稳定裕度

最小相位系统的极坐标图与(-1,j0)点的接近程度可以分别用 极坐标图穿过负实轴的幅值和极坐标图幅值为1时的相角来表示。
j G(s平面
Ag
-1 g
c
→∞ 0
c
→0
定义极坐标图穿过负实轴(此时
()=－180° )对应的频率为相角穿 越频率,用g表示；
定义幅值A()=1对应的频率为幅 值穿越频率，用c表示。
-6.0
0.33
0
0.67
0.7
-3.1
0.96
0
1.37
0.8
-1.9
1.78
0
2.22
1.0
0
∞
0
∞
1.2
1.6
-3.327
0
2.73
1.4
2.9
-2.40
0
1.46
1.6
4.1
-1.64
0
1.03
1.8
5.1
-1.46
0
0.80
2.0
6.0
-1.33
0
0.67
3.0
9.6
-1.13
0
0.38
M=1.2
定的，除非－60dB/dec段非常短，且该段两端所接折线的斜率
大于－40dB/dec，此时即使稳定，相位裕度 也是非常小的。
5.6 闭环系统的频率特性
5.6.1 用向量法求闭环频率特性 5.6.2 等幅值轨迹(等M圆)和等相角轨迹 (等N圆)
5.6.1 用向量法求闭环频率特性
对于单位反馈系统，闭环系统的频率特性F(j)和开环系统 的频率特性G(j)的关系为
2
2
若M≠1,上式变为:

P

M2 1 M
2
2
Q2源自 1M M
2
2

这是一个圆的方程。圆心在
M2
( 1
M
2
,0)
，半径为
M 1 M 2
。
对于给定的M值，可算出圆心和半径，在G(s)平面上绘出一个圆
M 20lgM(dB) 圆心横坐标P 圆心纵坐标Q 圆半径
0.5
生负的增益稳定裕度和负的相角稳定裕度。在这种情况下，首 先必须确定系统的稳定性(即系统稳定还是不稳定)，然后再计 算稳定裕度的数值。一但稳定性被确定，稳定裕度的数值便直 接表明稳定或不稳定的程度，稳定裕度的符号就没有意义了。
-1 CB
j G(s平面
Ag
g
→∞
0

CA

→0
或称为稳定裕度。稳定裕度越大，相对稳定性越好。
定义：相角穿越频率时的幅频特性的倒数为幅值稳定裕度，即
Kg

1
A( g )
在对数坐标图上，采用Lg表示Kg的分贝值，即
Lg 20 lg K g 20 lg A( g )
Lg称为对数幅值稳定裕度或增益稳定裕度，由于Lg应用较多，
通常直接被称为幅值稳定裕度。
－60dB/dec
Lg＝31.3dB
Lg＝11.3dB
-120
-150
c＝0.288 1=72.3°
-180
-210
c＝1.583 2=23.3°
c＝5.12 1=-16°
-240
-270 0.1
1
g＝3.16
10
100
一般而言，当L()在c处的斜率处于－20dB/dec段时，系 统是稳定的；当L()在c处的斜率处于－40dB/dec段时，系统 可能稳定也可能不稳定，即使稳定，相位裕度 也是较小的； 当L()在c处的斜率处于－60dB/dec段时，系统是一般是不稳
式中， K= Kg /10，为系统的开环增益。按题意是要求K=0.3、 K=3和K=30时的 值。
当K=0.3，c=0.288， 72.3°(近似值c=0.3， 71.6° ) 当K=3，c=1.583， 23.3°(近似值c=1.73， 20.2° ) 当K=30，c=5.12， 16°(近似值c=5.48， 18.4° )
令 ( ) 90 tg1 tg10.1 180
tg
1
1
1.1 0.1
2
90
1 0.1 2 0
g 10 3.16
A(g )
K
K
10 11 1.1 11
Kg
11 K
K 0.3
Kg

