三个正数的算术-几何平均不等式 课件
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三个正数的算术—几何平均不等式
1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果a1，a2，a3∈R＋，则：a1＋a32＋a3叫做这 3 个
正数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几__何__平_均__数_； (2)三个正数基本不等式：a1＋a32＋a3≥3 a1a2a3. 语言表述：三个正数的__算__术____平均数不小于它们的
___几__何___平均数． 练习 1：若已知 a1＝3，a2＝9，a3＝27 则a1＋a32＋a3＝
____1_3___，3 a1a2a3＝____9____， 则有：a1＋a32＋a3____≥____3 a1a2a3.
2．n 个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，…，an∈R＋，n＞1 且 n∈N＋则： a1＋a2＋n …＋an叫做这 n 个正数的算术平均数，
2．(1)几何平均数 (2)算术 几何 练习2： ≥
设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)(a2＋ b2＋c2)≥9abc.
证明：因为 a，b，c 为正数， 所以 a＋b＋c≥33 abc， a2＋b2＋c2≥33 a2b2c2， 将上述两个同向不等式相乘得
(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥93 a3b3c3＝9abc， 即(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.
设 a1，a2，a3，a4 为正数， 求证：a1＋a2＋4 a3＋a4≥4 a1a2a3a4， 当且仅当 a1＝a2＝a3＝a4 时，等号成立．
证明：若 a1＝a2＝a3＝a4，则上式左＝a1，右＝a1. 故所需证不等式中等号成立． 若 a1，a2，a3，a4 不全相等，则不妨设 a1≠a2，于是 a1＋a2＞2 a1a2＞0， a3＋a4≥2 a3a4＞0， 故 a1＋a2＋a3＋a4＞2( a1a2＋ a3a4)
A．3
B．4 C．5
D．6
5．函数 f(x)＝3x＋1x22 (x＞0)的最小值为____9____．
6．已知 x，y，z 为正数，求证： (1)yx＋xy≥2；(2)xy＋yz＋xz≥3. 证明：(1)yx＋xy≥2 xy·xy＝2.
(2)xy＋yz＋xz≥3 3
x y
·yz·xz＝3.
7．设 a1，a2，…，an 为正数，求证：a1＋a2＋n …＋an≥ n
≥2·2· a1a2· a3a4
＝44 a1a2a3a4， 即a1＋a2＋4 a3＋a4≥4 a1a2a3a4， 当且仅当 a1＝a2＝a3＝a4 时，等号成立．
1．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的
最小值是( D )
A．33 9
B．1＋2 2
C．6
D．7
2．A＝2110＋2101＋1＋…＋2111－1，则 A 与 1 的大小
n a1a2…an叫做这 n 个正数的________； (2)基本不等式：a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an (n∈N*，ai∈R＋，1≤i≤n)． 语言表述：n 个正数的________平均数不小于 它们的________平均数． 练习 2：若 x＞0，则x3＋x3＋x3＋2x73________4.
a11＋a12＋…＋a1n.
证明：因为 a1，a2，…，an 为正数，所以要证a1＋a2＋n …＋an ≥a11＋a12＋n …＋a1n成立，
需证(a1＋a2＋…＋an)·a11＋a12＋…＋a1n≥n2，
由算术—几何平均不等式可得
a1＋a2＋…＋an≥nn a1a2…an， a11＋a12＋…＋a1n≥n n a1a21…an， 两式相乘得 (a1＋a2＋…＋an)a1＋a12＋…＋a1n≥n2， 所以原不等式成立．
设 a，b，c∈R＋，
求证：(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92.
证明：∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)
≥33 a＋bb＋cc＋a，
a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥3 3 a＋1 b×b＋1 c×a＋1 c，
∴(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92.
当且仅当a=b=c时等号成立
已知 a，b，c∈R＋，且 abc＝8. 求a＋3b＋c＋a＋3b＋c的最小值．
解析：设 f(x)＝x＋1x， 且 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， 因为 a，b，c，∈R＋，且 abc＝8，
所以a＋3b＋c≥ 3 abc＝2.
所以 fa＋3b＋c≥f(2)＝52.
当且仅当 a＝b＝c＝2 时取“＝”号． 故a＋3b＋c＋a＋3b＋c的最小值为52.
关系是___A_＜__1__．
3．若 a，b，c，d 都是正数，则ba＋ab≥___2_____.ba＋bc＋ac
≥___3_____
，
b＋c a
＋
c＋a b
＋
a＋b c
≥___6_____
，
(a
＋
b)
a1＋1b
≥___4_____，ab＋dcbc＋ad≥_____4___.
4．若 a＞b＞0，则 a＋ba1－b的最小值为( A )
8. 已知0<x< ,求函数y=x4(2-x2)的最大值.
