苏科版八年级上册数学期中考试试卷及答案

苏科版八年级上册数学期中考试试题
一、单选题
1．下列四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．三角形具有稳定性，就是当三角形的三边长确定时，三角形的形状和大小就确定了，其理论依据是（ ）
A ．SAS
B ．ASA
C ．AAS
D ．SSS 3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A ．4，5，6
B ．1.5，2，2.5
C ．2，3，4
D ．13，14，15
4．如图所示，在下列条件中，不能判断ABD △≌BAC 的条件是（ ）
A ．D C ∠=∠，BAD ABC ∠=∠
B ．BD A
C =，BA
D ABC ∠=∠ C ．BAD ABC ∠=∠，ABD BAC ∠=∠ D ．AD BC =，BD AC =
5．如图,P 为AB 上任意一点,分别以AP 、PB 为边在AB 同侧作正方形APCD 、正方形PBEF,设CBE α∠=,则AFP ∠ 为（ ）
A ．2α
B ．90°﹣α
C ．45°+α
D ．90°﹣
12α 6．如图，在ABC 中，AB AC =，分别以点A ，B 为圆心，大于12
AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 分别交BC ､AB 于点D 和点E ，若50B ∠=︒，则CAD ∠的度数是（ ）
A ．30
B ．40︒
C ．50︒
D ．60︒
7．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点1D 、1C 的位置，1ED 的延长线交BC 于点G ，若64EFG ∠=︒，则EGB ∠等于（ ）
A ．128︒
B ．130︒
C ．132︒
D ．136︒
8．如图，已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，,BD CE 交于点F ，连接AF ，下列结论：≌BD CE =；≌BF CF ⊥；≌AF 平分CAD ∠；≌45AFE ∠=︒．其中正确结论的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
9．等腰三角形是轴对称图形，最多有_____条对称轴．
10．一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是______．
11．如图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为_________
12．等腰三角形的一个角是70°，则它的另外两个角的度数是______．
13．已知一个直角三角的斜边上的高为6，则其斜边上的中线长为5，则它的面积为_____．14．如图，在等腰三角形ABC中，BD为≌ABC的平分线，≌A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD的长为________．
15．如图，在≌ABC中，按以下步骤作图：
≌以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；
DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F；
≌分别以D，E为圆心，以大于1
2
≌作射线BF交AC于G．
如果AB＝9，BC＝12，≌ABG的面积为18，则≌CBG的面积为_____．
16．如图，≌ABC≌≌ADE，且E在BC上．若≌DEA＝80°，则≌BED的度数为______．
17．直角三角形两条直角边长的和为7，面积为6，则它的斜边长为_________
18．如图，在矩形ABCD中，3
⊥，
AB=，4
=
AD，E、F分别是边BC、CD上一点，EF AE
将ECF △沿EF 翻折得EC F '△，连接AC '，当BE =________时，AEC '是以AE 为腰的等腰三角形．
三、解答题
19．已知：如图，≌ABC 中，≌A ＝90°，现要在 AC 边上确定一点 D ，使点 D 到 BA 、BC 的距离相等．
（1）请你按照要求，在图上确定出点 D 的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若 BC ＝10，AB ＝8，则 AC= ,AD= （直接写出结果）．
20．如图，在≌ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点，连接AD ，若≌B ＝30°，≌DAB ＝45°，求≌DAC 的度数．
21．如图，在66⨯的网格中，ABC 的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出ACD △，使ACD △与ACB △全等，顶点D 在格点上．
（2）在图2中过点B 画出平分ABC 面积的直线l ．
22．在≌AD AE =，≌ABE ACD ∠=∠，≌FB FC =这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在ABC 中，A ABC CB =∠∠，点D 在AB 边上（不与点A ，点B 重合），点E 在AC 边上（不与点A ，点C 重合），连接BE ，CD ，BE 与CD 相交于点F ．若______，求证：BE CD =．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
23．已知：如图，AD≌BC ，垂足为D ．若BD ＝a ，AD ＝2a ，CD ＝4a ，则≌BAC 是直角吗？证明你的结论．
24．如图，D 是≌ABC 的边AB 上一点，CF≌AB ，DF 交AC 于E 点，DE ＝EF ． （1）求证：≌ADE≌≌CFE ；
（2）若D是AB的四等分点，BD=2，求CF的长．
25．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90°．如图，长方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点P从点B出发，以acm/s向终点C运动，运动的时间为ts．
（1）当t=3时，
≌求线段CE的长；
≌当EP平分≌AEC时，求a的值；
（2）若a=1，且≌CEP是以CE为腰的等腰三角形，求t的值；
（3）连接DP，直接写出点C与点E关于DP对称时的a与t的值．
26．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
（1）如图1，点P在线段BC上，≌ABP＝≌APD＝≌PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P是≌APD的准外心；
（2）如图2，在Rt≌ABC中，≌BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，≌ABC的准外心P在≌ABC
的直角边上，试求AP的长．
参考答案
1．B
【分析】
根据轴对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】
解：A选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意；
B选项中的汉字是轴对称图形，符合题意；
C选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意；
D选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
2．D
【分析】
由题意三角形的三边长被确定，故利用SSS可得三角形全等，即可说明问题.【详解】
解：如图，在≌ABC和≌A′B′C′中，AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′，
在≌ABC和≌A′B′C′中，
≌AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′，
≌≌ABC≌≌A′B′C′（SSS）
故三角形的三边被确定后，三角形的大小形状就被确定，即三角形具有稳定性.
