机械工程测试技术(高等教育出版社)

n
当一定时，n越大，ts越小，系统响应越快。
振荡次数N
对欠阻尼二阶系统，振荡周期
Td 2 2
d
n 1 2
0.05 0.02
则
1.5 1 2 , ts N Td 2 1 2 ,
N 仅与 有关。与Mp 一样直接说明了系统的阻 尼特性。越大，N越小，系统平稳性越好。
d 2 xo (t ) dxo (t ) 2n 2 n xo (t ) 2 n xi (t ) dt dt
2 X 0 ( s) n G( s) 2 2 X i ( s) s 2n s n
n , 是二阶系统的特征参数，表明固有特性。
2 二阶系统的特征方程： s 2 2n s n 0
其响应函数讨论如下：
（1）当 0 ，系统为欠阻尼系统时，由式（3.4.8）有 1
1 s n d 1 1 xo (t ) L L L 2 2 2 2 2 s 1 ( s n ) d ( s n ) d
即： tg (d t p )
1 2

tg
d t p k ,
k 0, 1, 2,
根据tp的定义解上方程可得：
tp
d 1 2 n
可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td＝2/d 的一半。且一定，n越大，tp越小；n一定， 越大，tp 越大。
显然， 一定时，n越大，tr越小；
n一定时， 越大，tr 越大。
峰值时间tp
dxo (t ) 0 ，并将t = tp代入可得： 令 dt
n
1
2
e
n t p
sin( d t p )
d
1
2
e
n t p
cos( d t p ) 0
0.018
1 T

二．
一阶系统的单位阶跃响应
1 xi (t ) 1(t ), L[1(t )] s
输入信号为单位阶跃函数时，即
响应函数的Laplace变换式为：
其时间响应函数[记为 xou (t ) ]为：
1
1 1 X 0 ( s) G ( s) X i ( s) Ts 1 s
t / T
xou (t ) L [ X o ( s)] 1 e
由上式可知， xou (t ) 中
(t 0)
et / T 是瞬态项，1是稳态项B（t）
t 0 T
xou (t )
0 0.632
xou (t )
1 T
T越小，系统的快速性越好；
0.368
1 T2
2T
4T
0.865
1
或
cos d t 1 e sin d t (t 0) 2 1 1 2 1 x0 (t ) 1 ent sin d t arctg 2 1
nt
（3.27） (t 0)
0<<1时，有振荡， 愈小，振荡愈严重， 但响应愈快，
= 0时，出现等幅振荡。
工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指 示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且 阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快 速性同时又不至于产生过 大的振荡。 一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越 迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应 的快速性越好。
单位脉冲响应函数:系统传递函数的Laplace逆变换，即
1 w(t ) L [G ( s)] L [ ] Ts 1
1 1
所以
1 t / T w(t ) e (t 0) T
w(t )
w(t )
1 T
0.368 1 T 0.135 1 T2
0.135
1 T
稳态响应为0； T越小，系统的惯性越 小，过渡过程越短， 系统的快速性越好； T越大，则惯性越大， 响应越慢。
一． 一阶系统的单位脉冲响应
输入信号 xi (t ) 是理想的单位脉冲函数 (t )时，系统输 出 xo (t ) 称为单位脉冲响应函数或简称为单位脉冲响应， 记为 w(t )
W ( s) X 0 ( s) G( s) X i ( s) X i (s) L[ (t )] 1 W ( s) G( s)
响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态 值的2%或5%）内所需的时间。
评价系统平稳性的性能指标 最大超调量Mp
响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用 百分数表示：
Mp xo (t p ) xo () xo () 100%
若xo(tp) xo()，则响应无超调。 振荡次数N
2
根据上升时间的定义有：
即：
sind tr 0
xo (t r ) 1
sin d t r 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d tr k ,
k 0, 1, 2,
1 2
从而：tr
d
arctg

