沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第19讲 二次函数图像性质的应用培优(学生版)

二次函数的应用
内容分析
二次函数在实际生活中的应用主要包括以下几个方面：
（1）二次函数与经济问题，主要用于求解利润最大化；
（2）二次函数与面积问题，涉及到实际图形面积关系式的表达、面积最值的求解等；
（3）二次函数与拱桥问题，二次函数的图像与拱桥横截面的形状都是抛物线状，所以利用二次函数求解拱桥问题在实际生活中很常见；
（4）二次函数与物体的运动轨迹：在实际生活中，由于只受重力的作用，掷出的铅球、踢出的足球、投出的篮球等物体的运动轨迹一定是抛物线形状，则可以利用二次函数的图像性质求解相关的问题．
当然二次函数也会与其他的知识点相结合，例如二次函数与一次函数、二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式等的代数综合，以及二次函数与相似三角形、二次函数与圆、二次函数与动点等的几何综合，这些内容我们会在秋季班的课程中深入地学习．
知识结构
步同级年九
模块一：二次函数与利润最大化
知识精讲
1、知识点名称
求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值．
这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围．
例题解析
【例1】某商品进价为90元/个，按100一个出售，能售出500个，如果这种商品每涨价1 元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，单价应定为__________．
【例2】某商店以120元每件的成本购进一批新产品，在试销阶段，每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（台）之间的关系如下表所示：
x 130 150 165
y 70 50 35
（1）若日销售量y是销售价x的一次函数，求这个一次函数；
（2）每件产品的销售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？
2/ 15
【例3】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y = kx + b，且x = 65时，y = 55；x =75时，y = 45．
（1）求一次函数y = kx + b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
【例4】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润y元，请写出y与x之间的函数关系式；
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
【例5】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部
门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ，市场调查发现：单价定于 70元时，日均销售60kg ，单价每降低1元，日均多售出2kg ，在销售过程每天还要支 出其它费用500元（不足一天时，按整天计算），设销售单价为x 元，日均获利为y 元． （1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成2
2424b ac b y a x a a -⎛⎫=++
⎪⎝
⎭的形式，指出单价定为 多少时日均获利最多，是多少？
（3）将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高，这两种销售方式，哪 一种获总利最多，多多少？
【例6】某商场要经营一种文具，进价为20元，当售价为25元时，每天的销售量为250件， 售价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函 数关系式；
（2）商场提出了A 、B 两种营销方案．
方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B ：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
例题解析
1、知识点名称
求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围．
而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多．
【例9】如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 上的一动点，若QP AP ⊥，交DC 于Q ， 设PB = x ，ADQ ∆的面积为y ，y 与x 的函数关系式为_________________．
【例10】小智用总长为8厘米的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）平方厘米
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
知识精讲
A
B
C D
P
Q
A
B C
D 【例11】如图所示，矩形花圃ABCD的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
【例12】如图，在Rt ABC
∆中，90
C
∠=︒，AC = 40 cm，BC = 30 cm，在Rt ABC
∆内部作一个矩形DEFG，其中点D和点G分别在AC、BC上，点E、F在AB上．设矩形的一边EF = x cm，设矩形的面积为y cm2．
（1）写出y关于x的函数关系式及定义域；
（2）求当x = 25 cm时，矩形DEFG的面积．
【例13】抛物线的对称轴是直线x = 1，它与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点
A、C的坐标分别是（1-，0）、（0，
3
2
）．
（1）求此抛物线对应的函数的解析式；
（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求ABP
∆面积的最大值．
A
B
C
D
E
F
G
A
B C D
E
F
N
M G
H
【例14】如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE = 1，CF =
43，直线EF 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，
垂足分别为M 、N ，设HM = x ，矩形AMHN 的面积为y ．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？
【例15】如图，矩形ABCD 中，AB = 6厘米，BC = 12厘米．点M 从点A 开始沿AB 边向
点B 以1厘米/秒的速度向点B 移动，点N 从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点 C 移动．若点M 、N 分别从A 、B 两点同时出发，设移动时间为t （06t <<），DMN ∆ 的面积为S ．
（1）求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最小值； （2）当DMN ∆为直角三角形时，求DMN ∆的面积．
A B
C
D
N
M
步同级年九
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例题解析
1、知识点名称
二次函数与拱桥问题的解题，依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用二次函数的图像性质解答相关的问题．
【例16】如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面 宽AB 为12米，如图建立直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式；
（2）当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中3 1.7 ）
【例17】有一个横截面为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m ，跨度为10 m ， 则把它的横截面的图形放在如图所示的直角坐标系中时：
（1）抛物线的顶点坐标为________，这条抛物线所对应的函数解析式为________________； （2）如图，在对称轴右边3 m 处，桥洞离水面的高度为______ m ．
模块三：二次函数与拱桥问题
知识精讲
【例18】某农业合作社的蔬菜大棚的横截面为抛物线，尺寸如图所示：
（1）根据图中的平面直角坐标系求该抛物线的解析式；
（2）若菜农身高为1.6米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.01米）Array
【例19】一条隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长OC为8米，宽OA为2米，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6米，建立如图所示的坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4米，宽2米，能否从该隧道内通过？请说明理由；