【点睛】
本题考查了三角形的全等，由题意得出三边相等得到三角形全等是解题关键. 3．B
【解析】
【详解】
A、222
456
+≠，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故错误；
B、222
1.52
2.5
+=，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故正确；
C、222
234
+≠，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故错误；
D、
222
111
453
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+≠
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
4．B
【解析】
【分析】
已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，则所加角必须是所加边和公共边的夹角对应相等才能判定两个三角形全等．
【详解】
A、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
B、符合SSA，≌BAD和≌ABC不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等，故该选项符合题意；
C、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
D、符合SSS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
故选择：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，三角形判定定理中，最容易出错的是“边角边”定理，这里强调的是夹角，不是任意角．
5．B
【分析】
根据题意可得∆≅∆()AFP CBP SAS ，从而90AFP CBP α∠=∠=︒-
即可． 【详解】
≌四边形APCD 和四边形PBEF 是正方形，
≌AP=CP ，PF=PB ，90APF BPF PBE ∠=∠=∠=︒，
≌∆≅∆()AFP CBP SAS ，
≌≌AFP=≌CBP ，
又≌CBE α∠= ，
≌90AFP CBP PBE CBE α∠=∠=∠-∠=︒-，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
由尺规作图痕迹可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，进而得到DB=DA ，≌B=≌BAD ，再由AB=AC 得到≌B=≌C=50°，进而得到≌BAC=80°，≌CAD=≌BAC -≌BAD=30°即可求解．
【详解】
解：由题意可知：MN 是线段AB 的垂直平分线，
≌DB=DA ，
≌≌B=≌BAD=50°，
又AB=AC ，
≌≌B=≌C=50°，
≌≌BAC=80°，
≌≌CAD=≌BAC -≌BAD=30°，
故选：A ．
7．A
由矩形得到AD//BC，≌DEF=≌EFG，再由与折叠的性质得到≌DEF=≌GEF=≌EFG，用三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】
解：≌四边形ABCD是矩形，
≌AD//BC，
≌矩形纸片ABCD沿EF折叠，
≌≌DEF=≌GEF，
又≌AD//BC，
≌≌DEF=≌EFG，
≌≌DEF=≌GEF=≌EFG=64≌，
∠是≌EFG的外角，
≌EGB
∠=≌GEF+≌EFG=128≌
≌EGB
故选：A．
8．C
【分析】
≌证明≌BAD≌≌CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；≌由≌BAD≌≌CAE可得
≌ABF=≌ACF，再由≌ABF+≌BGA=90°、≌BGA=≌CGF证得≌BFC=90°即可判定；≌分别过A作AM≌BD、AN≌CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分≌BFE,
⊥即可判定．
即可判定；≌由AF平分≌BFE结合BF CF
【详解】
解：≌≌BAC=≌EAD
≌≌BAC+≌CAD=≌EAD+≌CAD,即≌BAD=≌CAE
在≌BAD和≌CAE中
AB=AC, ≌BAD=≌CAE,AD=AE
≌≌BAD≌≌CAE
≌BD=CE
故≌正确；
≌≌BAD≌≌CAE
≌≌ABF=≌ACF
≌≌ABF+≌BGA=90°、≌BGA=≌CGF
≌≌ACF+≌BGA=90°,
≌≌BFC=90°
故≌正确；
分别过A作AM≌BD、AN≌CE垂足分别为M、N ≌≌BAD≌≌CAE
≌S≌BAD=S≌CAE,
≌11
22
BD AM CE AN ⋅=⋅
≌BD=CE
≌AM=AN
≌AF平分≌BFE，无法证明AF平分≌CAD．
故≌错误；
≌AF平分≌BFE，BF CF
⊥
≌45
AFE
∠=︒
故≌正确．
故答案为C．
9．3
【详解】
解：等腰三角形是轴对称图形，而等边三角形是等腰三角形，它有3条对称轴．
故答案为：3．
10．17
【解析】
【分析】
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于3＋3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7＋7＋3＝17．
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
11．810076
【解析】
【分析】
关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．
【详解】
解：≌是从镜子中看，
≌对称轴为竖直方向的直线，
≌镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
≌这串数字应为810076．
故答案为：810076．
【点睛】
此题主要考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，
数的顺序正好相反．
12．55°，55°或70°，40°．
【解析】
【分析】
分70°为等腰三角形的顶角和底角两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出.
