(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试(含答案解析)(4)

一、选择题
1．已知(
)
2
2log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4
B ．[)0,4
C ．()0,2
D ．[)0,2
2．已知实数,x y 满足条件202035x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则2z x y =+的最大值是（ ）
A ．0
B ．3
C ．4
D ．5
3．已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤
B ．2a ≥
C ．52
a ≥
D ．52
a ≤
4．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ） A ．
275
B ．
245
C ．5
D ．6
5．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1
n a b
=+，则m n +的最小值是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．已知变量,x y 满足不等式组220
03x y x y y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最大值为（ ）
A ．3-
B ．23
-
C ．1
D ．2
7．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的最小值为( ) A ．36
B ．42
C ．49
D ．60
8．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则
12
4123
a b +++的最小值为（ ） A
B
C
D
9．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪
<⎨⎪+-≥⎩
,则221z x y =--的取值范围是( )
A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
10．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a <1b
B ．a 2>b 2
C ．
21a c +>21
b c + D ．a |c |>b |c |
11．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A ．ac bc >
B ．
11a b
< C ．22a b > D ．33a b >
12．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64
B ．-36
C ．36
D ．64
二、填空题
13．若0x >，0y >，若()()144x y --=则x y +的最小值为_________. 14．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则
11a b a b
+--的最小值为____________. 15．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪⎩
，则23x y z +=的最大值__________.
16．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．
17．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪
-≥⎨⎪⎩
，则32z x y =+的最大值是_________.
18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
,则称这两个不
等式为“对偶不等式”.
若不等式()
2
220x x θ-+<和不等式
()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2
πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,则θ=______.
19．已知ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =，AF x AB y AC =+，则xy 的最大值为________.
20．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．若()3
1
44
f x x x =-
+，x ∈R 是“a 距”增函数，则a 的取值范围是________．
三、解答题
21．（1）若0x >，0y >，1x y +=，求证：
11
4x y
+≥.
（2）已知实数0a >，0b >，且1ab =，若不等式
()a b
x y m x y
+⋅+>（），对任意的正实数,x y 恒成立，求实数m 的取值范围．
22．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；
（2）设2
()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.
23．已知函数2
()12
a
f x x x =-
+ （1）若()0f x ≥，在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若[]
1,2,()2x f x ∃∈≥成立，求实数a 的取值范围. 24．已知函数2()3f x x x m =++. （1）当m =-4时，解不等式()0f x ≤； （2）若m >0，()0f x ＜的解集为(b ，a )，求
14
a b
+的最大値. 25．已知a R ∈，若关于x 的不等式2(1)460a x x 的解集是(3,1)-．
(1)求a 的值；
(2)若关于x 的不等式230ax bx ++≥在[0,2]上恒成立，求实数b 的取值范围. 26．已知定义域在()0,∞+上的函数()f x 满足对于任意的(),0,x y ∈+∞，都有
()()()f xy f x f y =+，当且仅当1x >时，()0f x <成立.
（1）设(),0,x y ∈+∞，求证()()y f f y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
； （2）设()12,0,x x ∈+∞，若()()12f x f x <，试比较x 1与x 2的大小； （3）若13a -<<，解关于x 的不等式()2
110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】
()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，
即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 当0a =时，10>恒成立，满足题意，
当0a ≠时，则2
40a a a >⎧⎨∆=-<⎩
，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】
本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的
x ∈R 恒成立. 2．C
解析：C 【分析】
画出满足条件的目标区域，将目标函数化为斜截式2y x z =-+，由直线方程可知，要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，结合可行域可知当直线2y x z =-+过点A 时截距最大，因此，解出A 点坐标，代入目标函数，即可得到最大值. 【详解】
画出满足约束条件202035x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
的目标区域，如图所示:
由2z x y =+,得2y x z =-+，
要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，由图可知,当直线2y x z =-+过点A 时截距最大， 联立20
350
x y x y -=⎧⎨
+-=⎩,解得(1,2)A ，
所以2z x y =+的最大值为：1224⨯+=， 故选:：C.
