讲解多项式插值(包含例题)

第三章
多项式插值方法
教学目的及要求：
要求掌握基本的定理及各种插值方法。

插值方法是数学分析中很古老的一个分支.它有悠久的历史.等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544—610年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂(公元683—727年) 提出的.这比西欧学者相应结果早一千年.
插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数值近似计算,等等)均有应用.下面仅以近似计算函数值为例来说明
设已知某个函数关系()x f y =的列表函数值
n
n y y y y
x x x x
1
10
而()n i x x i ,1,0=≠问应该如何估值().x f y =对于函数关系()x f y =,我们所知道仅仅上述的表列值,它们常常是间接求得的.例如是由实验(观测)得来的,或者是从级数或微分方程求得的.
我们可以使用插值方法估计y. 插值方法的目的是寻求简单的连续函数()x ϕ,使它在n+1个点n x x x ,,,10 处取给定值()()),,1,0(n i x f y x i i i ===ϕ,而在别处希望它也能近似地代表函数()x f .因为()x ϕ已是有解析表达式的简单函数,所以它在x x =处的值可以按表达式精确地计算出来.这样我们就可以将()x ϕ看成
().x f y =的近似值了
给定点n x x x ,,,10 为插值结点.称函数()x ϕ为函数()x f 的关于n x x x ,,,10 的插值函数.称()x f y =为被插函数.
严格的说,插值方法一词只用于x 落在给定点n x x x ,,,10 之间的情形,所以也称它为内插法.如果x 落在给定点n x x x ,,,10 之外,并且仍以插值函数()x ϕ在x 处近似地代替().x f ,则一般称这种近似计算函数的方法为外插法.
本章我只研究多项式插值，亦即()x ϕ是x 的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数()x f 容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题.
本章讲不涉及三角插值法.其实,只要理解了代数多项式插值方法的实质读者就不难自行导出关于三角多项式插值方法的一系列相应与代数多项式插值方法的理论结果
§1. Lagrange 插值公式
设()x f y =是实变量x 得单值函数，且已知()x f 在给定的n+1个互异点
n x x x ,,,10 处的值n y y y ,,,10 ,即
().,,0,n i x f y i i ==
插值的基本问题是,寻求多项式()x p ,使得 ()()1.1.
,0,n i y x p i i ==
设()x p 是一个m 次多项式
()0,
2210≠++++=m m m a x a x a x a a x p
则插值问题是，如何确定()x p 中的系数m a a a ,,,10 ,使得(1.1)式得以满足.所以该问题等价于求解下述的线性方程组:
()2.1,
,,22101121211000202010⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++++=++++=++++n m n m n n m
m m
m y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a
上述的线性方程组的系数矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣⎡=m n m m n
n
x x x x x x x x x A
102211
2
00
111 它是一个(n+1)×（m+1）矩阵.
当m>n 时，A 的列数大于行数.不难证明矩阵A 的秩数为n+1.因为A 的前n+1列所组成的行列式为(称为Vandermonde 行列式)
()m
n
m
m n n n n x x x x x x x x x d e f x x x W
102211
2001011
1
,.,-
我们有
()()
()3.1,.,10∏>--=i
j i j n n x x x x x W
为证(1.3),考虑n 次多项式
()n
n
n
n n n n n n x
x x
x x x x x x x x x x x x W
21
2111211
0200
101111,.,----= 显然110,,,-n x x x 均为它的零点,且它的n x 系数恰为()10.,-n x x W 即 ()()()()101010.,,.,-----=n n n x x x x x x W x x x W 从而有下述递推关系式
()()()()101010.,,.,-----=n n n n n n x x W x x x x x x x W
运用它即可证明(1.3)式
根据(1.3),并注意到诸n x x x ,,,10 互异，从而线性方程组(1.2)的系数矩阵的秩数为n+1 .它表明(1.2)的解是不唯一的，即插值问题(1.1)的解不唯一。

当m<n 时,矩阵A 的行数大于列数.按照(1.3)式,线性方程组(1.2)的每m+1个方程组成的方程组均有唯一一组解m a a a ,,,10 .但一般说来，如此求出的各组
m a a a ,,,10 未必相同. 即此时(1.2)可能是矛盾方程组.
鉴于以上情形，看来取m=n 是最为适宜的.现在我们重提多项式插值问题: 给定n+1个互异点n x x x ,,,10 ,对任意一组数n y y y ,,,10 ，是否存在唯一的
()()x P x p ∈，使得如下插值条件被满足
()()4.1.
,0,n i y x p i i ==
该问题的答案是肯定的 .今采用构造性方法把所要求的多项式()x p 求出来。

试设想,如果可求出具有如下性质的特殊的插值多项式()().,0n i P x l n i =∈
()()5.1,1,,0,,0⎩⎨
⎧==≠=i
j n j i j x l i
则多项式
()()
)6.1(0
∑==n
i i i x l y x p
必为满足(1.4)的多项式.但(1.5)中上面的等式,指出n x x ,,0 中除i x 外,均为()x l i 的零点,因此()()()()()n i i i x x x x x x x x c x l ----=+- 110 其中c 为常数，但(1.5)中下面的等式指出
()()()()
.1
110n i i i i i i x x x x x x x x c ----=
+-
所以
()()()()()()()()()
.
110110n i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=
+-+-
记()()()n x x x x x w --= 0，则()x l i 又可表示为更简洁的形式
()()()()
x w x x x w x l i i '-=
总之n 次多项式 ()()()()
)7.1(0∑='-=n
i i i
x w x x x w y x p
满足插值条件（1.4）
若()n P x q ∈也满足插值条件（1.4）,则()()()n P x p x q x ∈-=η必以n x x ,,0 为零点,即()n i x i ,0,0==η.这样一来,n 次多项式()x η竟然有n+1个不同的零点.是故()().x p x q ≡所以由(1.7)表示的n 次多项式（严格地说，是次数不超过n 的多项式）是n P 中满足插值条件的唯一多项式.它常常称作为Lagrange 插值多项式,并记为
()()()()
∑='-=n
i i i
n x w x x x w y x L 0
按前述推理可知Lagrange 插值多项式()x L n 也可视为是从下面的行列式方程中解出来的:
()()9.10
1
1112121110
20002=n n
n n
n
n n n
n x x x y x x x y x x x y x x x x L
(请读者自行补证).由(1.9)式表示的公式便于推广到一般形式的插值问题由于篇幅所限,此处不能祥述.
由(1.1)所示的条件称为插值条件,点组n x x x ,,,10 称为插值结点.上面所得到
的结果可以从几何上解释为,有且仅有一条n 次代数曲线，通过平面上事先给定的n+1个点(),,1,0,,n i y x i i =.其中()j i x x j
i ≠≠
Lagrange 插值公式（1.8）具有结构清晰、紧凑的特点，因而适合于作理论分析和应用.
例1 已知()()()12,11,21===-f f f 。