【详解】
解：（1）当顶角为70°时，则它的另外两个角的度数是55°，55°；
（2）当底角70°时，则它的另外两个角的度数是70°，40°；
所以另外两个角是55°，55°或70°，40°．
故答案为55°，55°或70°，40°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，难度不大，属于基础题型.
13．30
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边长，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：≌直角三角的斜边上的中线长为5，
≌斜边长为2×5=10，
≌直角三角的斜边上的高为6，
≌该三角形的面积为1
2
×10×6=30， 故答案为：30．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的面积公式，求出斜边长是解答的关键． 14．a -b
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可得72ABC C ∠=∠=︒，根据角平分线的定义可得
1362
CBD ABD ABC ∠=∠=∠=︒，进而根据三角形的内角和定理可得72BDC ∠=︒，根据等角对等边可得BC BD =，DA DB =，由AC AD AC BC -=-即可求得CD
【详解】
≌A=36°，AB=AC
()1180722
ABC ACB A ∴∠=∠=︒-∠=︒ BD 为≌ABC 的平分线，
∴1362
CBD ABD ABC ∠=∠=∠=︒ ABD A ∴∠=∠
∴DA DB =
18072BDC DBC C ∠=︒-∠-∠=︒
72BDC C ∴∠=∠=︒
∴BC BD =
AD BC ∴=
∴AC AD AC BC -=-a b =-
故答案为：-a b
15．24
【分析】
如图，过点G 作GM AB ⊥于M ，GN BC ⊥于N ．证明GM GN =，求出GM ，即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点G 作GM AB ⊥于M ，GN BC ⊥于N ．
由作图可知，GB 平分ABC ∠，
GM AB ⊥，GN BC ⊥，
GM GN ∴=，
1182
ABG S AB GM ∆=⨯⨯=， 4GM ∴=，
4GN GM ∴==，
111242422
CBG S BC GN ∆∴==⨯⨯=， 故答案为24．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题是解题的关键．
16．20°
【解析】
【详解】
≌≌ABC≌≌ADE ，
≌≌C=≌DEA=80°，AE=AC ，
≌≌AEC=≌C=80°，
≌≌BED=180°-≌DEA -≌AEC=180°-80°-80°=20°．
故答案为20°． 17．5
【解析】
【详解】
设其中一条直角边为x ，则另一直角边为(7)x -，由题意可得：
1(7)62x x -=，解得：1234，x x ==，
≌该直角三角形的两直角边一边为3，另一边为4，
≌．
故答案为：5 18．78或43
【解析】
【分析】
对AEC '是以AE 为腰的等腰三角形分类讨论，当=AE EC '时，设BE x =，可得到4EC x =-，再根据折叠可得到=4EC EC x '=-，然后在Rt≌ABE 中利用勾股定理列方程计算即可；当=AE AC '时，过A 作AH 垂直于EC '于点H ，然后根据折叠可得到=C EF FEC '∠∠，在结合EF AE ⊥，利用互余性质可得到BEA AEH =∠∠，然后证得≌ABE≌≌AHE ，进而得到BE HE =，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到EH C H '=，然后在根据数量关系得到1
4
=33BE BC =．
【详解】
解：当=AE EC '时，设BE x =，则4EC x =-，
≌ECF △沿EF 翻折得EC F '△，
≌=4EC EC x '=-，
在Rt≌ABE 中由勾股定理可得：222AE BE AB =+即222(4)3-=+x x ， 解得：7
=8x ；
当=AE AC '时，如图所示，过A 作AH 垂直于EC '于点H ，
≌AH≌EC '，=AE AC '，
≌EH C H '=，
≌EF AE ⊥，
≌=90C EF AEC ''+︒∠∠，90BEA FEC +=︒∠∠
≌ECF △沿EF 翻折得EC F '△，
≌=C EF FEC '∠∠，
≌BEA AEH =∠∠，
在≌ABE 和≌AHE 中B AHE
AEB AEH AE AE
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
≌≌ABE≌≌AHE （AAS ），
≌BE HE
=，
≌=
BE HE HC'
=，
≌
1
2
BE EC'
=
≌EC EC'
=，
≌
1
2
BE EC
=，
≌
14
=
33 BE BC
=，
综上所述，
74
83 BE=或，
故答案为：74 83或
【点睛】
本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可．
19．（1）见解析；（2）6；8 3 .