方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；
（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
3．D
解析：D 【分析】
由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解，设()1
f x x x =+，由
函数()1
f x x x
=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a 的取值范围.
【详解】
由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1
a x x
≤+在区
间[1,2]上有解，
设()1f x x x =+，则函数()1
f x x x =+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2
f f f x ≤=≤，
所以实数a 的取值范围为5
2
a ≤， 故选：D. 【点睛】
方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔
()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <. 4．A
解析：A 【解析】
正数x ，y 满足35x y xy +=,则
13
155y x
+=，
()134927
43433355555x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
故答案为A.
点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．
5．B
【分析】
由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值． 【详解】
,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1b a
+
+1
a b +=a b a b ab +++ =
2()a b + ≥ 44ab = .当且仅当1a b == 时，等号成立．
故选B ． 【点睛】
利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．
6．B
解析：B 【分析】
画出不等式组表示的区域，将目标函数2z x y =-转化为22x z
y =
-，表示斜率为12
截距为2
z
-平行直线系，当截距最小时，z 取最大值，由图即可求解. 【详解】
解：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示：
故将目标函数2z x y =-转化为22
x z y =-， 表示斜率为
1
2截距为2
z -平行直线系， 所以当截距最小时，z 取最大值，
由图可知，使得直线22x z
y =
-经过可行域且截距最小时的解为22,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
此时242333
max z =-=-. 故选：B 【点睛】
本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值.
7．C
解析：C 【分析】
由已知可得2294(3)(8)(4)(9)37b a b a
a b a b a b
++=++=++，然后结合基本不等式即可求解．
【详解】
解：因为正数a ，b 满足2a b +=，
所以22949(3)(8)(4)(9)3737249b a b a a b a b a b a b
++=++=+
++=， 当且仅当65a =，4
5
b =时取等号． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
8．C
解析：C 【分析】
由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值． 【详解】
直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点， 可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则
1216412311696a b b b
+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（16
11696b b +-+）
120=
（7()61169611696b b b b -+++-+）≥，
当且仅当
()61169611696b b b b -+=
-+时，即b 156-=，a 5
4
=，上式取得最小值
， 故选：C ．
本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．
9．D
解析：D 【分析】
画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】 作出可行域如下：
由221z x y =--得12
z
y x +=-， 平移直线12
z
y x +=-
， 由平移可知当直线12
z
y x +=-，经过点C 时， 直线12
z
y x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由2
10x x y =⎧⎨
+-=⎩，解得21
x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，
此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12
z
y x +=-，经过点A 时， 直线12
z
y y x +==-
的截距最大，此时z 取得最小值， 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得13
2
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即1(3A ，2)3
代入221z x y =--得125
221333z =⨯-⨯-=-，
故5
[3z ∈-，5)
故选：D ．
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．
10．C
解析：C 【分析】
首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】
当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11
a b
>，a 2<b 2，排除A 、B ； 因为
21
1c +>0，a >b ⇒2211
a b c c >++，故C 是正确的；
当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ， 故选：C. 【点睛】
该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.
11．D
解析：D 【分析】
结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】
A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；
B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到
11
a b
<，故不正确； C 选项，由()()2
2
a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或
2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；
D 选项，()()()2
3322
2324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
因为,a b 不同时为0，所以2
23024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝
⎭，所以可由a b >知330a b ->，即
33a b >，故正确.
故选：D 【点睛】
本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.
12．D
【分析】
先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a 【详解】
∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，
∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.
∴123
12
034a b x x a a x x a ⎧
⎪<⎪
⎪
+==-⎨⎪
⎪-==-⎪⎩
，解得：=26a b -⎧⎨=⎩
∴()6
=2=64b a -
故选：D 【点睛】
不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.
