高中数学竞赛 第二讲 定义在解题中的应用1

第二讲：定义在解题中的应用

定义法是最原始的方法，也是最基本的方法。

无论是哪一个综合题，也不管它的结构是怎样的错综复杂，总是有若干个基本概念的综合或叠加。概念是对数学实体的高度抽象，而抽象的结果就产生了定义。所以，它是揭示事物内涵的本质的解题方法。

有关椭圆和双曲线的问题，若题设中出现了准线、焦点和离心率这三个元素中的至少两个，那么选择定义解似乎势在必然了。因为抛物线上的一点到焦点的距离等于此点到准线的距离，所以抓住这个特殊的条件往往是解有关抛物线问题的简洁和快捷的方法。解题的经验是在实践中逐渐积累的。在点点滴滴的解题的技巧的积累之后，思维的灵敏性也就逐渐提高了。

要选择定义解题，首先要记住圆锥曲线的每个定义，尤其是圆锥曲线的统一定义。

例1、（1）抛物线x=2py2（p>0）上的一点A（m,n）到焦点F的距离为1/p,则m=。

n=

（2）已知双曲线x2/64－y2/36=1上的一点P到左焦点的距离为14，则P到右准线的距离为。

（3）以x=±4为准线方程，其离心率e=0.5,并且过原点的椭圆方程为。

（4）抛物线的对称轴方程为3x+4y=1,焦点F（－1，1），且过点A（3，4），则抛物线的方程是准线方程是

（5）点M的距离到F（0，－6）的距离比它到直线y=7的距离小1，则点M的轨迹方程是。

例2、（1）已知点A（3，2），F为抛物线y2=2px (p>0)焦点，点M在抛物线上运动，若当|MA|+|MF| 的最小值为4时，则点M的坐标为。

（2）设抛物线y2=2px (p>0)焦点为F，O为坐标原点，P是抛物线上任意一点，则ΔPOF可能是三角形。

例3、（1）F1、F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，以任意一焦点向ΔF1F2Q的顶点Q的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹是。

（2）F1、F2是椭圆的两个焦点，以双曲线右支上的任意一点P为圆心，|PF1|为半径的圆与以F2为圆心，| F1F2|/2为半径的圆内切，则双曲线的渐近线的夹角是。

练习：F1、F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，以任意一焦点向ΔF1F2Q的顶点Q的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹是。

例4、求证：以有心圆锥曲线的任意一条焦半径为直径的圆必与一定圆相切。

[思考]在抛物线中有怎样类似的结论？

例5、已知F1、F2是双曲线的两个焦点，右准线是L,若在双曲线的右支上存在一点P，使|PF1|是P到L的距离d与|PF2|的比例中项，求双曲线离心率的取值X围。

例6、已知M1、M2分别为圆（x+4）2+y2 = 25和（x－4）2+y2 = 1的圆心，一动圆与此两圆均外切，（1）求动圆圆心的轨迹方程。（2）若过点M2的直线与（1）中所求轨迹有两个交点A、B，求|AM1|·|BM1|的取值X围。

例7、长度为2的线段的两端点A、B在抛物线y=x2上移动，设这一线段的中点为M，求M到x轴的最短距离。

例8、倾斜角为θ的直线经过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F并交抛物线于A、B两点,求|AF|，|BF|及|AB|的长.并计算1/|AF|+1/|BF|的值。

引申：（1）倾斜角为θ的直线经过抛物线y2=2px (p>0)的顶点并交抛物线于M点，用θ表示|OM|的长。（2）倾斜角为θ的直线经过椭圆（或双曲线）的右焦点F，并交椭圆（或双曲线）于A、B两点, 求||AB|的长

[焦三角形问题]

例9、已知P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且∠PF1F2=15°,∠PF2 F1=75°，求椭圆的离心率. 引申：（1）将椭圆改为双曲线，则离心率为。

（2）已知P是离心率为2的椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，设ΔPF1F2的内切圆圆心为I，PI交x 轴于Q点，求PI与IQ的比值。

（3）已知P是椭圆ｘ2/９+y2/１６=1(a>0,b>o)上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，

①若SΔABC=１６,求∠F1PF2的大小。②若ΔF1PF2为钝角三角形，求SΔABC的取值X围，