【解析】
【分析】
（1）直接利用角平分线的作法得出D点位置；
（2）作DE≌BC于E，根据勾股定理可求出AC，设AD的长为x，然后用x表示出CD、DE、求出CE，利用勾股定理得到有关x的方程，解之即可．
【详解】
解：（1）作≌ABC的平分线，交AC于点D，
则点D即为所求的点；
（2）作DE≌BC于E，设AD=x，
≌BC＝10，AB＝8，
6
==；
≌BD 平分≌ABC ，DE≌BC ，≌A ＝90°，
≌DE=AD=x ，CD=6-x ，
在Rt≌ABD 和Rt≌EBD 中，
AD=ED BD=BD ⎧⎨⎩
≌Rt≌ABD≌Rt≌EBD ，
≌BE=AB=8，
≌EC=BC -BE=2，
在Rt≌CDE 中，
222CD =CE +DE 即()
2226=2+x x - ，
解得：x=83，即AD=83.
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理，掌握角平分线的作法及勾股定理的运用是解题的关键．
20．75°．
【解析】
【分析】
根据等边对等角可得≌C ＝≌B ＝30°，然后根据三角形的内角和定理，即可求出≌BAC ，从而求出≌DAC 的度数．
【详解】
解：≌AB ＝AC ，≌B ＝30°，
≌≌C ＝≌B ＝30°，
≌≌BAC ＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
≌≌DAB ＝45°，
≌≌DAC ＝≌BAC ﹣≌DAB ＝120°﹣45°＝75°．
21．（1）画图见解析；（2）画图见解析
【分析】
（1）结合题意，根据全等三角形的性质作图，即可得到答案；
（2）取格点D ，则四边形ABCD 为平行四边形，过点D 和点B 作直线l ，即可得到答案．
【详解】
（1）如图，画ACD △
≌AD CB AC CA CD AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩
≌ACD ACB ≌△△
≌ACD △就是所求作的三角形；
（2）如图，取格点D ，
连接AD,CD ，由（2）可知≌ACD 与 ≌ACB 全等，可以证明四边形ABCD 是平行四边形, 过点D 和点B 作直线l 交AC 于点E ，≌AE=AC ，≌≌ABE 的面积等于≌BEC 的面积，则直线l 即为所求．
【点睛】
本题考查了全等三角形、平行四边形的性质等知识；解题的关键是熟练掌握相关性质，从而完成求解．
22．见解析
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】
解：选择条件≌的证明：
因为A ABC CB =∠∠，
所以AB AC =，
又因为AD AE =，A A ∠=∠，
所以ABE △≌ACD △，
所以BE CD =．
选择条件≌的证明：
因为A ABC CB =∠∠，
所以AB AC =，
又因为A A ∠=∠，ABE ACD ∠=∠，
所以ABE △≌ACD △，
所以BE CD =．
选择条件≌的证明：
因为FB FC =，
所以FBC FCB ∠=∠，
又因为A ABC CB =∠∠，BC CB =，
所以CBE △≌BCD △，
所以BE CD =
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定方法，证明两个三角形全等的方法有：
SSS ，AAS ，SAS ，ASA ，HL
23．≌BAC 是直角，理由见解析
【解析】
【分析】
由勾股定理分别求出≌ABC 的三边，再利用勾股定理的逆定理来判断即可．
【详解】
解：≌BAC是直角．
≌AD≌BC，
≌≌ADB＝≌ADC＝90°，
在Rt≌ADB中，≌ADB＝90°，
由勾股定理得：
AB2＝AD2＋BD2＝5a2，
在Rt≌ADC中，≌ADC＝90°，
由勾股定理得：
AC2＝AD2＋CD2＝20a2，
在≌ABC中，
≌AB2＋AC2＝25a2＝BC2，