求()x f 的Lagrange 插值多项式 解 依公式有()2,1,1210==-=x x x
()()()()()()()()()()()()()()()()()().
13
1,221
,
23612
1202102221012012
2010210-=----=---=----=
+-=----=
x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l 从而
()()()[]()
.836
1
122323261)(22222+-=-+---+-=
x x x x x x x x p 例2 设()x e x f =则
()()06389.72,28718.21,87367.0)1(===-f f f
依Lagrange 插值公式，有
()88377.020175.119165.122++=≈x x x p e x
§2. Newton 插值公式
Lagrange 插值公式的缺点是，当插值结点的个数有所变动时（例如，为了提高精度,有时需增加插值节点的个数）Lagrange 因子()()n i x l i ,,1,0 =就要虽之发生变化,从而整个公式的结构也要发生变化,这在计算实践中是不方便的.为了克服它的上述缺点,在这一节中我们引进了Newton 形的插值公式
显然,n+1个结点n x x x ,,,10 上的n 次Lagrange 插值多项式也可以写成下列形式：
()()()()()110010----++-+=n n n x x x x x x a x x a a x p
下面，来确定上式中的.,,10n a a a
令()x p n 1-表示n 个结点110,,,-n x x x 上的（n-1）次Lagrange 插值多项式，由于
()()()1,0,
1-===-n i y x p x p i i n i n ,
所以
()()()()()1101-----=-n n n x x x x x x c x p x p
此处c 为常数，由条件()n n y x p =可以定出 ()()()()
1101------=
n n n n n n n x x x x x x x p y c
又因 ()()∑-=-=10
1n i n i i n n x l y x p 故又有
()()()
()()()()
()1
00110110-=≠=+--∑∑
⎪⎭
⎪⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧∏-=----+---=
n
i n i l l l i i n i i i i i i i
n n n n n
x x y x x x x x x x x y x x x x x x y c
引进记号
()()1
0010,,,-=≠=∑⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∏-==n
i n i l l l i i n x x y c x x x f
得()x p n 与()x p n 1-之间的关系
()()()()()()110101,,,-----+=n n n n x x x x x x x x x f x p x p 同理
()()()()()()21011021,,,-------+=n n n n x x x x x x x x x f x p x p 继续下去，最终得到
()()()()()()()()
()
2.2,,,,110100100----++-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x f x f x p 公式（2.2）就是Newton 型插值公式.系数()()()n x x x f x x f x f ,,,,,,,10100 由（2.1）式确()1定.
Newton 插值公式的导数很不好记,因此有必要另寻方法确定它们.为此我们引进差商的概念,并指出Newton 插值公式中各导数()()n i x x x f i ,,1,,,10 =即是
)(x f 的i 阶差商.设已知不同的自变量n x x x ,,,10 上的函数值()()n i x f i ,,1 =称
()()()()j i x x x f x f x x f j
i j i j i ≠--=
,
为)(x f 的一阶差商(或均差). 一阶差商的一阶差商 ()()()
()k i x x x x f x x f x x x f k
i k j j i k j i ≠--=
,,,,
叫做)(x f 的二阶差商.一般说来我们称(n-1)阶差商的一阶差商 ()()()
0211101,,,,,,,,,x x x x x f x x x f x x x f n n n n n n n --=----
为函数)(x f 的n 阶差商
差商有以下诸性质
1．若()()x cf x F =，c 为常数，则
()()0101,,,,,,x x x cf x x x F n n n n --= 2．若()()()x g x f x F +=，则
()()()010101,,,,,,,,,x x x g x x x f x x x F n n n n n n ---+=
3．若()m x x f =，m 为自然数,则
()⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=-.,,
1,,
0,,,01m n n m x m n m n x x x f i n n 次的齐次函数，的诸 4．差商()01,,,x x x f n n -是n x x x ,,,10 的对称函数,亦即当任意调换
n x x x ,,,10 的位臵时,差商的值不变,例如
()()()100110,,,,,,,,--==n n n n n x x x f x x x f x x x f 5. 差商可以表示成两行列式之商:
注()1规定，当n=0时，()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∏-≠=n i l l l i x x 0=1
=),...,(10n x x x f )(...
)()
(...............
...
1 (11101111010)
n n n n n n x f x f x f x x x x x x ---:n n
n
n
n n n n n
x x x x x x x x x ...
............
......1 (1110)
1
1110
1
0---.
性质1和性质2由定义可以直接推出。

现在我们证明性质3。

m x 的一阶差商可根据定义直接计算出来：
....),(1
0021110
10101---+++=--=m m m m
m x x x x x x x x x x f
如所见，它是01,x x 的1-m 次齐次函数。

相继作出各阶差商并依完全归纳法，可证实下列公式：
,...),...,(101001n
r n r r n n x x x x x x f ∑=-
....01n m r r r n n -=+++-
此处求和运算遍及所有可能的形如0
10
1...r r n r n x x x n n --的01,...,x x x n n -的n m -次齐次项。

这样便证明了性质3。

再来证明性质4。

作出相继的各阶各差商之后，读者不难看出它们是由形如
∏≠=-n
i
l l l i
i x x
x f 0
)()
(的)1(+n 个项的和表示出来的。

由完全归纳法，易求得
),...,(10n x x x f 可由（2.1）式的右端表出。

使用前面的记号
),)...(()()(10n x x x x x x x --⋅-=ω也可将它写成
.)
(')
()...,(0,10∑==n
i i i n x x f x x x f ω
如此便证明了性质4。

