高考专题专题15三角函数与向量综合大题(解析版)

例1 【2013江苏高考】已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，0βαπ<<<. （1）若2||=

-b a ，求证：b a ⊥；

（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求α，β的值. [答案] （1）详见解析（2）56πα=

，6

π

β=

例2 【2012江苏高考】在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =； （2）若5

cos 5

C =

，求A 的值． 【答案】（1）详见解析. （2）=

4

A π

由 （1） ，得

2

4tan 213tan A A =--，解得1

tan =1 tan =3

A A -，。 ∵cos 0A>，∴tan =1A 。∴=

4

A π

.

例3 【2011江苏高考】在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,。

(1) 若A A cos 2)6

sin(=+

π

，求A 的值;

（2）若c b A 3,3

1

cos ==，求C sin 的值;.

从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．向量中的数量积为考查的重点内容，仅作为沟通代数、几何与三角函数的一种工具，向量思想少有触及.

1. 预测2014年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．

2. 利用正弦定理与余弦定理解题，经常利用转化思想，一个是边转化为角，另一个是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正余弦定理化简式子的最终目的.对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便.根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论；利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝角，但是计算麻烦.

3.处理三角问题强调“变”为主线，变角、变名、变次、变结构特别要强化变角的训练.注意三角函数与向量等内容的结合，重视三角函数的应用问题.

1.. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知向量

(sin ,1),(1,cos ),2

2

a b π

π

θθθ==-

<<

．

(1) 若a b ⊥，求θ； (2) 求a b +的最大值． 【答案】(1)4

π

θ=(2)2+1

【解析】

2．【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知ABC ∆21，且

sin sin 2A B C +=

（1）求边AB 的长； （2）若ABC ∆的面积为

1

sin 6

C ，求角C . 【答案】（1）1AB = ;(2)C 3

π

=

【解析】

试题分析：（1）由题中所给三角形周长,即AB BC CA ++为已知,又由sin sin 2sin A B C +=

结合正弦定

()0,C π∈,3

C π

∴=

…………（14分）．

3. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角0

45CAD ∠=． (1)求BC 的长度；

(2)在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，

DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？

【答案】(1) 18 m ;(2) P 在距离1B 56-27 时,()tan αβ＋ 最小 【解析】

化简整理得2

15540x x －

－＝ ， 解得12)183(x x ＝

，＝－舍去 ．

4. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3

C π

=

.

（1）若ABC ∆3，求a ，b ；

（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2a =，2b =；（2）23

.3

【解析】

试题分析：（1）利用余弦定理及面积公式1

sin 2

S ab C =

列方程组就可求出a ，b ；

（2）先根据诱导公式将sin C 化为sin(),A B +再利用两角和与差的正弦公式及二倍角公式化简，最后在约分时注意讨论.

5. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ， AC AB •＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4， (1)求b ·c 的最大值及θ的取值范围；

(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2

θ－3的最值．

【答案】(1) bc 的最大值为16,0<3

π

θ≤;(2)当=

3

π

θ 时，min f()2θ=,当=

6

π

θ时，max f()3θ=.

【解析】