n 1 2

arccos n 1 2
二． 二阶系统的单位阶跃响应
若系统的输入信号为单位阶跃函数，即 1 X i ( s) s 则二阶系统的阶跃路应函数的Laplace变换式为：
2 n X o ( s) G( s) X i ( s) 2 s( s 2 2 n s n )
s 2n 1 s ( s n jd )( s n jd )
式（3.27）中的第二项是瞬态项，是减幅正弦振荡函数，它的振 幅随时间t的增加而减小。
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
=0.2 =0.4 =0.6 =0.8
tp 5 10 t 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
15
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点
xo(t) 2
1
特点 频率为n的等 幅振荡。
0
t
临界阻尼（=1）状态
xo (t ) 1 (1 nt )ent , t 0
xo(t) 1
特点 单调上升，无 振荡、无超调； xo () = 1，无 稳态误差。 t
0
过阻尼（>1）状态
xo (t ) 1 1 2(1 2 1 2 ) 1 2(1 2 1 2 ) e
1 e n t 1
2
1
可以求得：
ts
ln ln 1 2
n
4 , 0.02 n 3 , 0.05 n
由上式求得的ts包通常偏保守。 当0<<0.7时， t s
ln ln 1 2
由此得两个特征根为
s1,2 n n 2 1
由上式可见，随着阻尼比ξ 取值的不同，二阶系统的 特征根也不同。
（1）当 0 1时，特征根为共轭复数 s1,2 n jn 1 2 一对位于复数[s]平面的左半平面内的共轭复数极点，系统为欠阻 尼系统。 （2）当 0 时，两特征根为共轭纯虚根，即 s1,2 jn 系统为无阻尼系统。 （3）当 1 时，特征方程有两个相等的负实根，即 s1,2 n 系统为临界阻尼系统。 （4）当 1 时，特征方程有两个不等的负实根 s1,2 n n 2 1 系统为过阻尼系统。
在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。 实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一 半计数。
欠阻尼二阶系统的时域性能指标 上升时间tr 欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：
xo (t ) 1 e nt 1 2 sin(d t ), t 0
e n t r 1
结论 二阶系统的动态性能由n和决定。 增加可以降低振荡，减小超调量Mp 和振荡 次数N ，但系统快速性降低，tr、tp增加；

显然，Mp仅与阻尼比有关。最大超调量直接说明了 系统的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系统的平稳性 越好，当 = 0.4~0.8时，可以求得相应的 Mp = 25.4%~1.5%。
调整时间ts 对于欠阻尼二 阶系统，其单 位阶跃响应的 包络线为一对 对称于响应稳 态分量 1 的指 数曲线：
( 2 1) n t
e
( 2 1) n t
，t0
xo(t) 1
特点 单调上升，无振荡， 过渡过程时间长 t xo () = 1，无稳态 误差。
0
几点结论 二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：
< 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；
第3章 时域分析
本章内容提纲
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 概述 一阶系统的时间响应 二阶系统的时间响应 高阶系统的时间响应 稳态误差分析与计算 时域分析的MATLAB实现
3.1 概述
一、 时间响应的概念 时间响应：系统在输入信号作用下，系统输出 随时间变化的过程。
瞬态响应（动态响应 or过渡过程）反映系统 的快速性与稳定性； 稳态响应反映系统 的准确性。
最大超调量 Mp
Mp
e
100 90 二阶系统Mp — 图 80 70 60 Mp50 40 xo (t p ) xo () 100% 30 20 xo () 10 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2
100%
0.982 1
1 0.135 2 T
1 0.018 2 T
0
三．
一阶系统的单位斜坡响应

一阶系统的响应特性与时间常数T密切相关（快速 性、滞后时间）。 典型输入信号（脉冲、阶跃、斜坡）存在积分与 微分关系，其响应也存在同样的积分与微分关系。

3.3 二阶系统的时间响应
二阶微分方程描述的系统称为二阶系统：
1 1 1 2
xo(t)
1
e nt 1 2
1
1
1 1 1
2
e nt 1 2
1
e
n t 2
0
T T 2T
1 t arccos d 2
2
3T
T
4T t
1
1
n
当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应 曲线必然也处于允许误差范围内。因此利用：
=0.05或0.02 0.1 0
tr tp ts 控制系统的时域性能指标
t
评价系统快速性的性能指标
上升时间tr 响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需 时间。对无超调系统，上升时间一般定义为 响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需 的时间。 峰值时间tp 响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。 调整时间ts
xo() = 1，无稳态误差； 瞬态分量为振幅等于 e n t 阻尼振荡频率 d n 1 2 振荡幅值随减小而加大。
1 2 的阻尼
正弦振荡，其振幅衰减的快慢由和n决定。
；
无阻尼（=0）状态
xo (t ) 1 cosnt, t 0
三、 二阶系统的性能指标
控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的 定量指标，是定量分析的基础。 系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶 跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升 时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调 量Mp、振荡次数N。
xo(t) 允许误差 Mp 1 0.9
二、典型输入信号
3.2 一阶系统的时间响应
一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分 方程和传递函数的一般形式为：
dxo (t ) T xo (t ) xi (t ) dt
X 0 ( s) 1 G(s) X i ( s ) Ts 1
T 称为一阶系统的时间常数，它表达了一阶系
统本身的与外界作用无关的固有特性，亦称一 阶系统的特征参数