最后，用完全归纳法同样可以证明性质5。

为了作数值计算，常利用形式如下的差商表：
由性质
4
得知
Newton
插值公式(2.2)中的系数
),,,(,),,(),
(10100n x x x f x x f x f ⋅⋅⋅⋅⋅⋅恰标出）。

因此，当已知),,1,0)((n i x f y i i ==时利用差商表可以很容易地算出)(x f 的各阶差商的值，而不必去记忆公式)1.2(。

因为在)1(+n 个不同的点n x x x ,,,10 上取给定值的次数不超过ｎ的多项式是唯一的，所以次数相同的Newton 插值多项式与Lagrange 插值多项式是恒等的，它们的差异仅是书写形式不同而已。

但是，这种差异却为计算实践带来了很大的方便。

实际上，对于Newton 插值公式来说，当需要增加一个插值结点时，只需在原插值多项式的后面再添加一个新项就可以了。

例１ 已知列表函数：
求这个函数的插值多项式。

解 先造好下列的差商表：
然后从上表顶部对角线上取得的值),,,(),,,(),,(),(3210210100x x x x f x x x f x x f x f 代入公式)2.2(，便可得到要求的多项式：
).5)(3)(2(4
1
)3)(2(67)2(35)(3------+
--=x x x x x x x p §３．插值余项
设)(x p n 是在点n x x x ,,,10 处关于)(x f 的插值多项式。

我们希望知道
),,1,0(n k x x k =≠时，)(x f 与)(x p n 的偏差，意指此方法所固有的误差，而忽略在计算)(x p n 时造成的舍入误差。

通常，舍入误差与在逼近中的固有误差相比是小的。

按习惯，称
)()();(x p x f x f E n -=
为插值误差（插值余项）。

下面定理给出了);(x f E 的表达式。

定理1 若)(x f 于包含着插值结点n x x x ,,,10 的区间],[b a 上1+n 次可微，则对任意],[b a x ∈，有与x 有关的ξ存在（a<ξ<b ）,使得
),()!
1()()()();()
1(ξω++=-=n n f n x x p x f x f E
（3.1）
其中)())(()(10n x x x x x x x ---= ω。

证明 今取一点],[b a x ∈，显然当n x x x x ,,,10 =时，(3.1)式是自然满足的。

以下设x 不是插值结点n x x x ,,,10 ，作辅助函数 ))()(()
()
()()()(x p x f x z z p z f z F n n --
-=ωω。

（3.2） 显然)(z F 于],[b a 上1+n 次可微，并且),,1,0(0)(,0)(n j x F x F j ===。

因为n x x x x ,,,,10 各不相同，
由Rolle 引理知)('z F 于),(b a 内至少有1+n 个不同的根。

依此类推，最后知)()1(z F n +于),(b a 内至少有一个根ξ，亦即由(3.2)式应有
0))()(()
()!
1()()()1()1(=-+-
=++x p x f x n f F n n n ωξξ。

由此，便得到了公式(3.1)。

证毕。

通常我们并不知道(3.1)式中的ξ（一旦知道了ξ，就知道了精确的误差），尽管如此，我们还是能从(3.1)式得到有用的信息。

例如，若],[)()1(b a x f n 在+上有上界
1+n M ，亦即
)()1(1s up x f M n b
x a n +≤≤+= ，
则由(3.1)式立刻得到
b x a x x x x x x n M x f E n n ≤≤---+≤
+,)())(()!
1();(101。

(3.3)
设已知),,1,0)((m j x f y j i ==，并且1+>>n m 。

如所知，为了构造一个
n 次插值多项式，只需要1+n 个插值结点。

因此自然提出这样的问题：在所有的
已知点),,1,0)(,(m j x x j i =的横坐标),(,,,10j x x x x x x j i m ≠≠ 中，如何选取插值结点n x x x ,,,10 使得
.m i n x -x )(n 10=--= x x x x x ω
(3.4)
为此，只须从m x x x ,,,10 中选择使差
),,1,0(m j x x j =-
取最小值的j x 作为第一个插值结点0x 。

然后，在剩下的m 个点中再选择使得
j x x -为最小的点作为第二个插值结点1x 。

如此等等，直到选出n x 为止。

显然，
这样选取的n x x x ,,,10 满足(3.4)的要求。

关于在整个插值区间上的余项极小化问题，与第二章中Tchebyshev 最小零偏差多项式直接相关。

事实上，由(3.3)式，为使插至余项在整个区间上尽可能地小的“最佳”插值结点组，应该取为该区间上最小零偏差多项式的零点。

以下给出插值余项的Peano 估计。

它是意大利数学家G .Peano 在1913年给出的。

令],[b a 是有限区间，1≥m 是整数。

若)(,),(),()()1(x f x f x f m 在],[b a 上连续，而],[)()(b a x f m 在上分段连续且m m M x f ≤)()(，则说函数)(x f 属于函数类
),;(b a M W m m .
例1 令]1,1[],[,)(-==b a x x f 。

容易验证)1,1;1()(1-∈W x f 。

例2 令]1,1[],[-=b a 及
⎩⎨⎧≤-≥=,
03,
03)(2
2
x x
x x x f 则
⎩⎨⎧≤-≥=,06,
06)()1(x x x x x f
⎩⎨⎧<->=.06,
06)()2(x x x f
因此，)1,1;6()(1-∈W x f ，同时).1,1;6()(2-∈W x f
令t x 和是实数，0≥k 是整数。

二个变量t x 和的函数k t x +-)(定义如下
⎩⎨⎧<≥-=-+
.,
0,,)()(t x t x t x t x k k
若t 为固定常数，则x t x k 就是+-)(的截断多项式。

对于,2,1,0=k 截断多项式的图形如下 (图3.1)：
当x 固定时，k t x +-)(是t 的函数，请读者绘出它的图形(2,1,0=k ).
我们用],[b a 来记包含着点n x x x ,,,10 α，的最小区间。

);(a f E 仍表插值误差，亦即,)()();(a p a f a f E n -≡其中)()(x f x p n 为函数在结点n x x x ,,,10 上的n 次插值多项式。

