北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元测试题(有答案)

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试题
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如果2x＝3y，那么下列比例式中正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（）
A．6B．7C．8D．9
3．自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形（即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系）的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．如图，在△ABC中，点P为AB上一点连接CP．若再添加一个条件使△APC与△ACB相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AP：AC＝AC：AB D．AP：AB＝PC：BC
5．如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的中点，则△ADE与△ABC的面积之比是（）
A．1：4B．1：3C．1：2D．2：1
6．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在
下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）
A．①处B．②处C．③处D．④处
7．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S 在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（）
A．40m B．60m C．120m D．180m
8．若△ABC∽△DEF且面积比为9：25，则△ABC与△DEF的周长之比为（）A．9：25B．3：25C．3：5D．2：5
9．如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是（）
A．横坐标和纵坐标都乘以2
B．横坐标和纵坐标都加2
C．横坐标和纵坐标都除以2
D．横坐标和纵坐标都减2
10．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）
A ．3倍
B ．6倍
C ．9倍
D ．12倍
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知，＝，则＝ ．
12．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，直线l 4、l 5被这组平行线所截，且直线l 4、l 5相交于点E ，已知AE ＝EF
＝1，FB ＝3，则＝ ．
13．如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，∠A ＝∠D ＝100°，∠G ＝65°，则∠F ＝ ．
14．如图，已知∠BAC ＝∠DAE ，请你再补充一个条件 ，使得△ABC ∽△ADE ．
15．如图，在平行四边形ABCD 中，P 是AD 边上的一个点，连接PB ，PC ，M ，N 分别是PB ，PC 的中点；已知S ▱ABCD ＝16，则S △PMN ＝ ．
16．如图是小孔成像原理的示意图，点O 与物体AB 的距离为45厘米，与像CD 的距离是30厘米，AB ∥CD ．若物体AB 的高度为27厘米，那么像CD 的高度是 厘米．
17．已知两个相似三角形的相似比为4：3，则这两个三角形的对应高的比为．
18．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A （﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．
三．解答题（共7小题，共66分）
19．已知4：x＝1：75%，求x的值．
20．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC交直线AC与点E．如果BD＝4，求AE的长．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩
形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．
22．（1）解方程x2﹣3x﹣18＝0；
（2）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．
23．如图，BD、AC相交于点P，连接AB、BC、CD、DA，∠1＝∠2
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
24．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如
果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
25．先阅读下列材料，然后解答问题．
材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的完美分割线．解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，
则∠CAD＝度．
（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠BAC 的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：∵2x＝3y，
∴＝或＝或＝．
故选：C．
2．解：∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
∴AE＝6，
∴AC＝AE+EC＝6+2＝8．
故选：C．
3．解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
4．解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；
B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；
C、当AP：AC＝AC：AB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；
D、当AP：AB＝PC：BC，∠A＝∠A，无法证明△APC∽△ACB，故该选项符合题意；
故选：D．
5．解：由题意可知：DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
故选：A．
6．解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2、4；
“车”、“炮”之间的距离为1，
“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，
∵＝＝，
∴马应该落在②的位置，
故选：B．
7．解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，
∴RQ∥TS，
∴△PQR∽△PST，
∴＝，即＝，
∴PQ＝120（m）．
故选：C．
8．解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为9：25，
∴它们的相似比为3：5，
∴△ABC与△DEF的周长比为3：5．
故选：C．
9．解：由直角平面坐标系得出A（2，1），A1（4，2），B（1，3），B1（2，6），故对应点的横坐标和纵坐标都乘以2．
故选：A．
10．解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝2：6＝1：3，所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．
所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵＝，
∴＝＝﹣5．
故答案是：﹣5．
12．解：∵l1∥l2，AE＝EF＝1，
∴＝＝1，
∴FG＝AC；
∵l 2∥l 3，
∴＝＝，
∴＝＝，
故答案为．
13．解：∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ， ∴∠A ＝∠D ＝∠E ＝∠H ＝100°，
∴∠F ＝360°﹣∠E ﹣∠H ﹣∠G ＝360°﹣
100°﹣100°﹣65°＝95°．
故答案为95°．
14．解：∵∠BAC ＝∠DAE ，
∠B ＝∠D ，
∴△ABC ∽△ADE ，
故答案为：∠B ＝∠D 等
15．解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴S △PBC ＝S ▱ABCD ＝×16＝8，
∵M ，N 分别是PB ，PC 的中点，
∴MN ∥BC ，MN ＝BC ，
∴△PMN ∽△PBC ，
∴＝（）2＝，
∴S △PMN ＝×8＝2．
故答案为2．
16．解：∵AB ∥CD
∴△ABO ∽△CDO
∴＝
又∵AB ＝27
∴CD ＝18．
故答案为：18．
17．解：因为两个相似三角形的相似比为4：3，所以则这两个三角形的对应高的比为4：3．
故答案为4：3．
18．解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．
故答案为（﹣5，﹣1）．
三．解答题
19．解：4：x＝1：75%，
x＝4×75%，
解得：x＝2．
20．解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AB＝10，AC＝8，BD＝4，
∴＝，
∴AE＝．
21．解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，
∴＝＝，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝4
∴＝＝，
∴DE ＝8，AE ＝2，
∴AD ＝AE +DE ＝2+8＝10．
22．解：（1）（x ﹣6）（x +3）＝0， ∴x ＝6或x ＝﹣3；
（2）∵∠1＝∠2，
∠DPA ＝∠CPB ，
∴△ADP ∽△BCP ；
23．解：
（1）证明：
∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB
∴△ADP ∽△BCP
（2）∵△ADP ∽△BCP ，
∴＝，
∵∠APB ＝∠DPC
∴△APB ∽△DPC
∴＝＝，
∴AP ＝6
24．（1）证明：∵∠EFG ＝∠DFG ， ∴∠EFB ＝∠DFC ，
又∵∠B ＝∠C ，
∴△BEF ∽△CDF ；
（2）解：∵△BEF ∽△CDF ，
∴＝，
设FC ＝xcm ，则＝， 解得：x ＝160，
答：CF 的长为160cm ．
25．解：（1）∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC
∴∠CAD＝∠B＝40°
故答案为：40
（2）若BD＝AD，
∵AD是△ABC的完美分割线，
∴△DAC∽△ABC
∴∠CAD＝∠B＝42°
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝42°
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝84°
若AB＝BD，
∴∠BAD＝69°＝∠BDA
∵∵AD是△ABC的完美分割线，
∴△DAC∽△ABC
∴∠CAD＝∠B＝42°
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝42°+69°＝111°若AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝42°
∵AD是△ABC的完美分割线，
∴△DAC∽△ABC
∴∠CAD＝∠B＝42°
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝42°+∠C≠42°
∴不存在AB＝AD，
综上所述：∠BAC的度数为84°或111°。