立体几何测试题(含答案)
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面 ，所以 面 ，所以选项取 中点 ，连接 ，
，则 平面 ， ，四棱锥 的体积
所以选项D错误.
矩形 中，易得 ，
中求得： 在 中
即： ，所以O为四棱锥 外接球的球心，半径为 ，
所以其体积为 ，所以选项C正确
故选：BC
【点睛】
此题考查立体图形中的平行垂直关系，求锥体体积和外接球体积，综合性强，对空间位置关系辨析能力要求较高.
立体几何测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正四面体 的顶点 分别在两两垂直的三条射线 上，在下列命题中，错误的是（）
A．四面体 是正三棱锥B．直线 与平面 相交C．异面直线 和 所成角是 D．直线 与平面 所成的角的正弦值为
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （）
A． B． C． D．
6．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）
A． B． C． D．
7．点 为棱长是2的正方体 的内切球 球面上的动点，点 为 的中点，若满足 ，则动点 的轨迹的长度为（）
求证：（1）直线 平面 ；
（2）平面 平面 .
21．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， 为正三角形，且侧面 底面 ， 为线段 的中点， 在线段 上.
（1）当 是线段 的中点时，求证： 平面 ；
（2）求证： .
22．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的菱形， ， ， 分别为 的中点， .
【解析】
如图所示：
设球的半径为 ，则球的体积为： ，圆柱的体积为： ，则 ，则 ，故答案为2.
16．①②③④
【解析】
如图所示：
故用一个平面去截一个正方体，截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形，故答案为①②③④.
17．(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】试题分析: (1) 是 的中位线,则 ,由线面平行的判定定理可得 ;(2)取 中点,连接 ,由所给条件,知两等腰三角形中有, ,再由线面垂直的判定定理可得 ,再由线面垂直的性质定理进一步证明出 .
15．一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球 ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球 的体积为 ，圆柱内除了球之外的几何体体积记为 ，则 的值为______．
16．用一个平面去截一个正方体，截面可能是________．
①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．
四、解答题
17．如图所示，在三棱锥 中， 分别为 的中点.
【详解】
设 为球心，则 ，
可得 在底面ABC的射影为 的外心.
由 ，
可得 是以 斜边的直角三角形，
O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，
则 .
当P，O，M三点共线时，三棱锥 的体积最大，
此时体积 .
故答案为:
【点睛】
本题考查多面体外接球问题以及体积的最大值，确定球心是解题的关键，属于中档题.
15．2
D．根据线段长度之间的关系列出不等式，从而可求解出 的取值范围.
【详解】
A．当 时， ， ，显然 ；
当 时， ，解得 ，
所以 的充分不必要条件是 正确；
B．当 时， ，所以此时 为等比数列，
但 不是等比数列，所以命题是假命题，故正确；
C．如图所示：
由图可知： ，所以平面 平面 ，
所以平面 与平面 距离即为 到平面 的距离，记为 ，
【详解】
设 的中点为 ，连接 ，因此有 ，而 ，而 平面 ， ，因此有 平面 ，所以动点 的轨迹平面 与正方体 的内切球 的交线.正方体 的棱长为2，所以内切球 的半径为 ，建立如下图所示的以 为坐标原点的空间直角坐标系：
因此有 ，设平面 的法向量为 ，所以有
，因此 到平面 的距离为： ，所以截面圆的半径为： ，因此动点 的轨迹的长度为 .
由等体积可知： ，所以 ，故正确；
D．设 ，因为 ，所以 ，
所以 且 ，所以 ，
当 时显然符合，当 时 ，所以 ，
综上可知： .故正确.
故选：ABCD.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，难度一般.(1)判断命题 是命题 的何种条件时，注意从两方面入手：充分性、必要性；(2)立体几何中求解点到平面的距离，采用等体积法较易.
【详解】
由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为 ，母线长为 ，圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ，
所以几何体的体积为： ，故选D.
【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
试题解析:（1） 分别是 的中点, ,又 平面 平面 , 平面 .
（1）证明: 平面 ；
（2）若 求证: .
18．已知四棱锥 的底面为平行四边形， ， 为 中点．
（1）求证: ．
（2）若 ，求证: ．
19．如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为棱 上一点.