11 0.3
1
K 3
Kg

[相角稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率c处将 相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。 相位稳定裕度是闭环系统达到不稳定前系统开环频率特性在c
点所允许增加的最大相位滞后。
增益稳定裕度反映开环增益对闭环系统稳定性的影响，而
相角稳定裕度则不一样，它仅仅反映理论上只改变Gk(j)的相位
对单位反馈系统而言，当知道开环频率特性的极坐标图在GK(s) 平面中的位置，就可确定闭环幅频特性。若知与某等M圆相交的
频率，就可确定闭环频率特性在这个频率时的幅值。
2．等相角轨迹（等N圆）
F( j ) P jQ tg1 Q tg1 Q
1 P jQ
P
1 P
设 tg=N 整理可得
定义：幅值穿越频率时的相频特性与－180°之差为相角稳定 裕度。即
(c ) (180 ) 180 (c )
L() j
G(s平面
Ag
-1 g
c
→∞ 0
c
0
() -90
-180
→0
-270
Lg

c


g
显然，当Lg＞0时，即A(g)＜1和 ＞0时，闭环系统是稳定的； 否则是不稳定的。对于最小相位系统，Lg＞0和 ＞0是同时发生
当频率特性曲线穿过(－1,j0)点 时，系统处于临界稳定状态。这时：
A(g)=1, (c)=－180°,g=c 。
最小相位系统稳定的条件为：
当A(c)=1时，(c)＞－180° 当(g)=－180°时A(g)＜1
可以用A(g)和(c)来表示频率特性曲线接近(－1,j0)点的程度，
11 3
1
K 30
Kg

11 30
1
Lg

20 log
11 0.3

31.3(dB)
Lg

20log 11 3
11.3(dB)
Lg

20 log
11 30

8.7(dB)
60 K=30
40 K=3
20
0 -20
K=0.3
-40
-60
-80
-100
-120
-90
－20dB/dec
－40dB/dec Lg＝-8.7dB
相对稳定性较好。
[例]单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)
Kg
s(s 1)(s 10)
试分别确定Kg=3、Kg=30和Kg=300时的相角裕度。
解：本题传递函数以零极点的形式给出，故应先将其化成以时 间常数形式的传递函数
G(s)
K g 10

K
s(s 1)(0.1s 1) s(s 1)(0.1s 1)
M=1.3 M=1.4
M=1.6 M=2.0 M=3.0
-4
-3
-2
-1
M=5.0
Q M=0.8
2
M=0.7
1 M=0.6 M=0.5 M=0.4
M=00.2 1
2
-1
-2
当M>1时，等M圆在 p=－1/2直线的左 边，随着M的大，M 圆越来越小，最后 收敛于(-1,j0)点。
P 当M<1时，等M圆 在p=－1/2直线的 右边，随着M的减 小，M圆越来越小， 最后收敛于原点。
j G(s平面
Ag
-1 g
→∞ 0
c
j G(s平面
Ag
-1 g
→∞
0
C
→0
→0
除了相位稳定裕度和幅值稳定裕度之外，另一种相对稳定
性的度量指标是闭环幅频特性的峰值Mp。
越大，Lg越大，则系统的相对稳定性越好。但对实际系 统而言不可能选得非常大。一般可取在30°～60°，Lg >6dB
由于任何一个角±180°的倍数后的正切相同，所以等N轨迹与 等轨迹不同。等轨迹不是一个完整的圆弧。
10° 90°
20° 3
30° 2 40° 60° 1 80°
-4
-3
-2
1
2
3
－90°
－80° －60° -1
－40°
－30° -2
－10°
－20°
-3
对单位反馈系 统而言，当知 道开环频率特 性的极坐标图 在GK(s)平面中 的位置，就可 确定闭环相频 特性。若知与 某等N圆相交的 频率，就可确 定闭环频率特 性在这个频率 时的相角。
当=1时为图中A点
Im
向量 OA=G(j1)
令 (－1，j0) 为P点
-1
0 Re
向量 PA=1+G(j1)
F(
j1 )

G( j1) 1 G( j1)

