弹性力学平面问题

2. 几何方程（几何量位移和应变）
x

u x
y

v y
z

w z

xy

u y

v x
yz

w y

v z
xz

u z

w x
x

u

u x
dx


dx

u
dx

dx

u x
Hale Waihona Puke Baidu xy




tan

tan
3 弹性力学平面问题有限元法
材料力学主要研究杆、梁、柱 结构力学主要研究杆系（或梁系） 弹性力学主要研究实体和板得受力和变形
弹性力学假设所研究的物体：连续的、完全弹性的 均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的
在这假设基础上研究受力物体一点上的应力、应变、 变形和平衡关系。
线性： （非线性） 结构的应力与应变的关系（本构关系）呈线性变化。

zy
z

zy
z
dz
xz x

xz dx
x fz
fx
x
xy
dx
x
x
f yxy

xy
dxxz
x
Pzy
zx
yz yx

yz
y
yx
y
dy
y
dy
B

y
y
dy
z
A
o
y
x
正六面单元体的取法
经过物体内任一点如P点取出一个微小的正六面
z
z
o
x
x
y y
工程中滚针轴承的滚针、轧钢机的轧辊、水坝、 受内压管道、齿宽较大的直齿轮等
条件 a)弹性体为常截面的很长柱体。 b)体力、面力和约束都只有 xy 平面内的量
( fx, fy; fx, fy;u,v) ,且都不沿 z 向变化；
假想柱体无限长，则任一 z 截面均为对称面，即
w 0，只有平面位移 u 和 v 存在，即平面位移。

0
{ }




x y


x 0

xy


y

u v


y
x

[D]
式中


1 0
[D]

E
1 2


1
0
1
0 0


2
称为平面应力问题的弹性矩阵
2)平面应变问题
一点的形变状态的概念
几何规律：过空间一点有无数根直线。
力学特点：即使过同一点，不同方向线段的伸长也同；
任两根直线之间夹角的改变也不相同。
同一点的应力状态情况一样，可证明，在物体内任意一 点，若已知 x 、 y 、 z 、 xy、 xz、 yz，即可求得经过该
点的任意截面上（方向余弦已知）的正应变和切应变。故 这六个应变分量完全确定了该点的应变状态。
1.平衡方程（应力和体力之间关系）

x

x x
dx
dydz


x
dxdy

yx

yx y
dy dxdy


yxdxdz


zx

zx z
dz dxdy
zxdxdy

Xdxdydz

0
x x

yx y

zx z
应力边界（面力和约束只作用于板边，在板面上
(z )没任何面力和约束的作用。应力边界为：
2

z
|
z



0
2

zx
|
z


0
2
zy
|
z


0
2
板很薄，外力不沿厚度方向变化，因应力沿厚度
方向连续分布，故可认为所有各点：
z 0 zx 0 zy 0
xy yx，且仅为 x、y的函数的弹性力学问题
z 0 zx xz 0
zy yz 0
x x (x, y) y y (x, y)
xy xy (x, y) yx yx (x, y)
物理方程
z

1 E
[ z
4.位移
定义：位置的改变。
记号： u、v、w
正负：沿坐标轴正向为正，负向为负。
分类:与形变有关的位移和与形变无关位移（刚体位移）
u v wT
二、弹性力学基本方程
弹性力学基本方程描述弹性体内任一点应力、应变、位移以及外 力之间的关系，它包括平衡方程、几何方程和物理方程三类。

v dx x
dx1
u x


u dy y
dy1
v y

v u x y v u
1 x 1 y x y
3. 物理方程（应力分量与应变分量；与材料的物理特性有关）
从静力学角度导出了平衡微分方程和静力边界条件； 从几何学角度导出了几何方程和应变协调条件；在推导 过程中并没有涉及到弹性体本身材料的固有特性，故这 些方程适用于一切连续介质。
式中


1
1
0

[D]