（1）若 ，证明： 平面 ；
（2）若 ，且 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．如图，在长方体 中，已知 、 、 分别是棱 、 、 的中点，且 .
4．D
【解析】
【分析】
由三视图可得：该几何体是长方体中的一个四棱锥，直接利用锥体体积公式计算即可求解。
【详解】
由三视图可得：该几何体是长方体中的一个四棱锥 ，
三视图中的俯视图的面积就是四棱锥 的底面面积，四棱锥 的高为3，
所以 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三视图还原及锥体体积计算，考查空间思维能力，属于基础题。
A． B． C． D．
8．直角三角形的三边满足 ，分别以 ， ， 三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为 、 、 ，则（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列选项正确的为（）
A．已知直线 ： ， ： ，则 的充分不必要条件是
B．命题“若数列 为等比数列，则数列 为等比数列”是假命题
C．棱长为 正方体 中，平面 与平面 距离为
，
， ， ， ，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查旋转体体积的大小比较，解题的关键就是确定旋转体的形状，并据此求出对应的旋转体的体积，结合作差法比较即可.
9．ABCD
【分析】
A．分析“ ”与“ ”的互相推出情况，由此确定是否为充分不必要条件；
B．分析特殊情况： 时， ，由此判断命题真假；
C．将面面距离转化为点到面的距离，从而可求出面面距离并判断对错；
∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥，
故A正确；
对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，
显然OB与平面ACD不平行．则B正确；
对于C，CD在平面ABC上的射影为 AC，
直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为 ，故D错误；
对于D，AB和OE垂直，且OE平行于CD，
则异面直线AB和CD所成的角为90°，
故C正确．
故选：D．
点睛：本题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平面成的角、异面直线所成角的定义和求法，结合图形分析答案，增强直观性，属于中档题．这道题目，结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．
2．D
【解析】
【分析】
根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为 ，母线长为 ，圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ，再由体积公式求解，即可得到答案.
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B．
C． D．
3．设m，n表示不同的直线， ， 表示不同的平面，且 ， ，则“ ”是“ 且 ”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）
A．18B．12C．10D．9
13．
【详解】
由题设中提供的三视图的数据信息与图形信息可知：
该几何体是底面为直角边长分别 的等腰直角三角形,
高是 的直三棱柱,与底面是边长为 的矩形，
高是 的四棱锥的组合体．
如图，则其体积为 .
故答案为： ．
14．
【分析】
根据条件，确定三棱锥 外接球的球心，求出球心到底面 距离，结合图形，可求出体积的最大值.
6．C
【解析】试题分析：如图所示，几何体为正方体去掉红色线表示的几何体的剩下的部分，但此四面体的外接球和正方体的外接球是同一个外接球，并且正方体的棱长为1，所以正方体的对角线长为外接球的直径， ,所以 ,故选C.
考点：1.三视图；2.球与几何体.
7．C
【分析】
设 的中点为 ，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出 平面 ，这样可以确定动点 的轨迹，最后求出动点 的轨迹的长度.
【点睛】
本题综合考查了空间点、线、面的平行或垂直位置关系，考查学生基础知识的掌握情况，以及逻辑思维能力.
11．CD
【分析】
根据已知可得直三棱柱 的内切球半径为 ，代入球的体积公式，可得答案．
【详解】
解： ， ， ，
．
故三角形 的内切圆半径 ，
又由 ，
故直三棱柱 的内切球半径为 ，
此时 的最大值 ，故不可能取值的为选项C、D .
5．D
【分析】
先由三视图还原为实物图，得知几何体为直四棱锥，然后计算出每个面的面积，相加即可得出答案。
【详解】
由三视图还原原几何体如图，
该几何体为四棱锥，底面 为边长是2的正方形，侧棱 底面 ，且 ．
该几何体的表面积为： ．
故选： ．
【点睛】
本题考查三视图以及简单几何体表面积的计算，解决这类问题的关键在于将三视图还原为几何体的实物图，在还原的过程中遵循“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则，考查空间思维能力，属于中等题。
D．已知 为抛物线 上任意一点且 ，若 恒成立，则
10．设 和 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
11．在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球，若 ， ， ， ，则 的取值不可能是（）
A． B． C． D．
3．A
【分析】
根据平面与平面平行的性质、平面与平面的位置关系以及充分不必要条件的概念可得结果.