定理2 设m 是正整数(11+≤≤n m ),则当)(x f 属于),;(b a M W m m 时，存在一个仅依赖于n x x x a m ,,,,10 ，的函数)(t K m ：
),))(()(()!1(1)
;)(()!
1(1)(0
1
11
∑=-+-+-+----=--=
n
k m k k m m m t x a l t a m a t x E m t K
(3.6) 使得
.)()();()(dt t f t K a f E m b
a m ⎰=
(3.7)
证明 依假设条件，可以将)(x f 展成Taylor 级数： )()()(1x R x Q x f m m +=- 其中
),
()!
1()()(')()()()
1(11a f m a x a f a x a f x Q m m m -----++-+=
.)()()!
1(1)()(1dt t f t x m x R m b a m m ⎰-+--= 显然，
).;();();();(11a R E a Q E a R Q E a f E m m m m +=+=--
由于当)(x f 是次数n ≤的多项式时插值是精确的，所以0);(1=-a Q E m ，因此 ).;();(a R E a f E m = （3.8）
现在，我们写出);(a R E m ：
.)()()()!1(1)()()!
1(1);()(1
)
(1dt t f t x a l m dt t f t a m a R E m m b
a k n
k k m b a m m -+
=-+⎰∑⎰---
--=
把上式中的积分合并，并依公式（3.6）和（3.8），即得（3.7）。

证毕。

定理2也称为关于插值公式的核定理。

函数)(t K m 称为Peano 核。

显然，)(t K m 只依赖于n x x x a m ,,,,,10 ，而不依赖于)(x f 。

利用方程（3.7），可以估计插值误差的界。

例如，有下面的定理。

定理3 设m 是一正整数（11+≤≤n m ），),,;()(b a M W x f m m ∈则 m
m M e a f E ≤);(,
(3.9) 其中
⎰=b
a m m dt t K e )(
（3.10）
证明 由于),,;()(b a M W x f m m ∈所以
.
)()
()()()()()();(m m m b
a
m m b a m b
a
m m e M dt M t K dt t f t K dt
t f
t K a f E =≤≤=
⎰⎰⎰
证毕。

自然会问，估计式（3.9）中的常数m e 能不能用较小的常数代替？结论由下面的定理给出。

定理4 设m 是一正整数m e n m ),11(+≤≤由公式（3.10）给出，则有函数
),,;()(0b a M W x f m m ∈使得
.);(0m m M e a f E = 证明 令 ⎩⎨⎧<-≥=时，
当时，当0)(,0)(,)()
(0x K M x K M x f m m m m m
（3.11） 于是，通过对m x f m 的)()(0
次不定积分运算，即可求出)(0x f （自然它含有m 个任
意的积分常数）。

依（3.11）式， ,)()()()()()
(0
)
(0t K M t f t K t f t K m m m m m m ==
从而
.
)()()();()
(0
0m m b a
m m b
a
m m M e dt t K M dt
t f t K a f E ===
⎰⎰
证毕。

由（3.3）所给出的估计式 )())(()!
1();(101
n n x a x a x a n M a f E ---+≤
+
与估计式（3.9）是一致的（取1+=n m ）。

定理5 由（3.3）式与（3.9）式给出的插值误差的界是恒等的，换言之 .)())(()!
1(1
)(101n b
a
n x a x a x a n dt t K ---+=
⎰
+ （3.12）
这个定理的证明基于以下三个引理。

引理1 当11+<≤n m 时，核函数],[)(b a t K m 在上至少改变一次符号。

证明 考虑多项式!)(m x x Q m m =。

若1+<n m ，则0);(=a Q E m 。

但是， ⎰⎰==b
a
m m m
b
a m m dt t K dt t Q t K a Q E ,)()()();()
(
从而
.0)(=⎰
dt t K b
a
m
并因此)(t K m 至少在],[b a 上改变一次符号。

证毕。

引理2 如果],[)(1b a t K m 在-上改变k 次符号，则],[)(b a t K m 在上至少改变
1-k 次符号。

证明 依（3.6）式，
).1,,2(0)()(+===n m b K a K m m
另一方面，不难看出)()(1t K t K m m -是的不定积分（取负号）。

由此推出，若
)
(,,,)(21211b t t t a t t t t K k k m <<<<<- 在处改变符号，则
)1,,2,1](,[)(1-=+k i t t t K i i m 在上最多改变一次符号。

引理3 当时，11+≤≤n m ],[)(b a t K m 在上恰好改变1+-m n 次符号（从而，],[)(1b a t K n 在+上不变号）。

证明 我们知道，)(t K m 是1-m 阶分段多项式，特别，)(1t K 分别是常数。

a x x x t K n ,,,,)(101 在点处有跳跃。

因为这些点中有两个是],[
b a 的两端点，所以)(1t K 的符号在],[b a 上最多改变n 次。

如果)(1t K 的变号次数小于n ，或者如果对于任何)(,1t K n m m -≤的变号次数小于1+-m n ，则依引理2，)(t K n 不变号。

但是，依引理1这是不可能的，于是)(t K m 恰好改变符号1+-m n 次。

定理5的证明 考虑函数)!.1)(11+=++n x x Q n n 由于,1)()
1(1=++x Q n n 所以
.)())(()!
1(1
);(101n n x a x a x a n a Q E ---+=+
但是，依（3.7）式又有
.)();(11dt t K a Q E b
a
n n ⎰
++=
由于)(1t K n +不变号，故
⎰⎰
++=b
a
n b
a
n dt t K dt t K .)()(11
综合之，即得（3.12）式。

证毕。

§4. 有限差分计算
这一节介绍有限差分的概念。

设已知函数)(x f 在一串等距结点
),,,1,0(0 n j jh x =+上的值.),(,),(),(000 nh x f h x f x f ++定义表达式
).())1(()(000jh x f h j x f jh x f +-++=+∆
为)(x f 在点jh x +0处的一阶有限差分，或简称一阶差分。

一阶差分的一阶差分叫二阶差分，记为
).())1(()(0002jh x f h j x f jh x f +∆-++∆=+∆ 一般说来，n 阶差分定义为1-n 阶差分的一阶差分： ).())1(()(01010jh x f h j x f jh x f n n n +∆-++∆=+∆-- 例如
),()()(),()()(),()()(02
02
03
0002000x f h x f x f x f h x f x f x f h x f x f ∆-+∆=∆∆-+∆=∆-+=∆
按定义可知符号∆满足指数律： ),()(00x f x f q p q p +∆=∆∆ 其中q p ,是正整数。

