公式法解一元二次方程.2.2_一元二次方程的解法_公式法(40张ppt)课件

b c x x a a
2
.
（4）开平方…
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a ∵a≠0, 4a2>0,
b 2 4ac 0, 2 ∴当b2－4ac≥0时， 4a
b b2 4ac ∴ x . 2a 2a
解: a 4, b 3, c 2 b 2 4ac 9 32 23 0
方程没有实数根.
当 b2-4ac＜0 时，一元 二次方程没有实数根。
2 x1 x2 . 2
x
b
例4 解方程： x 21 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
为一般形式，然后利用公 式法求得方程的根.这是解 本节课我有哪些收获？ 一元二次方程的通法.
•解一元二次方程时应先化 课 记一记 问一问
我认为本节课的重点是什么？
•用公式法解一元二次方 程时,必须把方程化为一 我还有哪些疑点？ 般形式才能正确确定出 a、 b、c.在代入公式求解前, 要先计算b2- 4 a c的值.
A 、 m ﹥0 C 、 m ﹥ 0 且m≠1 B、 m≥0 D m ≥0且m≠1
解：由题意，得 m-1≠0① ⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0② 解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
(2) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
b 2 4ac 2a
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
方程没有实数解。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
又 x1 x2 ,
b b 2 4ac b b 2 4ac , 2a 2a b b 2 4ac b b 2 4ac 即 , 2a 2a
b 0, 此时ac 0,
当b 0, ac 0时, 原方程的两根互为相反数.
想一想
17 由4m 17 0, 得m . 4
17 当m 时, b 2 4ac 0, 4 则原方程有两个相等的实数解.
思考题 2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
解 : a 0,当b 2 4ac 0时, 方程的根为 : b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 ; 2a 2a
即 x1=2,
x2= -
当 b2-4ac=0 时，一 元二次方程有两个相等 的实数根。
随堂 练习
2
2.用公式法解下列方程：
(4)4x2-3x+2=0
1 (3) x 2 x 0 2 解: 1 a , b 2 , c 2 b 2 4ac 2 2 0
( 2 ) 0 2 0 x 2 2
2、求出 b 4ac 的值，
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时,方程无实数解;
当b 4ac 0时, 一元二次方程才有实数根.
2
b b2 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
x2 4、写出方程的解： x1、
动手试一试吧！
1、方程2 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
2 2
(2)x2-(m+1)x+m=0.
m 2 2m 1 4m 2 (m 1) ≥0
∴当m-1=0时，
当m-1≠0时，
方程有两个相等的实数根； 方程有两个不相等的实数根；
应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有 两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
2 2
把判别式配方
m 2 10m 25 8m 8 m 2m 17
2
(m 1)2 16 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
问题四：解含有字母系数的方程。
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为： 5 x 5 0
解方程： ax
例3 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x 解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 ，c=3 )2-4×1×3=0 = =
解：方程两边同乘以3, 得 2 x2 -3x-2=0
a=1，b=-2 b2-4ac=(-2 ∴x= x1 = x 2 =
a=2，b= -3，c= -2. ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. ∴x= = =
一元二次方程
ax bx c 0 (a 0).
2
的根由方程的系数a，b，c确定． 解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 当 b2 4ac 0 时，将a，b，c代入式子
b b 4ac x 2a
2
一元二次方程的 求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0
∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根 小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和 的形式
3、证明字母系数方程有实数根或无实数根
例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0 有两个不相等的实数根.
解： ∵ b 4ac ( m 5) 4 2 ( m 1)
用配方法解 ax2 bx c （ 0 a 0）.
2 0 a 0）. 对于方程 ax bx c （
2 ax bx c . （1）将常数项移到方程的左边，得
（2）方程两边同除以a，得 b 2 ( ) 2a ，得 （3）方程两边同时加上_______ b b 2 c b 2 2 x x( ) ( ) . a 2a a 2a 左边写成完全平方式，右边通分，得
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
应用1.
不解方程判断方程根的情况：
(1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：△=4 k2-16k+16 =4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
∴ △≥ 0方程有实根
(2) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数) 解：△=m2-4m+8 =m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4
∴ △ > 0方程有两个不等实根
含有字母系数时，将△配方后判断
1、不解方程，判断根的情况. (1)2x2-4x-5=0;
解： b2 4ac (4)2 4 2 (5) =56 >0 ∴方程有两个不相等的实数根； 解： b 4ac ( m 1) 4 1 m
(a≠0, b2-4ac≥0)
即
x1= - 3 ,
x2=
④
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
1.用公式法解下列方程： (1) x2 +2x =5
填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0
解 : x 2x 5 0
2
解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2 .
b2 4ac 0
又∵ b2 4ac (2)2 4 k 3 = 4-12k 1 ∴ 4-12k ≥0， 解得 k 3 1 且 k≠0 时， 方程有实数根. ∴ 当 k 3
问题三
求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程 9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根 证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3） =m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157 =（m-11）2+36 ∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0
思考题 1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
解 : a 1, b 2m 1, c m 2 4, b 2 4ac ( 2m 1) 2 4( m 2 4) 4m 2 4m 1 4m 2 16 4m 17
b b2 4ac x . 2a
特别提醒 推导时必须 写
b b2 4ac b b 2 4ac , x2 . ∴ x1 2a 2a
根的判别式 2 一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
解的情况由 b 4ac 决定:
2
方程有两个 (1) 当 b2 4ac 0 时， 不相等的实数根； 方程有两个 (2) 当 b2 4ac 0 时， 相等的实数根； 方程没有实数根. (3) 当 b2 4ac 0 时，
用公式法解一元二次方 求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2, b=5, c= -3, ① 程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ② ∴x= = = ③
下 可 要 多 交 流 呦！
课堂心得
总结提高
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的根的判别式,通常用△表示. 判别式定理 当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根 当b2-4ac＜0时,方程没有实数根 当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
总结提高
判别式逆定理 若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac＞0 若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0 若方程没有实数根,则b2-4ac＜0 若方程有两个 实数根,则b2-4ac≥0
即一元二次方程：ax 当 当 当
2
bx c 0 a 0
0 时，方程有两个不相等的实数根； 0 时，方程有两个相等的实数根； 0 时，方程没有实数根。 0；
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 .
a 1, b 2, c 5 b 4ac 4 20 24 0
2
x=
= .
=
.
2 24 x 1 6 2
即
x1 = -2 ,
x2 =
.
x1 1 6 , x2 1 6
例2 用公式法解方程： x2 – x =0
源自文库反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时，
当方程有两个相等的实数根，
当方程没有实数根，
0；
记住了， 别忘了!
0 。
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
（1） （2）
＞0 =0 ＜0 ≥0
两个不相等实根 两个相等实根 无实数根 两个实数根
（3）
（ 4）
要点、考点
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. (4)当Δ≥0时，方程有两个实数根 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求字母取值范围等问题.
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0
∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
对吗？ 注意二次
项系数
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围. 例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
2-2x+3=0有实数根. 一元二次方程 kx 解： ∵ k≠0， ∴
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2
. x+2= 0.
解: a 1, b 2 2 , c 2 b 2 4ac 8 8 0
(2 2 ) 0 2 2 0 x 2 2
x1 x2 2.