【详解】
当 时，根据平面与平面平行的性质可得 且 ，
当 且 时， 或 与 相交，
所以“ ”是“ 且 ”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查了平面与平面平行的性质、平面与平面的位置关系以及充分不必要条件的概念，属于基础题.
故选：C
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.
8．A
【分析】
求出 ， ， ，推导出 ，从而得到 ．
【详解】
直角三角形的三边满足 ，
分别以 、 、 三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为 、 、 ，
， ，
该直角三角形斜边上的高 满足 ，可得 ，
故选：CD．
【点睛】
本题主要考查空间几何体的内切球的体积，根据已知求出球的半径，是解答的关键．
12．BC
【分析】
作图，在四棱锥 中，根据题意逐一证明或排除.
【详解】
作图在四棱锥 中：
由题：侧面 平面 ，交线为 ，底面 为矩形， ，则
平面 ，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；
连接 交 于 ，连接 ， 中， ∥ ， 面 ，
（1）求证：面 面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
参考答案
1．D
【解析】
对于A，如图ABCD为正四面体，
∴△ABC为等边三角形，
又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，
12．已知四棱锥 ，底面 为矩形，侧面 平面 ， ， .若点 为 的中点，则下列说法正确的为（）
A． 平面
B． 面
C．四棱锥 外接球的表面积为
D．四棱锥 的体积为6
三、填空题
13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
14．已知三棱锥 的各顶点均在半径为2的球面上，且 ，则三棱锥 体积的最大值为______.
10．BCD
【分析】
， ， ，并不能推出 ，这时 和 还可能相交，故A错误；
根据线面垂直或面面平行的性质可判断B,C,D正确.
【详解】
， ， ，并不能推出 ，这时 和 还可能相交，故A错误；
若 ， ，则 ，又 ，则 ，B正确；
若 ， ，则 或 ，又 ，则 ，C正确；
若 , ，中 ，又 ，则 ，D正确.
，则 平面 ， ，四棱锥 的体积
所以选项D错误.
矩形 中，易得 ，
中求得： 在 中
即： ，所以O为四棱锥 外接球的球心，半径为 ，
所以其体积为 ，所以选项C正确
故选：BC
【点睛】
此题考查立体图形中的平行垂直关系，求锥体体积和外接球体积，综合性强，对空间位置关系辨析能力要求较高.
立体几何测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正四面体 的顶点 分别在两两垂直的三条射线 上，在下列命题中，错误的是（）
A．四面体 是正三棱锥B．直线 与平面 相交C．异面直线 和 所成角是 D．直线 与平面 所成的角的正弦值为
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （）
A． B． C． D．
6．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）
A． B． C． D．
7．点 为棱长是2的正方体 的内切球 球面上的动点，点 为 的中点，若满足 ，则动点 的轨迹的长度为（）
求证：（1）直线 平面 ；
（2）平面 平面 .
21．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， 为正三角形，且侧面 底面 ， 为线段 的中点， 在线段 上.
（1）当 是线段 的中点时，求证： 平面 ；
（2）求证： .
22．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的菱形， ， ， 分别为 的中点， .
【解析】
如图所示：
设球的半径为 ，则球的体积为： ，圆柱的体积为： ，则 ，则 ，故答案为2.
16．①②③④
【解析】
如图所示：
故用一个平面去截一个正方体，截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形，故答案为①②③④.
17．(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】试题分析: (1) 是 的中位线,则 ,由线面平行的判定定理可得 ;(2)取 中点,连接 ,由所给条件,知两等腰三角形中有, ,再由线面垂直的判定定理可得 ,再由线面垂直的性质定理进一步证明出 .
15．一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球 ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球 的体积为 ，圆柱内除了球之外的几何体体积记为 ，则 的值为______．
16．用一个平面去截一个正方体，截面可能是________．
①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．
四、解答题
17．如图所示，在三棱锥 中， 分别为 的中点.
【详解】
设 为球心，则 ，
可得 在底面ABC的射影为 的外心.