有限差分的理论是微分学的原始形式。

在历史上，微分学正是由有限积分的理论产生的，所以差分与微分有着极其相似的性质。

兹列举如下：
1．常数的差分等于零，亦即若c x f ≡)(，则
.0)()()(=-=-+=∆c c x f h x f x f
2．常数因子可以提到差分号外，亦即若k 为常数，则有 ).())()(()()()(x f k x f h x f k x kf h x kf x kf ∆=-+=-+=∆ 3．如果当),,1,0(0n j jh x x =+=时，
,)()(1∑==k
i i i x c x f ϕ
其中i c 是一些常数，用归纳法可以证明 .)()(100∑=∆=∆k
i i n i n
x c x f ϕ
4．如果当),()()(),,1,0(0x x x f n j jh x x ψϕ==+=时， 则
).()()(0000vh x x v n x f v
n v n
v n
+∆∆⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∆-=∑ψϕ 用归纳法可以证明上述结论。

5． 设n x p n 为一)(次多项式（最高次项的系数为n a ），则
时，n k <k x x p n 的处在 )(0阶差分为k -n 0的x 次多项式；当n k =时，是常数，
即n k n h a x p n n n n <=∆当;!)(时为零。

不失一般性，读者可以仅就n n x x p =)(的情形，用归纳法证明这一结论。

6．设已知),,1,0)((0n j jh x f =+的值，用逐次代入法容易证明，计算差分有以下公式：
).)(()1()
()()(),()(2)2()
()()(),()()(01010100000002000h i n x f i n x f h x f x f x f h x f h x f x f h x f x f x f h x f x f n
i i n n n -+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∆-+∆=∆++-+=∆-+∆=∆-+=∆∑=--
（4.1）按相似的方法，对(4.1)型方程用逐次消元法，得到
).()(000x f i n nh x f i
n
i ∆⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+∑=
（4.2）
实际计算差分时，常用如下表格（差分表）：
下面的定理揭示了函数的差商，差分和到数之间的关系。

定理6 设函数)(x f y =在包含结点k j j j x x x ++,,,1 的区间),(b a 上为k 次可微函数，则
)
5.4().
()4.4(,
!)(),,,()
3.4(,
!),,,()()(11ξξk k i k k k j j j k i k k j j j f h y k f x x x f h k y x x x f =∆=∆=++++ 此处
).,,,max(),,,min(11k j j j k j j j x x x x x x ++++<< ξ
证明 首先，用归纳法容易证明（4.3）式。

现在证明（4.4）式。

令)(x p k 表示)(x f 在结点k j j j x x x ++,,,1 上的k 次插值多项式。

因为插值余项
)()()(x p x f x R k -=于k j j j x x x ++ ,,1处为零，类似于定理1的证明知有某
)),,,,max(),,,(min(11k j j j k j j j x x x x x x ++++<< ξξ使得
.0)()()()
()()(=-=ξξξk k k k p f R
另一方面，由Newton 插值公式知道
).,,,(!)(1)
(k j j j k k
x x x f k p ++= ξ
联合以上两式可得（4.4）式。

最后，由(4.3)与(4.4)式即可导出(4.5)式。

证毕。

熟知，k 次多项式的1+k 阶导数等于零，因此它的1+k 阶差分也等于零。

这个性质使得我们可以借助于差分表的性质来确定所需的插值多项式的次数。

例如，当发现函数的第k 阶差分为常数或近似为常数时，则用k 次多项式去作插值多项式就会有较好的结果。

上面介绍的差分叫向前差分。

鉴于计算实践的需要，我们再介绍向后差分和中心差分的概念。

设),,1,0)((0n j jh x f y i =-=为已知，则分别定义
)
()()(),()()(),()()(010*********h x f x f x f h x f x f x f h x f x f x f n n n -∇-∇=∇-∇-∇=∇--=∇--
为)(x f 在0x x =处的向后1阶，2阶，n , 阶差分。

由向后差分定义，容易验证
).
,,,(!)(),
,,(2),(),()
()()(),,()()()(12122111211n k k k n k n k k k k k k k k k k k k k k k x x x f h n x f x x x f h x x hf x x hf x f x f x f x x hf x f x f x f ----------=∇=-=∇-∇=∇=-=∇ 在实际计算向后差分时，我们常采用向后差分表：
由方程)2
()2()(000x f x f x f --+=δ定义的差分叫作一阶中心差分。

类似地，
称
)2
()2()(01010h
x f h x f x f n n n --+=--δδδ
为n 阶中心差分。

容易验证)),2((02
1余类推h
x f f +=
).
,,,,()!2(),
,,,,()!12(),,,,,,()!12(),,,(2)),(),(()
()(,
,),
,(221122
11211221122102
102101122
112
1
11210102
110012
1m k k m k m k m m k k m k m k m m k m k k m k m k m x x x f m h f x x x f m h f
x x x x f m h f x x x f h x x f x x f h f f f f f
f
f x x hf f f f x x hf f f f +-+--+-++++-+++-
+
--=+=+==-=---=-==-==-= δδδδδδ）（δδ
可以利用下表计算中心差分
三种差分间有下列关系：
.
)3(,)2(,)1(1221122020k k k k k k k k k f f f f f f -++--∆=∆=∆=∇δδ
今定义位移算子E 为
),()(h x f x Ef += 其中h 为步长。

单位算子（恒等算子）I 定义为
),()(x f x If =
即000,和δ∇∆=I 。

诸多算子间有以下关系式成立：
.
,)(,,212111----=∇-=-=∇∆+=-=∆E E I E E I I E I E δ即，即 鉴于对足够光滑的)(x f ，有
).
()()(!1)(!21)(1)
()(2x f e
x f dx d h n dx d h dx d h h x f x Ef dx
d
h n =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+++++=+=
所以
).ln(ln .
,∆+===I E hD dx
d def
D e
E hD 由此不难看出，)ln(∆+I 的任一近似计算公式都可派生出一个相应的数值微分公式（至于误差则要作具体分析）。