（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过？请说明理由．
【例20】某工厂要赶制一批蒙古包．如图，蒙古包横截面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成的，矩形长为12 m，抛物线拱高为5.6 m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式；
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5 m，高1.6 m，相邻窗户之间的间距均为0.8 m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的
水平距离至少为0.8 m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
【例21】如图有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB的宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽是10米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280千米（桥长忽略不计）．货车正以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶1小时后，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨（货车接到通知时，水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行），试问：如果货车按原来速度行驶，能否完全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
【例22】如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
1、知识点名称
与拱桥问题相同，也需要借助建立平面直角坐标系，利用二次函数的图像性质解答二次函数与运行轨迹的问题．
【例25】在距离地面2米高的某处把一物体以初速度v 0（米/秒）竖直向上抛出，在不计空
气阻力的情况下，其上升高度h （米）与抛出的时间t （秒）满足201
2
h v t gt =-（其中g
是常数，取g = 10 米/秒2）．若v 0 = 10 米/秒，则该物体在运动过程中，最高点距离地 面______米．
【例26】顽皮的小明，从10米高的窗口A 用水枪向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物
线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面40
3
米，则水流落
地点B 离墙的距离OB 是（ ） A ．2米
B ．3米
C ．4米
D ．5米
模块四：二次函数与运行轨迹
知识精讲
例题解析
步同级年九
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【例27】如图所示，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线21
3.55
y x =-+运行，然后准确
落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05米． （1）球在空中运行的最大高度为多少米？
（2）如果该运动员跳投时球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮筐中心的水平距离 是多少米？
【例28】足球比赛中，某足球运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图1中的抛物线是
足球的飞行高度y （m ）关于飞行时间x （s ）的函数图像（不考虑空气的阻力），已知足 球飞出1 s 时，足球的飞行高度是2.44 m ，足球从飞出到落地共用3 s ． （1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）足球的飞行高度能否达到4.88 m ？请说明理由；
（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44 m （如图2所示， 足球的大小忽略不计）．为了能及时将足球扑出，那么足球踢出时，距离球门左门柱 12 m 处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左门柱？
随堂检测
O
y
x
x
y O 1 2.44 3
A B
C
【习题1】如图，点C 是线段AB 上的一个动点，AB = 1，分别以AC 、CB 为边作正方形， 用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ） A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小 D ．当C 为AB 的三等分点时，S 最大
【习题2】某民俗旅游村为了接待游客的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天
收费10元时，床位可以全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应地减少了10 张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高， 那么每张床位每天最合适的收费是多少？
【习题3】如图所示，有长24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10米），围成中间 隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的边AB 的长为x ，花圃的面积为S 平方米． （1）请求出S 与x 的函数关系式．
（2）按照题中要求，所围的花圃面积能否是48 m 2．若能，求出的x 值；若不能，请说明理 由．
【习题4】已知一隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为2115
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y x =-+，一辆卡车高3
米，宽4米，该车__________（选填“能”或“不能”）通过隧道．
【习题5】一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之
间的关系用如图所示的二次函数图象表示．（铅球从A 点被推出，实线部分表示铅球所 经过的路线）．
（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）求出铅球被推出的距离；
（3）若铅球到达的最大高度的位置为点B ，落地点为C ，求四边形OABC 的面积．
【习题6】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高6 m ，跨度20 m ，相邻两支柱间的距离 均为5 m ．
（1）将抛物线放在如图的平面直角坐标系中，求抛物线的解析式； （2）求支柱EF 的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2 m 的隔离带），其中的一条行车道能否 并排行驶宽2 m 、高3 m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明理由．
【作业1】某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全
部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客 居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的正整数倍）．
（1）设一天订出的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式； （3）一天订出多少个房间，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
【作业2】小智参加一次高尔夫球集训，一次练习中，他在某处击球，球的飞行路线满足抛
物线218
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y x x =-+，其中y （m ）代表球的飞行高度，x （m ）代表球飞出的水平距离，
结果球离球洞的水平距离还有2 m ．
（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）求出球飞行的最大水平距离；
（3）若小强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路 线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．。