二、填空题
13．【分析】先整理已知条件得则再利用基本不等式求解即可【详解】由得又得则当且仅当即时取等号故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项
解析：【分析】
先整理已知条件得411y x +=，则()41y x x y x y +⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭
，再利用基本不等式求解即可. 【详解】
由()()144x y --=， 得40xy x y --=， 又0x >，0y >，
得41
1y x
+=， 则(
)455941x y x y x y y x x y +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当
4x y
y x
=即3,6x y ==时取等号. 故答案为：9. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．【分析】将所求代数式变形为将所求代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】已知正实数满足则当且仅当时即当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其
1
2
【分析】
将所求代数式变形为
11
2
1121
a b
a b b b
+=+-
---
，将所求代数式与()
1
b b
+-
⎡⎤
⎣⎦相乘，展
开后利用基本不等式可求得
11
a b
a b
+
--
的最小值.
【详解】
已知正实数a、b满足21
a b
+=，则
121111
2
112121
a b b b
a b b b b b
--+
+=+=+-
----
()111111
12
2112222
b b
b b
b b b b
-
⎛⎫
=+-+-=+-≥=
⎡⎤ ⎪
⎣⎦--
⎝⎭
.
当且仅当1b
-=时，即当1
b=时，等号成立，
因此，
11
a b
a b
+
--
1
2
.
1
2
.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大
值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得
解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线
解析：9
【分析】
先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】
由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，
设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12
-，纵截距为2m
的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.
当直线122m y x =-
+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2
m
最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=. 故答案为：9 【点睛】
方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；
（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。

16．【解析】由题意知且2和3是方程的两个根即答案为7【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题解题的关键是根据一元二次不等式与对应方程之间的关系求出的值 解析：7
【解析】
由题意知0a ＞ 且2和3是方程250ax x b -+=的两个根，
5
321
,7632a a a b b b a
＝，
＝⎧+⎪=⎧⎪∴∴+=⎨⎨=⎩
⎪⨯⎪⎩. 即答案为7.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，解题的关键是根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，求出a b ，的值
17．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点
解析：10 【分析】
作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 【详解】
解：作出不等式组对于的平面区域如图： 由32z x y =+，则322
z
y x =-+， 平移直线322
z
y x =-
+， 由图象可知当直线322
z
y x =-+， 经过点A 时，直线322
z y x =-
+， 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，
由20y x y =⎧⎨-=⎩
，解得(2,2)A ，
此时322210max z =⨯+⨯=， 故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
18．【分析】由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得化简得即可得解【详解】设不等式和不等式的解集分别为和则为方程的两个根为方程的两个根由韦达定理得所以即又所以所以即故答案 解析：
56
π 【分析】
由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得
432a b θ+=，2ab =，112sin 2a b θ+=-，111
2
a b ⋅=，化简得tan 23θ=即可得解. 【详解】
设不等式()
2
43220x x θ-+<和不等式()2
24sin 210x x θ++<的解集分别为
(),a b 和11
,b a
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
， 则a ，b 为方程()
2
43220x x θ-+=的两个根，
1a ，1b
为方程()2
24sin 210x x θ++=的两个根， 由韦达定理得432a b θ+=，2ab =，112sin 2a b θ+=-，111
2
a b ⋅=， 43cos 22sin 2θ
θ=-即tan 23θ= 又 ,2πθπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，所以()2,2θππ∈，
所以523
πθ=
即56π
θ=. 故答案为：56
π. 【点睛】
本题考查了一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，考查了对于新概念的理解和三角函数的以值求角，属于中档题.
19．【分析】首先根据平面向量的线性运算表示出再根据向量相等得到最后利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为DE 分别为ABAC 的中点所以又所以由所以当且仅当时取等号；故答案为：【点睛】本题考查平面向量基本 解析：
116
【分析】
首先根据平面向量的线性运算表示出()11
122
AF t AB AC =
-+，再根据向量相等得到12
x y +=，最后利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =， 所以()
1
2
AF AD DF AD tDE AB t AE AD =+=+=
+- ()1111
112222
2AB t AC AB t AB AC ⎛⎫=
+-=-+ ⎪⎝⎭ 又AF x AB y AC =+，所以()11212x t y t ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由1
2
x y +=
所以2
1216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
，当且仅当14x y ==时取等号； 故答案为：1
16
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.