这表明对数函数和指数函数的近似计算问题具
有十分重要的意义。

因为由此我们可以“发现”新的数值微分和数值积分公式。

应该指出的是，这里介绍的观点可以用来“发现”一些新的数值微分与数值积分公式，但不能作为严格的手段来运用。

事实上，人们在“发现”了新的公式之后，还应该用严密的推理来论证它们。

只有这样，才是周全的。

§5. 等距结点上的插值公式
对于给定的等距结点的数据，我们可以灵活运用插值余项极小化原则，给出适应具体要求的插值公式。

一般说来，在左端点0x x =附近进行插值，宜用Newton 向前插值公式；在右端点n x x =附近插值，宜用Newton 向后插值公式。

如果在插值区间中间进行插值，宜用带中心差分的插值公式。

下面分别予以简要介绍。

5.1 Newton 向前插值公式
设已知),,1,0)((0N i ih x f y i =+=，需求于
)2
1
0(0≤≤+=t th x x
处)(x f 的近似值。

按余项极小化原则，插直结点应取).(,,,10N n x x x n ≤ 注意差商与差分的关系，由Newton 插值公式，得到
),
;(!
)1()1(!
2)1(!1)(002
00x f E y n n t t t y t t y t y x f n +∆+--++∆-+∆+=
其中
，ξ)()!
1()()1();()
1(1
+++--=n n f n n t t t h x f E
.00nh x x +<<ξ 通常称该公式为Newton 向前插值公式。

5.2 Newton 向后插值公式
设th x x n +=，由插值公式（2.2），可得Newton 向后插值公式：
),
;(!
)1()1(!
2)1(!1)()(2
x f E y n n t t t y t t y t y th x f x f n n
n
n n n +∇-++++∇++∇+=+=
此处 ，
ξ)()!
1()()1();()
1(1+++++=n n f n n t t t h x f E 其中ξ在诸x x i 与之间。

该公式适用于计算函数在最后一个结点附近的近似值（内插或外推）。

5.3 Gauss 插值公式
现在我们引进带中心差分的插值公式。

在插值公式（2.2）中，用结点列 ,2,2,,,020201010h x x h x x h x x h x x x -=+=-=+=-- 替代结点列 ,2,,000h x h x x ++得到
.!4))()()((!3)
)()((!2)
)((!1)()(4
421103
21
31102
2102100 +----+---+--+-+=---h
f x x x x x x x x h
f x x x x x x h f x x x x h f x x f x f δδδδ
若设)12(2,0+=+=m m n th x x 或，则有
22222204
22
1
3
2022100)!
2())()1(()2)(1(4
)2)(1(!3)1(!2)1()
()(f m m t m t t t t f t t t f t t f t t f t f th x f x f m δδδδδ-----++--+-+-++=+=
（5.1）
).;()!12()()2)(1(2
11
222222x f E f m m t t t t m ++---++）δ（或
在（5.1）式中，当m n 2=时，取至偶数阶差分12;2+=m n m 当δ时，取至基数阶差分.12+m δ
插值余项为：当m n 2=时， );()!
12()()1();()
12(2221
2ξ+++--=m m f m m t t t h x f E
(5.2)
当12+=m n 时，
).()!
12()()1();()
12(2222
2ξ+++--m m f m m t t t h
x f E
通常，称上述公式为Gauss 向前公式。

在公式(2.2)中，若用结点列 ,2,2,,,020201010h x x h x x h x x h x x x +=-=+=-=-- 替代结点列 ,,,210x x x 时，得到的是Gauss 向后公式：
22222042213202
2
100)!
2())()1(()1(!4)2)(1(!3)1(!
2)1()()(f m m t m t t t f t t t f t t f t t f t f th x f x f m
δδδδδ+---+++-+-+++
+=+=--
(5.3)
).;())!12()()1((2
11
2222x f E f m m t t t m ++--+-+δ或
在公式(5.3)(5.1)中，“或”的意义相同。

);(x f E 是余项，并且当m n 2=时，它由(5.2)给出，而当12+=m n 时，
).()!
22()1)(()1();()
22(2222
2ξ+++++--=m m f m m t m t t t h
x f E
§6. Hermite 插值公式
为了理论和应用上的需要，本节讨论一类具有重结点的多项式插值方法，即Hermite 插值方法。

因为此类插值问题要求在结点处满足相应的导数条条件，所
以它也被称为切触插值问题。

设
,21s x x x <<< (6.1)
),,1;1,,0()
(s k a h y k h k =-=为事先指定的实数，其中s a a ,,1 为正整数： ).,,1(1,121s k a n a a a k s =≥+=+++ (6.2)
今构造一个n 次多项式,)(n P x p ∈使之满足插值条件：
).
,,1;1,,0()()
()(s k a h y x p k h k
k h =-==
(6.3)
为解决插值问题(6.3)，最直接的方法是采用代定系数法，或者求解由(6.3)所确定的线性方程组。

此处我们采用构造基本多项式的办法来解决Hermite 插值问题(6.3)。

构造一批n 次多项式
),1,,0;,,1)((-==i ik a k s i x L 使之满足
)
1,,0;(0)()
(-=≠=m m h ik a h i m x L
(6.4) 和
⎩⎨⎧=≠=k
h k h x L i h ik
当当,1,0)()
(
)1,,0(-=i a h
(6.5)
显然，只要上述问题一解决，则n 次多项式
)
()(11
)
(x L y x p ih s i a h h i i ∑∑=-==
(6.6)
就必满足插值条件(6.3)。

以下集中来构造).(x L ik 由(6.4)和(6.5)，可知
),
()()()()()()(1
11111x l x x x x x x x x x x x L ik a s a i k i a i a ik s
i i --⋅-⋅--=+-+-
其中1--∈k a ik i P l 是某1--k a i 次多项式。

若令
,)()()(11s a s a x x x x x --= ω
则上式可缩写为
).()
()
()(x l x x x x L ik
k a i ik i --=
ω
(6.7)
为确定)(x l ik 还需利用条件(6.5)和Taylor 展开可得
).)(1(!
)()( +-+-=
-k a i k
i ik i x x k x x x L σ (6.8)
比较(6.7)与(6.8)，有
.)(')
()(!1)( +-+-=-k a i a i ik i i
x x x x x k x l σω
其中'σσ和为确定的常数，,)(1--∈k a ik i P x l 所以它必定是函数)()(!1x x x k i
a i ω-于i
x x =处Taylor 展开的前k a i -项和。