1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果a1，a2，a3∈R＋，则：a1＋a32＋a3叫做这 3 个
正数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几__何__平_均__数_； (2)三个正数基本不等式：a1＋a32＋a3≥3 a1a2a3. 语言表述：三个正数的__算__术____平均数不小于它们的
___几__何___平均数． 练习 1：若已知 a1＝3，a2＝9，a3＝27 则a1＋a32＋a3＝
____1_3___，3 a1a2a3＝____9____， 则有：a1＋a32＋a3____≥____3 a1a2a3.
2．n 个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，…，an∈R＋，n＞1 且 n∈N＋则： a1＋a2＋n …＋an叫做这 n 个正数的算术平均数，
2．(1)几何平均数 (2)算术 几何 练习2： ≥
设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)(a2＋ b2＋c2)≥9abc.
证明：因为 a，b，c 为正数， 所以 a＋b＋c≥33 abc， a2＋b2＋c2≥33 a2b2c2， 将上述两个同向不等式相乘得
(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥93 a3b3c3＝9abc， 即(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.
设 a1，a2，a3，a4 为正数， 求证：a1＋a2＋4 a3＋a4≥4 a1a2a3a4， 当且仅当 a1＝a2＝a3＝a4 时，等号成立．
证明：若 a1＝a2＝a3＝a4，则上式左＝a1，右＝a1. 故所需证不等式中等号成立． 若 a1，a2，a3，a4 不全相等，则不妨设 a1≠a2，于是 a1＋a2＞2 a1a2＞0， a3＋a4≥2 a3a4＞0， 故 a1＋a2＋a3＋a4＞2( a1a2＋ a3a4)
A．3
B．4 C．5
D．6
5．函数 f(x)＝3x＋1x22 (x＞0)的最小值为____9____．
6．已知 x，y，z 为正数，求证： (1)yx＋xy≥2；(2)xy＋yz＋xz≥3. 证明：(1)yx＋xy≥2 xy·xy＝2.
(2)xy＋yz＋xz≥3 3
x y
·yz·xz＝3.
7．设 a1，a2，…，an 为正数，求证：a1＋a2＋n …＋an≥ n
≥2·2· a1a2· a3a4
＝44 a1a2a3a4， 即a1＋a2＋4 a3＋a4≥4 a1a2a3a4， 当且仅当 a1＝a2＝a3＝a4 时，等号成立．
1．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的
最小值是( D )
A．33 9
B．1＋2 2
C．6
D．7
2．A＝2110＋2101＋1＋…＋2111－1，则 A 与 1 的大小
n a1a2…an叫做这 n 个正数的________； (2)基本不等式：a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an (n∈N*，ai∈R＋，1≤i≤n)． 语言表述：n 个正数的________平均数不小于 它们的________平均数． 练习 2：若 x＞0，则x3＋x3＋x3＋2x73________4.
a11＋a12＋…＋a1n.
证明：因为 a1，a2，…，an 为正数，所以要证a1＋a2＋n …＋an ≥a11＋a12＋n …＋a1n成立，
需证(a1＋a2＋…＋an)·a11＋a12＋…＋a1n≥n2，
由算术—几何平均不等式可得
a1＋a2＋…＋an≥nn a1a2…an， a11＋a12＋…＋a1n≥n n a1a21…an， 两式相乘得 (a1＋a2＋…＋an)a1＋a12＋…＋a1n≥n2， 所以原不等式成立．
设 a，b，c∈R＋，
求证：(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92.
证明：∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)
≥33 a＋bb＋cc＋a，
a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥3 3 a＋1 b×b＋1 c×a＋1 c，
∴(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92.
当且仅当a=b=c时等号成立
已知 a，b，c∈R＋，且 abc＝8. 求a＋3b＋c＋a＋3b＋c的最小值．
解析：设 f(x)＝x＋1x， 且 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， 因为 a，b，c，∈R＋，且 abc＝8，
所以a＋3b＋c≥ 3 abc＝2.
所以 fa＋3b＋c≥f(2)＝52.
当且仅当 a＝b＝c＝2 时取“＝”号． 故a＋3b＋c＋a＋3b＋c的最小值为52.
关系是___A_＜__1__．
3．若 a，b，c，d 都是正数，则ba＋ab≥___2_____.ba＋bc＋ac
≥___3_____
，
b＋c a
＋
c＋a b
＋
a＋b c
≥___6_____
，
(a
＋
b)
a1＋1b
≥___4_____，ab＋dcbc＋ad≥_____4___.
4．若 a＞b＞0，则 a＋ba1－b的最小值为( A )
8. 已知0<x< ,求函数y=x4(2-x2)的最大值.