20．【分析】由题中定义得出作差变形后得出对任意的恒成立结合得出由此可求得实数的取值范围【详解】因为函数是距增函数所以恒成立由所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数新定义考查二次不等式恒成 解析：(1,)+∞
【分析】
由题中定义得出()()f x a f x +>，作差变形后得出223
1
3304
ax a x a a ++-
>对任意的x ∈R 恒成立，结合0a >得出∆<0，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】
()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x ax a x a a ⎡⎤⎛⎫
+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，
因为函数()y f x =是“a 距”增函数，所以223
1
3304
ax a x a a ++-
>恒成立， 由0a >，所以2
2
10912014a a a ⎛⎫
∆<⇒--<⇒> ⎪⎝
⎭
． 因此，实数a 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】
本题考查函数新定义，考查二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.
三、解答题
21．（1）见解析；（2）(,4)-∞. 【详解】
试题分析：（1）第（1）问，利用常量代换和基本不等式证明. （2）第（2）问，利用基本不等式求解. 试题
（1）证明：∵1,0,0x y x y +=>>
∴0,0y x x y >> ∴11224x y x y y x x y x y x y
+++=+=++≥+= 当且仅当1
2
x y ==时，等号成立. （2）因为,,,a b x y 为正实数，
所以()a b ay bx
x y a b a b x y x y ⎛⎫+⋅+=+++≥++≥=
⎪⎝⎭
4=，
当且仅当a b =，
ay bx
x y
=，即a b =，x y =时等号成立，故只要4m <即可，所以实数m 的取值范围是(),4-∞
22．(1)2()2f x x =-，()g x x =；(2)答案见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f （x ）和g （x ）的解析式；（2）()()h x g x < 即()2
3130mx m x +--<，讨论当0m =时，当0m ≠时，即
()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m =
，23x =-，比较1
m
与-3的大小，进行讨论； 试题
（1）由题意()()2
2f x g x x x -+-=--，即()()2
2f x g x x x -=--，又
()()22f x g x x x +=+-联立得()22f x x =-，()g x x =.
（2）由题意不等式即()2
3130mx m x +--<，
当0m =时，即30x --<，解得3x >-；
当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11
x m
=，23x =-， 故当0m >时，易知13m >-，不等式的解为13x m
-<<； 当0m <时，若13m >-，即13m <-时，不等式的解为3x <-或1x m
>； 若13m =-，即1
3
m =-时，不等式的解为3x ≠-； 若
13m <-，即13m >-时，不等式的解为1
x m
<或3x >-； 综上所述，当13m <-时，不等式的解为1|3x x x m 或⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
；
当1
03m -
≤<时，不等式的解集为1|3x x x m ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
或； 当0m =时，不等式的解集为{}
3x x -； 当0m >时，不等式的解集为1|3x x m ⎧
⎫-<<
⎨⎬⎩⎭
. 点睛：本题主要考查根据奇偶性的定义利用方程组法求函数解析式及求含参的一元二次不等式解集；在讨论时从二次项系数等于0，不等于0入手，当不等于0时，往往先对式子进行因式分解得出对应二次方程的根，然后比较根的大小，讨论要不重不漏.