若把这k a i -项和记为
,)()(!1)()
1()
(--⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧-=k a x a i ik i i
i x x x k x l ω
则由(6.7)式，应有
.)()(!)()()()()
1()(--⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧---=k a x a i k
i a i ik i i
i i
x x x k x x x x x x L ωω
从而
.)()(!)()()
()(11
)
1()
()(∑∑=-=--⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-⋅--=s
i a k k a x a i k i k i
i
i i i i i x x x k x x y
a x x x x p ωω
(6.9)
若于(6.3)中取),,,1;1,,0)(()()
(s k a h x f y k k h h k =-==则相应的Hermite 插
值多项式为
.)()(!)()()()
()(11
0)
1()
()
(∑∑=-=--⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=s
i a k k a x a i i i k a i i i i i i
x x x k k x x x f x x x x p ωω
(6.10)
例1 设.121====s a a a 则插值问题(6.3)就是通常多项式插值问题。

此时，按定义有
,)
('1
)()()
0()(i x i x x x x i ωω=⎭⎬
⎫⎩⎨⎧- 其中).()()(1s x x x x x --= ω相应的Hermite 插值多项式恰为一般Lagrange 插值公式
.)
(')()
()
()(1i i s
i i x x x x x f x p ωω-=∑=
例2 设仅有一个a 重的结点.a x =则,)()(a a x x -=ω而相应的Hemite 插值多项式恰为)(x f 于a x =点附近Taylor 展开式的部分和
.!
)()()(1
0)
(k a x a f
x p k a k k -=∑-=
例3 设,221===s a a a 则相应的Hermite 插值问题为求12-=s n 次多项式),(x p 使之满足
),
(')('),()(i i i i x f x p x f x p == ).,,1(s i =
(6.11)
这个特定的Hermite 插值问题的几何意义在于使曲线)(x p y =不仅通过给定的型值点),,,1))((,(s x f x i i 而且在),,1(s i x x i ==处与曲线)(x f y =有相同的切线。

为推导相应Hermite 插值公式，记),()()(1s x x x x x --= σ则
[].)()()(,
)()(222
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=x x x x x x x x i
i σσωω
又因
[][],)()(')('')('1
)(,)()]
('[)
(''21)('1)(322
2
+--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+--=-i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x x x x x x σσσσσσσω
故由(6.10)式，有
)].)('))()
(')
(''1)(([))
)((')((
)(2
1i i i i i i s
i i i x x x f x x x x x f x x x x x p -+--
⨯-=∑=σσσσ
更特殊地，当21,2a a s ==且时，相应插值公式为下述3次多项式
.))(
)(('))(21)(())(
)(('))(21)(()(2
1
21222
12112222212112
2
12211x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x f x p i ---+-----+---+-----= (6.13)
这是一个非常重要的Hermite 插值多项式。

它所刻画的曲线)(x p y =是这样一条曲线；其在区间],[21x x 两个端点处，不仅通过曲线)(x f y =上的点))(,(11x f x 与
))(,(22x f x ，而且与)(x f y =有相同的切线。

Hermite 插值公式(6.12)的误差估计由下述定理给出。

定理7 设)()12(x f s -于],[b a 上连续，)()2(x f s 于),(b a 内存在，又设 .21b x x x a s ≤<<<≤
则由(6.12)式所确定的Hermite 插值多项式)()(12x p x p s -=有如下的估计式
[],)(!
2)
()()(2)2(12x s f x p x f s s σ）（ξ=
--
(6.14)
其中.1s x x <<ξ
证明 若x 为s x x x ,,,21 中的某一个，则显然(6.14)成立。

以下假设
s x x x ,,1 ≠中的任一个。

由于)()(12x p x f s --以s x x ,,1 为二重零点，因此可设
).()()()()(22112x x x x x x p x f s s ρ⋅--=-- (6.15)
对上述给定的x 作辅助函数
.)())(()()()(22112s s x t x t x x p t f t ----=- ρϕ 按插值条件，可知
.
0)(,
,,1,0)(')(====x s i x x i i ϕϕϕ
这表明)(x ϕ有s 个2重零点s x x ,,1 和单零点x 。

由Rolle 定理，)('t ϕ于s x x ,,1 以及x 这1+s 个不同点所形成的s 个小区间内部各有一个零点。

注意到)('t ϕ原来已有s 个零点
s x x ,,1 ，从而)('t ϕ有s 2个互异的零点。

再次运用Rolle 定理，)(''t ϕ有22-s 个零点。

依此类推，最后可知)()2(t s ϕ有一个零点，记为ξ。

根据)(t ϕ的定义和(6.15)式，即知(6.14)式成立。

证毕。

§7. 多元多项式插值
在一元插值问题中，我们曾利用差商算法导出Newton 插值公式。

本节将讨论多元多项式插值问题。

先从比较简单的二元插商插值算法开始。

设D 是2R 上的有界闭区域，),(y x f 是定义在D 上的连续函数。

取定D 中的结点组（可整序格点网）
{},0,0),(m i n j y x i i i ≤≤≤≤=℘
(7.1)
其中
.210m n n n n ≥≥≥≥
对于函数),(y x f ，可视自变量y 为固定值，则可按一元差商的定义而得到 ).;,,,(10y x x x f v
再视上述差商中的诸v x x ,,0 为固定，则又可得到它关于自变量y 的差商
).,,,;,,,(1010u v y y y x x x f
这样一来，我们已经给出了二元差商的一种定义方式，并可以计算出它们来。

