人教B版(2019)高中数学必修第一册《2.一元二次方程的解集及其根与系数的关系》课件

t2 4 11≥ 0
（1）由题意得
x1
x2
t
0
，解得t≤－2．
x1
x2
1
0
所以t的取值范围为（－∞，－2]．
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新知探究
例3 已知方程x2＋tx＋1＝0，根据下列条件，分别求出t的取值范围． （1）两个根都大于0； （2）两个根都小于0；
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数 的关系
第2课时
整体概览
问题1 阅读课本第47～49页，回答下列问题： （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
（1）本节将要研究一元二次方程的根与系数的关系．（2）起点是一 元二次方程的解法及求根公式，目标是会求解一元二次方程的两根和 与两根积，并灵活运用根与系数的关系解决问题．提升数学运算素 养．
2
，x1x2＝
1 4
，
所以
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
m 1
4m ，
4
解得m＝2或m＝－1． 又因为m＞－1，所以m＝2．
新知探究
例3 已知方程x2＋tx＋1＝0，根据下列条件，分别求出t的取值范围． （1）两个根都大于0； （2）两个根都小于0；
设方程x2＋tx＋1＝0的两个根为x1，x2．
新知探究
【想一想】是否存在t，使方程x2＋tx＋1＝0一个根大于0， 另一个根小于0．
由前面知道：若有解，两根积为1是正数，所以不可能两根异号的， 即不存在实数t使得方程的一个根大于0，另一个根小于0．
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情境与问题
学完一元二次方程的解集后，我就听到了咱班的小奕和小涵的一段悄 悄话，内容如下： 小奕：小涵，我发现了一个秘密！ 小涵：什么秘密？ 小奕：你知道咱们尊敬的刘老师的年龄吗？ 小涵：不知道哎！
情境与问题
小奕：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她 的年龄是一元二次方程x2－13x＋36＝0的两根的积，回去你把两根求 出来就知道了． 小涵：咳，这你可难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我 还告诉你，刘老师的年龄是方程x2－36x－40＝0的两根的和呢． 小奕：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解 方程，能不能求出刘老师的年龄．
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新知探究
２ 已知关于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．
问题：是否要求出x1和x2，并由此给出上述（1）和（2）的答案？
新知探究
由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝
3 2
，x1x2＝－2，
（1）由上有x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2
＝（ 3 ）2－2×（－2）＝ 25．
2
4
（2）因为（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2
＝（
新知探究
1 已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两个实数根，求x12＋x22＋ 4x1x2的值．
根据一元二次方程根与系数的关系可知x1＋x2＝3，x1x2＝－1． 所以x12＋x22＋4x1x2＝（x1＋x2）2＋2x1x2＝9－2＝7．
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b 2a
；
新知探究
问题 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若有实数根， 它的根是两个吗？这两根的和与积有什么特殊性吗？
（3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程的解集为∅． 当Δ＝b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根（当 Δ＝0时，x1＝x2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数 根），计算可得：这两个实数根的和与积分别为 b、c ．
3 2
）2－4×（－2）＝
41， 4
所以|x1－x2|＝
41 ． 2
新知探究
例2 已知关于x的一元二次方程mx2－（m＋2）x＋ m ＝0有两个不
相等的实数根x1，x2．若
1 x1
1 x2
4 ＝4m，试求m的值．
m 0
由题知
(m
2)2Biblioteka 4mm 40，
解得m＞－1且m≠0． m2
因为x1＋x2＝
m m
新知探究
问题 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若有实数根， 它的根是两个吗？这两根的和与积有什么特殊性吗？
前面我们已经知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解集情形：
（1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程的解集为
b
b2 4ac , b 2a
b2 2a
4ac
；
（2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为
aa
新知探究
问题 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若有实数根， 它的根是两个吗？这两根的和与积有什么特殊性吗？
（1）用语言叙述为：一元二次方程的解集不空时，两根之和为一次 项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数 之比．
（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根是x1，x2，用式子表示为：x1＋x2
＝
b a
，x1x2＝
c a
．这个结论通常称为一元二次方程根与系数的关系．
新知探究
【数学文化】法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订 正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理． 由于韦达最 早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦 达定理．
新知探究
例1 已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的两根为x1与x2，求下列各式 的值： （1）x12＋x22； （2）|x1－x2|．
设方程x2＋tx＋1＝0的两个根为x1，x2．
t2 4 11≥ 0
（2）x1 x2 t 0
，解得t≥2．
x1
x2
1
0
所以t的取值范围为[2，＋∞）．
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