OA PA
P

OA
M (1) F( j1) PA
●
(1) F( j1)
A
OA PA
从这两方面考虑，则要求系统不仅是稳定的，还应具有一 定的安全系数。换句话讲，就是不仅关心系统是否稳定，还关 心系统稳定的程度，这就是所谓的相对稳定性。相对稳定性也 称为稳定裕度。
本节将用频率响应方法来研究系统的相对稳定性。
用频率响应方法来研究系统的相对稳定性是利用开环频率 特性的极坐标图与(－1，j0)点的接近程度来反映闭环系统稳 定或不稳定的程度。
N

tg (tg 1
Q P

tg1 Q ) 1 P

P2

Q P
Q2
(P 1)2 (Q 1 )2 1 ( 1 )2
2
2N 4 2N
这是一个圆的方程。圆心在 ( 1 ，1 )，半径为 N 2 1 。
2 2N
2N
取不同的值，可得不同的N值，可在G(s)平面画出一组等N圆。
G(s)平面
Im
c3 g3 -1
g1 c2=g2
c1
K3
K2
K1
当K=K3时，极坐标图顺时 针包围了(－1，j0)点，因 此，闭环系统不稳定。
Re
当K减小到K2时，极坐标 图将通过(－1，j0)点，闭 环系统处于临界稳定，此时 闭环系统在虚轴上有极点。
当K小于临界值后，系统 变成稳定系统，而且，随着 K的进一步减小，系统的相 对稳定性将越来越高。
的哪些系统参量的变化对稳定性的影响。
当Gk(j)图在任何非零的有限频率内与负实轴不相交时，由
奈奎斯特稳定判据表明系统必然不包围(-1,j0)点，则增益稳定 裕度为无穷大。从理论上讲，这意味着在出现不稳定之前，开 环增益可达无穷大。
当Gk(s)在s右半平面有极点时，为了使闭环系统稳定， Gk(jw) 图必须逆时针包围(-1,j0)点，在这种条件下稳定系统产
F( j ) G( j ) 1 G( j )
R(s)
G(s)
C(s)
-
闭环系统的幅频特性和相频特性分别为
M () F( j) G( j) 1 G( j)
() F( j) G( j) 1 G( j)
设开环系统频率特性G(j)
的极坐标图如图所示
或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳 定裕度。常用相角裕度。
[幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值
增加Kg倍(奈氏图)或增加Lg分贝(波德图)，则系统处于临界状态。 若增加的倍数大于Kg倍(或Lg分贝)，则系统变为不稳定。幅值稳
定裕度是闭环系统达到不稳定前允许开环增益增加的分贝数。
如果选择一组值，可得一组对应的M()和()值，据此可画
出闭环系统的幅频特性和相频特性或极坐标图。但很麻烦。
5.6.2 等幅值轨迹(等M圆)和等相角轨迹(等N圆)
1．等幅值轨迹（等M圆）
将开环系统频率特性写成复数形式：GK(j)=P+jQ，带入F(j) F( j ) P jQ
1 P jQ
5.5 稳定裕度
前面我们用奈奎斯特曲线判断系统的绝对稳定性，即系统 是稳定还是不稳定。当然一个系统只有稳定才是有用的。
但除此之外还有两个问题需要考虑。首先，由于赖以分析 和设计的系统数学模型不可能十分精确，尽管对模型的分析结 果是稳定的，而实际系统却可能并不稳定；其次，一个稳定的 系统还必须有良好的过渡响应。
3．利用等M圆和等N圆求闭环系统频率特性
在绘有等M圆图的G(s)平面上，画出开环系统频率特性的极 坐标图GK(j)。GK(j)与等M圆的交点给出了一组交点频率和与 该组频率对应的闭环系统的幅值，据此可以画出以为横坐标， M()为纵坐标的闭环系统幅频特性曲线。
在绘有等N圆图的G(s)平面上，画出开环系统频率特性的极 坐标图GK(j)。 GK(j)与等N圆的交点给出了一组交点频率和与 该组频率对应的闭环系统的相角，据此可以画出以为横坐标， ()为纵坐标的闭环系统相频特性曲线。
M ( ) F( j) P jQ P2 Q2
1 P jQ (1 P)2 Q2
上式两边平方，整理可得
P2 (1 M 2 ) 2M 2P M 2 (1 M 2 )Q2 0
若M=1,上式变为: P 1 ,这是通过 ( 1 , j0) 点平行于虚轴的直线