19.2平行四边形的性质 平行四边形的判定-教案-2020-2021学年沪科版数学八年级下册

第十九章四边形

19.2平行四边形

第3课时平行四边形的判定

一、教学目标

1．掌握平行四边形的判定定理，能根据已知条件选择合适的判定定理判定一个四边形是平行四边形.

2．能够灵活运用平行四边形的性质定理和判定定理进行简单的推理证明．

二、教学重点及难点

重点：掌握平行四边形的判定定理.

难点：灵活运用平行四边形的性质定理和判定定理进行简单的推理证明．

三、教学用具

能够活动的矩形框架、多媒体课件

四、相关资料

《各种平行四边形例题》图片，《铁轨图片》图片，微课，知识卡片

五、教学过程

【情景引入】

我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：

1．两组对边分别平行且相等；

2．两组对角分别相等；

3．两条对角线互相平分．

那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？设计意图：教师提出问题，由学生独立思考，并回答定义正反两方面的作用，总结出平行四边形的其他几条性质．

【探究新知】

探究1：平行线之间的距离

在笔直的铁轨上,夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长?你能说明理由吗?与同伴交流.

设计意图：从实际的生活出发,让学生感受数学来源于生活又服务于生活

【归纳结论】若两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离，即平行线间的距离相等.

探究2：平行线之间的平行线段.

夹在平行线之间的平行线段一定相等吗？

你能证明你的结论吗？

【归纳结论】平行线之间的平行线段相等.

设计意图：通过对平行四边形性质的简单应用，引入了平行线之间的距离的概念;再通过生活中的生活实例的应用，深化对知识的理解.

探究3：平行四边形的判定定理3.

能否用两根不同长度的细木条摆出以木条顶端为顶点的平行四边形？

思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？以上活动事实,能用文字语言表达吗？

已知:如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD.

求证:四边形ABCD是平行四边形.

证明: ∵OA=OC,OB=OD，

且∠AOB=∠COD，

∴△AOB≌△COD（SAS）.

∴AB=CD.

同理可得:BC=AD.

∴四边形ABCD是平行四边形.

设计意图：在此活动中，教师应重点关注：（1）学生实验操作的准确性；（2）学生能否

运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现；（3）学生使用几何语言的规范性和严谨性.

【归纳结论】对角线互相平分的四边形是平行四边形.

探究4：平行四边形的判定定理4.

如图：∠A=∠C,∠B=∠D,求证：四边形ABCD为平行四边形

证明：∵∠A=∠C,∠B=∠D,

∠A+∠C+∠B+∠D=360°,

∴∠A+∠B=180°,

∴AD∥BC,

同理：AB∥CD,

∴四边形ABCD是平行四边形.

【归纳结论】两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

【新知运用】

【类型一】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

例1 如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD ∥CB，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论．

解：四边形ABCD是平行四边形．

理由如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．

方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB.

【类型二】两组对边分别相等的四边形是平行四边形

例2 如图，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD ，等边△ACE 、等边△BCF .试探究四边形DAEF 是平行四边形．

解析：根据题中的已知条件可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形DAEF 为平行四边形．

解：∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，∴∠DBF ＋∠FBA ＝∠ABC ＋∠ABF ＝60°，∴∠DBF ＝∠ABC .又∵BD ＝BA ，BF ＝BC ，∴△ABC ≌△DBF ，∴AC ＝DF .又∵△ACE 是等边三角形，∴AC ＝AE ，∴AC ＝DF ＝AE .同理可证△ABC ≌△EFC ，∴AB ＝EF ＝AD ，∴四边形DAEF 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．

方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过三角形全等和等量代换解决．

【类型三】 对角线互相平分的四边形是平行四边形

例3 已知，如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ∥DB ，AO ＝BO ，E 、F 分别是OC 、OD 中点．求证：

(1)△AOC ≌△BOD ；

(2)四边形AFBE 是平行四边形．

解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC ≌△BOD ；(2)此题已知AO ＝BO ，要证四边形AFBE 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE ＝OF 就可以了．

证明：(1)∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠D .在△AOC 和△BOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠D ，∠COA ＝∠DOB ，AO ＝BO ，

∴△AOC ≌

△BOD (AAS )；

(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO .∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝12OD ，OE ＝12

OC ，∴EO ＝FO .又∵AO ＝BO .∴四边形AFBE 是平行四边形．

方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合