由 ，
可得 是以 斜边的直角三角形，
O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，
则 .
当P，O，M三点共线时，三棱锥 的体积最大，
此时体积 .
故答案为:
【点睛】
本题考查多面体外接球问题以及体积的最大值，确定球心是解题的关键，属于中档题.
15．2
D．根据线段长度之间的关系列出不等式，从而可求解出 的取值范围.
【详解】
A．当 时， ， ，显然 ；
当 时， ，解得 ，
所以 的充分不必要条件是 正确；
B．当 时， ，所以此时 为等比数列，
但 不是等比数列，所以命题是假命题，故正确；
C．如图所示：
由图可知： ，所以平面 平面 ，
所以平面 与平面 距离即为 到平面 的距离，记为 ，
【详解】
设 的中点为 ，连接 ，因此有 ，而 ，而 平面 ， ，因此有 平面 ，所以动点 的轨迹平面 与正方体 的内切球 的交线.正方体 的棱长为2，所以内切球 的半径为 ，建立如下图所示的以 为坐标原点的空间直角坐标系：
因此有 ，设平面 的法向量为 ，所以有
，因此 到平面 的距离为： ，所以截面圆的半径为： ，因此动点 的轨迹的长度为 .
由等体积可知： ，所以 ，故正确；
D．设 ，因为 ，所以 ，
所以 且 ，所以 ，
当 时显然符合，当 时 ，所以 ，
综上可知： .故正确.
故选：ABCD.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，难度一般.(1)判断命题 是命题 的何种条件时，注意从两方面入手：充分性、必要性；(2)立体几何中求解点到平面的距离，采用等体积法较易.
【详解】
由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为 ，母线长为 ，圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ，
所以几何体的体积为： ，故选D.
【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
试题解析:（1） 分别是 的中点, ,又 平面 平面 , 平面 .
（1）证明: 平面 ；
（2）若 求证: .
18．已知四棱锥 的底面为平行四边形， ， 为 中点．
（1）求证: ．
（2）若 ，求证: ．
19．如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为棱 上一点.
（1）若 ，证明： 平面 ；
（2）若 ，且 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．如图，在长方体 中，已知 、 、 分别是棱 、 、 的中点，且 .
4．D
【解析】
【分析】
由三视图可得：该几何体是长方体中的一个四棱锥，直接利用锥体体积公式计算即可求解。
【详解】
由三视图可得：该几何体是长方体中的一个四棱锥 ，
三视图中的俯视图的面积就是四棱锥 的底面面积，四棱锥 的高为3，
所以 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三视图还原及锥体体积计算，考查空间思维能力，属于基础题。
A． B． C． D．
8．直角三角形的三边满足 ，分别以 ， ， 三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为 、 、 ，则（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列选项正确的为（）
A．已知直线 ： ， ： ，则 的充分不必要条件是
B．命题“若数列 为等比数列，则数列 为等比数列”是假命题
C．棱长为 正方体 中，平面 与平面 距离为
，
， ， ， ，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查旋转体体积的大小比较，解题的关键就是确定旋转体的形状，并据此求出对应的旋转体的体积，结合作差法比较即可.
9．ABCD
【分析】
A．分析“ ”与“ ”的互相推出情况，由此确定是否为充分不必要条件；
B．分析特殊情况： 时， ，由此判断命题真假；
C．将面面距离转化为点到面的距离，从而可求出面面距离并判断对错；
∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥，
故A正确；
对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，
显然OB与平面ACD不平行．则B正确；
对于C，CD在平面ABC上的射影为 AC，
直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为 ，故D错误；
对于D，AB和OE垂直，且OE平行于CD，
则异面直线AB和CD所成的角为90°，
故C正确．
故选：D．
点睛：本题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平面成的角、异面直线所成角的定义和求法，结合图形分析答案，增强直观性，属于中档题．这道题目，结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．
2．D
【解析】
【分析】
根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为 ，母线长为 ，圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ，再由体积公式求解，即可得到答案.