23．（1）[]44-，
；（2）(]
,3∞-． 【分析】
（1）由二次不等式()0f x ≥恒成立可得0∆≤，于是可求得a 的取值范围；（2）分离参数得12a x x ≤-在区间[]1,2上有解，转化为求1
y x x
=-在区间[]1,2上的最大值求解即可． 【详解】
（1）由题意得()2
102
a
f x x x =-
+≥在R 上恒成立，
∴2
404
a ∆=-≤，
解得44a -≤≤，
∴实数a 的取值范围为[]
4,4-． （2）由题意得[]2
1,2,122
a
x x x ∃∈-
+≥成立， ∴[]1
1,2,2a x x x ∃∈≤-成立． 令()[]1,?1,2g x x x x
=-
∈， 则()g x 在区间[]
1,2上单调递增， ∴()()3
22
max g x g ==， ∴
322
a ≤， 解得3a ≤，
∴实数a 的取值范围为(]
,3∞-． 【点睛】
解题时注意以下结论的运用：
（1）()a f x >恒成立等价于()max a f x >，()a f x >有解等价于()min a f x >； （2）若函数()f x 的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替． 24．（1）[-4，1]；（2）-3. 【分析】
(1)当m ＝﹣4时，利用十字相乘法解出不等式的解集；
(2)()0f x ＜的解集为(b ，a )，等价于()0f x =的根即为a ，b ，根据韦达定理判断出a ，b 的符号，利用＂1＂的代换以及基本不等式求出最大值，并验证取等条件． 【详解】
（1）当m ＝﹣4时，不等式f （x ）≤0，即为x 2+3x ﹣4≤0，可得：（x +4）（x ﹣1）≤0，即不等式f （x ）≤0的解集为[﹣4，1].
(2)由题()0f x =的根即为a ，b ，故a +b =-3，ab =m >0，故a ，b 同负，
则14
a b
+=114141()5(53333a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫-++=-++≤-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1,2a b =-=- 等号成立.
【点睛】
本题考查一元二次不等式，基本不等式在求最值中的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”，属于中档题． 25．(1)3；(2)6b ≥-
【分析】
(1)将1x =代入方程2(1)460a x x ，即可求出a 的值；
(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，利用分离参数即可求出b 的取值范
围. 【详解】
(1)1和3-是2
(1)460a x x 的两根，将1x =代入方程解得3a =；
(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，即233bx x -≤+在[0,2]上恒成立， 当0x =时，03≤恒成立，此时a R ∈；
当2(]0,x ∈时，不等式可转化为13()b x x
-≤+在[0,2]上恒成立，
因为13()36
x x +≥⨯=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立， 所以6b -≤，所以6b ≥-, 综上，实数b 的取值范围为6b ≥-. 【点睛】
本题主要考查三个二次式关系的应用，不等式恒成立问题的求法，属于中档题. 26．（1）证明见解析；（2）12x x >；（3）答案见解析 【分析】 （1）取y
y x x
=
⋅，代入已知等式即可证得结果； （2）由()()12f x f x <，结合（1）中等式()()y f f y f x x ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，得到120x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，再根据当且仅当1x >时，()0f x <成立得到1
2
1x x >，从而得到12x x >； （3）在已知等式中取特值1x y ==求出()10f =，由（2）可知函数f （x ）在定义域
()0,∞+上是减函数，在不等式()2110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦中，用()1f 替换0后利用函
数的单调性脱掉“f ”，则不等式的解集可求. 【详解】
（1）证明：∵()()()f xy f x f y =+，∴()()y f f x f y x ⎛
⎫
+=
⎪⎝
⎭
， ∴()()y f f y f x x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
； （2）解：∵()()12f x f x <，∴()()120f x f x -<，
又()()11220x f f x f x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以120x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，
∵当且仅当1x >时，()0f x <成立，∴当()0f x <时，1x >，∴
1
2
1x x >，12x x >； （3）解：1x y ==代入()()()f xy f x f y =+得()()()111f f f =+，即()10f =， ∴()2
110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦可得()()2
111f x a x a f ⎡⎤-+++>⎣⎦，
由（2）可知函数()f x 在定义域()0,∞+上是减函数，∴()2
0111x a x a <-+++<，
当13a -<<时，()()2
2141230a a a a ∆=+-+=--<， 所以()2
110x a x a -+++>恒成立；
故只需满足()2
111x a x a -+++<即()2
10x a x a -++<成立即可；
即()()10x a x --<.当11a -<<时，1<<a x ；当1a =时，x ∈∅； 当13a <<时，1x a <<；
综上可得：当11a -<<时，(),1x a ∈；当1a =时，x ∈∅；当13a <<时，()1,x a ∈ 【点睛】
本题考查了函数单调性的定义，考查了含参一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知不等式结合函数的单调性得含有参数的不等式.。