为了书写方便，记
.
1),()(),()(),
,,;,,(00101000==------Y X y y y y def Y x x x x def X y y x x f def f u u v v u v vu
按一元Newton 插值公式，可知
).
,,,;,,();,,(),
;,,,()
;,,(),(001000100v v v
n v n vu
n u u v m m v m
v u y y y x x f Y f Y y x x f y x x x f X y x x f X y x f +=+=+=+=∑∑
从而℘上的插值公式为
),,(),(00
y x r f Y X y x f vu u m v n u v v
+=∑∑== (7.2)
其中
)
,(y x p =
∑∑==m v n u vu
u
v v
f Y
X 00
(7.3)
是满足插值条件
p (
i
x ,
i
y )=f
∈∀),(),,(i i i i y x y x
(7.4)
的多项式，而相应插值余项为
),,;,,();,,,(),(000101v v n v m
v n v m m y y y x x f Y X y x x x f X y x r ∑=+++=
（7.5）
应该注意到，上述插值多项式空间为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∑∑===m v n u u v vu def
v y x c P 00.
容易直接验证以上插值多项式是唯一的. 例1 在插值公式(7.2)中取
n n n n m ==== 10,
则得到矩形网点上的插值公式
∑∑==+=m
v n
u vu u v r f Y X y x f 001
),(,
(7.6) 其中
∑=+++=m
v n v n v m m y y x x f Y X y x x x f X r 0001011),;,,();,,,(
{}
),,;,,,(),,;();,,,(0010101n m m n n m m y y y x x x f X y y y x f Y y x x x f X +++-+= =
),()!
1()!1(),()!1(),()!1()
1,1(11)1(1)1(1ηξηξ++++++++++-+++n m xy n m n y n m x m f n m Y X x f n Y y f m X
这里ξ和ξ落在包含m x x x ,,,0 的最小区间内，而η和η落在包含n y y y ,,,0 的最小区内．
注意此时插值空间为
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∑∑==m v n u u v vu n m y x c def P 00,．
例２ 在插值公式（7.2）中取 ,v m n v -= m v ,,0 =, 则得到插值空间m P 中的插值公式
νμ
μνν
μνf Y X y x f m m ∑∑=-==00
),(+
2r
(7.7) 其中
),,,;,,();,,,(0010
012ννννν--+=+∑+=m m m
m m y y y x x f Y X y x x x f X r
利用插值公式（7.2）,人们还可以引导出许多插值公式。

读者可以根据需要来确定和使用它们。

设函数n x ϕϕ ),(1)(x 定义在区间],[b a 上，对于给定的n 个不同的点
n b a x x n 和],[,,1∈ 个数值,,1n w w 显然插值问题
n j w x
a j j
i
n
i i ,,1,)(1
==∑=ϕ
有解，必须且只须行列式
.0|)(|≠j i x ϕ （7.8）
一个由n 个定义在点集S 上的函数组成的系统n ϕϕ,,1 称为在S 上是唯一可解的，如果对于S 中任意给定的n 个互异点1x ，n x , 来说，（7.8）恒成立。

显然，
n ϕϕ ,1在S 上唯一可解，必须且只须在S 的n 个互异点上取值为零的线性组合
n n c c ϕϕ++ 11必恒为零.
例3 由1，2x 组成的函数组在]1,0[上是唯一可解的，但在[-1，1]上却不是唯
一可解的.
例4 在任何区间[b a ,]上,函数组n x x x ,,,12是唯一可解的. 例5 三角函数系
nx x x nx x x sin ,,2sin ,sin ,cos ,,2cos ,cos ,1 在-πx ≤＜π上是唯一可解的. 以下Haar 定理指出，在高维空间)2(≥n R n 中，唯一可解性通常是保证不了的。

定理8（Haar ） 设S 是欧氏空间)2(≥n R n 中包含一个内点p 的点集。

设
)1(,1>n n ϕϕ 定义于S 上，且其中每个函数均在p 的一个邻域内连续。

则这个
函数组在S 上不是唯一可解的。

证明 设U 是一个包含在S 中以p 为中心的小球，它使得诸i ϕ在其内是连续的。

选取U 中n 个不同的点n p p p ,,,21 。

可以假定
)(≠j i p φ
（7.9）
若不然，则该函数组已经不是唯一可解，从而定理已证完了。

现固定n p p ,,3 ，并在U 内连续的移动1p 和2p ，使得1p 和2p 互换位臵。

由于U 是)2(≥n R n 中的小球，因而在1p 和2p 互换位臵的过程中，人们既可保证1p 和2p 不相重合，又可保证它们也不与n p p ,,3 中的任一点相重合。

注意到当我们按上述要求交换了1p 与2p 的位臵后，
（7.9）式右端行列式的第1列和第2列恰好交换了位臵。

按行列式性质，交换前后两行列式异号。

因为i ϕ是U 内的连续函数，所以在1p 和2p 互换位臵的过程中必然存在某个中间位臵，使与之相对应的行列式为零。

从而函数组n ϕϕ,,1 在S 上不是唯一可解的。

证毕。

顺便指出，为使上述Haar 定理成立，可以不必要求点集S 中包含有内点p 。

事实上，只须要求S 中包含有一个“三岔“点p ，亦即在点p 处有3段互相遇就可
以了（见图7.1）。

因为人们可以仿照火车惯用的方法使得1p 与2p 互换位臵。

根据Haar 定理,在构造多元插值多项式时,插值结点组的选取是一个关键的问题。

因为并不是对于任意给定的插值结点组，多元插值多项式都是存在并且唯一的。

为搞清插值结点组的选取问题，先须引入相应的概念。

设()()()y x p y x p y x p k ,,,,,,21 是一组线性无关的实系数二元多项式， P=span ()()(){}y x p y x p y x p k ,,,,,,21 .
D 是2R 上的有界闭区域，()k q q D C f ,,,1 ∈是D 中无异的点。

二元多项式插 值问题，是要寻求P p ∈，使得下述插值条件被满足：
()()k i q f q p i i ,,1, == . (7.10) 这样的多项式()y x p ,称为()y x f ,在P 中的插值多项式，k q q ,,1 称为插值 结点。

由Harr 定理，为求得插值多项式，首要的问题是选择插直结点组,,1 q
k q ，使得插值问题（7.10）的解存在并且唯一。

若对给定的被插函数()y x f ,， 插值问题（7.10）的解存在并且唯一，则称k q q ,,1 是空间P 的适定节点组。

设()y x p ,是P 中的一个非零多项式,P 中的代数曲线()0,=y x p 由下述 点集所定义：
()(){}P p y x p y x ∈=,0,,。