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B．
C． D．
3．设m，n表示不同的直线， ， 表示不同的平面，且 ， ，则“ ”是“ 且 ”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）
A．18B．12C．10D．9
13．
【详解】
由题设中提供的三视图的数据信息与图形信息可知：
该几何体是底面为直角边长分别 的等腰直角三角形,
高是 的直三棱柱,与底面是边长为 的矩形，
高是 的四棱锥的组合体．
如图，则其体积为 .
故答案为： ．
14．
【分析】
根据条件，确定三棱锥 外接球的球心，求出球心到底面 距离，结合图形，可求出体积的最大值.
6．C
【解析】试题分析：如图所示，几何体为正方体去掉红色线表示的几何体的剩下的部分，但此四面体的外接球和正方体的外接球是同一个外接球，并且正方体的棱长为1，所以正方体的对角线长为外接球的直径， ,所以 ,故选C.
考点：1.三视图；2.球与几何体.
7．C
【分析】
设 的中点为 ，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出 平面 ，这样可以确定动点 的轨迹，最后求出动点 的轨迹的长度.
【点睛】
本题综合考查了空间点、线、面的平行或垂直位置关系，考查学生基础知识的掌握情况，以及逻辑思维能力.
11．CD
【分析】
根据已知可得直三棱柱 的内切球半径为 ，代入球的体积公式，可得答案．
【详解】
解： ， ， ，
．
故三角形 的内切圆半径 ，
又由 ，
故直三棱柱 的内切球半径为 ，
此时 的最大值 ，故不可能取值的为选项C、D .
5．D
【分析】
先由三视图还原为实物图，得知几何体为直四棱锥，然后计算出每个面的面积，相加即可得出答案。
【详解】
由三视图还原原几何体如图，
该几何体为四棱锥，底面 为边长是2的正方形，侧棱 底面 ，且 ．
该几何体的表面积为： ．
故选： ．
【点睛】
本题考查三视图以及简单几何体表面积的计算，解决这类问题的关键在于将三视图还原为几何体的实物图，在还原的过程中遵循“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则，考查空间思维能力，属于中等题。
D．已知 为抛物线 上任意一点且 ，若 恒成立，则
10．设 和 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
11．在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球，若 ， ， ， ，则 的取值不可能是（）
A． B． C． D．
3．A
【分析】
根据平面与平面平行的性质、平面与平面的位置关系以及充分不必要条件的概念可得结果.
【详解】
当 时，根据平面与平面平行的性质可得 且 ，
当 且 时， 或 与 相交，
所以“ ”是“ 且 ”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查了平面与平面平行的性质、平面与平面的位置关系以及充分不必要条件的概念，属于基础题.
故选：C
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.
8．A
【分析】
求出 ， ， ，推导出 ，从而得到 ．
【详解】
直角三角形的三边满足 ，
分别以 、 、 三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为 、 、 ，
， ，
该直角三角形斜边上的高 满足 ，可得 ，
故选：CD．
【点睛】
本题主要考查空间几何体的内切球的体积，根据已知求出球的半径，是解答的关键．
12．BC
【分析】
作图，在四棱锥 中，根据题意逐一证明或排除.
【详解】
作图在四棱锥 中：
由题：侧面 平面 ，交线为 ，底面 为矩形， ，则
平面 ，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；
连接 交 于 ，连接 ， 中， ∥ ， 面 ，
（1）求证：面 面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
参考答案
1．D
【解析】
对于A，如图ABCD为正四面体，
∴△ABC为等边三角形，
又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，
12．已知四棱锥 ，底面 为矩形，侧面 平面 ， ， .若点 为 的中点，则下列说法正确的为（）
A． 平面
B． 面
C．四棱锥 外接球的表面积为
D．四棱锥 的体积为6
三、填空题
13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
14．已知三棱锥 的各顶点均在半径为2的球面上，且 ，则三棱锥 体积的最大值为______.
10．BCD
【分析】
， ， ，并不能推出 ，这时 和 还可能相交，故A错误；
根据线面垂直或面面平行的性质可判断B,C,D正确.
【详解】
， ， ，并不能推出 ，这时 和 还可能相交，故A错误；
若 ， ，则 ，又 ，则 ，B正确；
若 ， ，则 或 ，又 ，则 ，C正确；
若 , ，中 ，又 ，则 ，D正确.