函数例8
§7.1 生成函数的基本概念
7.1.2 指数生成函数
解:由定义7.2和二项式定理,有 例8、求序列(1, 1×4, 1×4×7,…, 2 n+1),…)的指数生成函数。 1×4×7×…×x (3 x xn 例 题 f ( x ) 1 (1 4) (1 4 7) ... 1 4 7 ... (3n 1) ...
组合数学课件
制作讲授:王继顺
目录(1)

第1章 什么是组合数学 1.1引例 1.2组合数学研究对象、内容和方法 第2章 鸽巢原理 2.1 鸽巢原理:简单形式 2.2 鸽巢原理:加强形式 2.3 Ramsey定理 2.4 鸽巢原理与Ramsey定理的应用 本章小结 习题 第3章 排列与组合 3.1 两个基本的计数原理 3.2 集合的排列与组合 3.3 多重集的排列与组合 本章小结 习题
0

解:由指数生成函数的定义7.2,有 ( sx )n f e ( sx ) an n! n 0 将上式两边同乘以e-s并从0到积分得 n n n s x x s s s n e f ( sx ) ds e a ds a e s ds n n 0 e 0 0 n! n! n 0 n 0 由分部积分法有 s n e n! 0 s ds 故 s n e f ( sx ) ds a x n f ( x) e
k 0 i
§7.2 生成函数运算定理2
§7.2 生成函数的基本运算
例 题
§7.2 生成函数运算例1
例1、设A(x)是序列{an}的生成函数,则 A(x)/(1-x)是序列{a0,a0+a1,…,a0+a1 +…+an,…} 的生成函数。
证明:由牛顿二项式定理知 1 1 x x 2 ... x n ... 1- x 故 1 (1 x ) 是序列(1,1, ...,1, ...)的普通母函数。 令B( x ) 1 (1 x ) , 根据上述定理有 c0 a 0 1 a 0 c1 a0 1 a1 1 a0 a1 ...... cn a0 1 a1 1 ... an 1 a0 a1 ... an 故 A( x ) (1 x ) A( x ) B( x )是序列(a0 , a0 a1 , ..., a0 a1 ... an , ...)的普通母函数。
i f ( x ) a x 数 i 为序列{an}的生成函数(发生、普 i 0
通母函数) 。
注: f(x)是无穷级数,不管其收敛性; x为形式变元,f(x)为形式幂级数 ;
序列与生成函数一一对应;
生成函数是序列的另一表达形式; 有限序列也可用生成函数表示;
可与二项式定理结合应用 。
§7.1 生成函数的基本概念 7.1.1 生成函数
例 题
例2、求序列(C(n-1,0), -C(n,1), C(n+1,2), …, (1)kC(n+k-1,k), … )的生成函数。
§7.1 生成函数例2
解:由定义7.1及二项式定理的推论3.10.2有
f ( x ) n 1 n x n 1 x 2 ... ( 1)k n k 1 x k ... 0 1 2 k = ( 1)k n k 1 x k k k 0 = n x k (1 x ) n k k 0
目录(2)
第八章 Polya定理 8.1置换群中的共轭类与轨道 8.2 Polya定理的特殊形式及其应用 本章小结 习题
第六章 递推关系 6.1 Fibonacci数列 6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 6.3 常系数线性非齐次递推关系的求 解 6.4 用迭代和归纳法求解递推关系 本章小结 习题 第七章 生成函数 7.1生成函数的定义和性质 7.2多重集的r-组合数 7.3正整数的划分 7.4指数生成函数与多重集的排列问 题 7.5 Catalan数和Stiring数 本章小结 习题



证明:由牛顿二项式定理有 §7.1 生成函数例3 §4.1 生成函数的基本概念 1 2 ( 4 x )k 1 2 (1 4 x ) 1 k k 1 1 2 1 2 1 1 2 2 ... 1 2 k 1 4.1.1 生成函数 k 1+ ( 4 x ) -1/2 3 (1-4 x ) 例 、 证 明 k是 ! 序 列 (C(0,0), C(2,1), k 1 k C (4,2), C (2 nk ,n ),1) … )的生成函数。 4 1… 3 ,... (2 例 题 k 1+ x 2k k ! k 1 2 k k ! 1 3 ... (2 k 1) 1 xk k !k ! k 1 2 4 ... (2k ) 1 3 ... (2k 1) k 1 x k !k ! k 1 (2k )! k 1 x 1 2k x k k k 1 k ! k ! k 1 0 2 x 4 x 2 ... 2k x k ... 0 1 2 k 由定义知,(1-4x)-1/2是序列(C(0,0), C(2,1), C(4,2), … , C(2n,n),…) 的生成函数。


§7.1 指数生成函数例7 §7.1 生成函数的基本概念
7.1.2 指数生成函数
例 题
例7、求序列{1,α,α2,…,αn,…}的指数生成函 数fe(x)。其中α是实数。
2 n x x x fe ( x ) 1 2 ... n ... e x 1! 2! n!


§ 7.1 生成函数例6 § 7.1指数 生成函数的基本概念
7.1.2 指数生成函数
例 题
例6、求序列(p(0,0), p(2,1), p(4,2),…, p(2n,n),…)的指数生成函数fe(x)。
解:由定义7.2及公式P(n,r)=r!C(n,r),以及例3的结论,有 x x2 xn f e ( x ) p(0, 0) p(2,1) p(4, 2) ... p(2n, n) ... 1! 2! n! 0 2 x 4 x 2 ... 2n x n ... 0 1 2 n (1 4 x )1 2
0 n 0
§7.2 生成函数的基本运算
定理 7.2 设A(x), B(x), C(x)分别是序列{an}, {bn}和{cn}的生成 函数,则 C(x)=A(x)+B(x)当且仅当ci=ai+bi, (i=0,1,…,r,…) C(x)=A(x)B(x)当且仅当 ci ak bi k , (i=0,1,…,r,…)
相关文档
最新文档