1
E 1 1



2

1

1
0

0
0
1 2
2
1




称为平面应变问题的弹性矩阵
名称
平面应力问题
未知量 已知量
平面应变问题
未知量
已知量
位 移 u、v w 0 u、v w 0
应变
材力规定
xy yx xz zx yz zy
3.形变
定义：形状的改变（长度的改变和角度的改变）
线应变（正应变）：线段单位长度的伸缩。
记号：
正负：伸长为正，压缩为负
切应变(剪应变)：两方向线段夹角的改变。
记号： (以弧而非角度表示)
正负：直角变小为正，变大为负
弹性：（塑性） 结构在外力拆除后能够完全恢复原有形状的特性。
静力分析： （动态分析） 结构所受外力是不随时间变化的恒力。
一、弹性力学中的物理量
载荷、应力、应变、位移
1.载荷
载荷是外界作用在弹性体上的力，又称为外力。它包括体力、面力和 集中力三种形式。
体力是分布于整个弹性体体积内的外力，如重力和惯性力。在弹性体 内任一点，单位体积的体力用 Pv 表示，它可分解为给定坐标系x、y和z 三个坐标轴上的投影 Pvx、Pvy 、Pvz ，称为体力分量。
由切应力互等定律得：
xz 0 yz 0
只有平行于 xy面的平面应力分量——平面应力
x y xy yx
由于物体形状、外力和约束沿 z 向均不变化，应
力分量和应变分量均只是 x、y的函数；从几何
方程积分求位移可知位移与 z 有关。
平面应力问题——只有平面应力分量 x 、 y 和
由于截面形状、外力和约束沿 z 向均不变化，位
移分量只是 x、y的函数.
u u(x, y) v v(x, y) w 0
假想柱体无限长，则任一 z 截面均为对称面，即
w 0，只有平面位移 u 和 v 存在，即平面位移。
由于截面形状、外力和约束沿 z 向均不变化，位
移分量只是 x、y的函数.
i (i x, y, z) ii
B. 力的指向
切应力互等定理
在受力物体相互垂直的两个平面上，切应力必然
成对存在，且数值相等；两者都垂直于两平面的交线，
方向共同指向或背离这一交线。
z
o
x
zxzy xz xy
yz yx
弹力规定
xy yx xz zx
y yz zy
a) 沿坐标轴分解 b) 沿截面法向和切向分解
除了在推导公式过程中沿坐标轴分解外，通常
采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正
应力 和切应力 ，因为与物体形变和材料强
度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和 切线方向的分量。
C
z
y
zx
yx
yz
zx dz
z
z
z dz
体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别 为：PA x, PB y, PC z。将每个面上的应力分
解为一个正应力和两个切应力。正应力用 表 示，切应力用 表示。
应力下标的含意：
A. 作用面的外法线方向
A. 作用面的外法线方向
B. 力的指向
ij (i, j x, y, z)

x、
、
y

zx
zy

0
xy
z



E
( x

y)

x、
、
y
zy
zx
z

0
xy
应
力
x、
xy
y、 zx

( x

y )]
z 0
z ( x y )
z z 的存在说明了沿 向无限长的柱体的假设限
制了每一个横截面的纵向位移。当柱体受到垂直于
z 轴的外力作用时，这些衡截面之间必然产生挤压
应力
z
。
z
可直接由

x、
y
计算得到，故不作为独立的
未知量。
物理方程
物理方程
[D]
x、 y、 xy yx
从力学角度推导 由对称性(对称结构承受对称荷载，反对称力为
零)可知： zx 0、 zy＝0
由剪切互等定律可知： xz 0、 yz＝0 由胡克定律可知： zx xz 0、 zy = yz＝0
平面应变问题——只有平面应变分量 x 、 y 和
从物理学的角度分析可知，不同材料的弹性体其应 力应变关系即本构关系是不同的，对于对于理想弹性体 ，在小变形情况下，应力应变关系服从广义胡克定律
物理方程的表达形式
以应力表示应变
以应变表示应力
x

1 E

x

v(
y

z
)

y

1 E

y

v( x

z

z

1 E

z

v( x


y
)
xy

xy
G

yz

yz
G
xz

xz
G
x 2Gx xy G xy y 2G y yz G yz z 2Gz xz G xz
x y z
D
E
为材料的弹性模量；
四、平面问题
1.平面应力问题

2
o
x

2
z
y
y
工程中链传动中的链片、发动机中的连杆、
内燃机的飞轮、轧机的机架和齿宽较小的
直齿圆柱齿轮等
条件
a)弹性体是等厚的薄板（沿z 向等厚度 ）
，厚度尺寸远远小于截面尺寸，t《L/15；
b)体力、面力和约束都只有 xy 平面内的量即
( fx, fy; fx, fy;u,v) ,且都不沿 z 向变化；
u u(x, y) v v(x, y) w 0
从数学和几何学角度推导
u u(x, y)
x

u x
v v(x, y) w 0
xy

u y

v x
y

v y

yz

w y

v z

0
z

w z

0
xz

u z

w x

0
只有平行于 xy面的平面应变分量——平面应变
T
Pv pvx pvy pvz
面力是作用于弹性体表面上的外力，如流体压力和接触压力。
T
Ps psx psy psz
如果外力作用面很小，或者说外力作用在某一点上，则这种外力称为集中力。
T
Pc pcx pcy pcz
无论那个位置的体力、那一边界面上的面力，均以正
标向为正，且斜面上的面力是以单位斜面面积上的作用 力数值来表示。
内力
定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。 求解方法：截面法
2. 应力:内力集度。反映内力分布情况（应力场）
z

m A
p F
lim p ΔF ΔA0 ΔA
P II n 矢量 p 方向沿
o
x
I
F 的极限方向
y
沿截面切向和法
向分解为 和
量纲： L1MT 2
应力的两种不同分解方法

G E
2(1 )
为泊松比 为材料的切变弹性模量
由上可见，三类基本方程中包括15个方程，含6个应力 分量、6个应变分量和3个位移分量共15个未知量。 实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部 分（称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量。 位移法、应力法、混合法——选取基本未知量不同
xy yx ，且仅为 x、y的函数的弹性力学问题
z 0 zy yz 0 zx xz 0
x x (x, y) y y (x, y)
xy xy (x, y) yx yx (x, y)
物理方程
几何方程 物理方程

X
0

xy x

y y

zy z
Y

0


xz x

yz y

z z

Z

0

在X方向有 Fx 0
应力和体力在三个坐标方向上 满足一下平衡方程
平衡方程是弹性体内部必须满足的条件，它说明六个应力分量不是独立的， 它们通过三个平衡方程相互联系。