≌≌BAC＝90°，
即≌BAC是直角．
【点睛】
本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的运用，熟练掌握定理是解决问题的关键．
24．（1）见解析；（2）6或2
3
【解析】
【分析】
（1）根据CF≌AB，可得≌ADE=≌F，≌A=≌ECF，即可求证；
（2）由（1）知：CF=AD，然后分两种情况讨论：若
1
4
BD AB
=时和若
3
4
BD AB
=时，即
可求解．
【详解】
解：（1）≌CF≌AB，
≌≌ADE=≌F，≌A=≌ECF，
≌DE=EF，
≌≌ADE≌≌CFE（AAS）；
（2）由（1）知：≌ADE≌≌CFE，≌CF=AD，
若
1
4
BD AB
=时，
≌BD=2，
≌48 AB BD
==，≌AD=AB-BD=6，≌CF=6；
若
3
4
BD AB
=时，
≌BD=2，
≌
48
33 AB BD
==，
≌
82
2
33 AD AB BD
=-=-=，
≌
2
3
CF=，
综上所述，CF的长为6或2
3
．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，并会利用分类讨论思想是解题的关键．
25．（1）≌5cm；≌4
3
；（2）3或
65
18
；（3）
5
4
a=，t=4
【解析】
【分析】
（1）≌当t=3时，根据路程=速度×时间，可求出DE=3，然后由勾股定理可计算出CE，≌当EP平分≌AEC时，根据角平分线的性质可得≌点P到EC的距离等于点P到AD的距离，即EC边上的高等于4，利用等积法可求PC，再利用线段和差关系求BP，根据速度=路程÷时间，可计算出a；
（2）根据线和差关系，勾股定理把PC，PE，CE用含t的代数式表示出来，然后根据等腰三角形的性质分情况讨论，列出关于t的方程，解方程即可求解；
（3）根据点C与点E关于DP对称，可得DP垂直平分CE，所以DE=CD，PE=PC，然后根据DE=CD，可先计算出t，然后根据PE=PC可求出a．
【详解】
（1）≌当t=3时，则DE=3，
在Rt≌CDE中，由勾股定理可得5
==；
≌当EP平分≌AEC时，根据角平分线的性质可得≌点P到EC的距离等于点P到AD的距
离，即EC边上的高等于4，所以
11
4
22
PCE
S EC PC CD =⨯⨯=⨯⨯，
所以11
454 22
PC
⨯⨯=⨯⨯，
所以PC=5，则PB=BC－PC=9－5=4，又因为PB=at=3t，
所以3t=4，解得a=3
4
；
（2）在Rt≌CDE中，由勾股定理可得=，所以PC=BC－BP=9－t，
由勾股定理可得
当EC=PE时，
t=3或t=9(不符合题意，舍去)，
当EC=PC时，
－t，解得t=65 18
，
所以t=3或t=65 18
，
（3）因为点C与点E关于DP对称，
所以DP垂直平分CE，所以DE=CD=4，PE=PC，所以DE=t=4，
因为BP=at，所以BP=4a，
所以PC=9－4a，
由勾股定理可得
－4a，解得a=5
4
，
所以a=5
4
，t=4．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了长方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解（1）
的关键是判断出CE=CP ，解（2）的关键是分两种讨论，解（3）得关键是构造直角三角形，解本题的关键是用方程的思想解决问题．
26．（1）见解析；（2）AP 的长为32
或2或78 【解析】
【分析】
（1）利用AAS 证明≌ABP≌≌PCD ，得到AP ＝PD ，由定义可知点P 是≌APD 的准外心； （2）先利用勾股定理计算AC=4，再进行讨论：当P 点在AB 上，PA ＝PB ，当P 点在AC 上，PA ＝PC ，易得对应AP 的值；当 P 点在AC 上，PB ＝PC ，设AP ＝t ，则PC ＝PB ＝4﹣x ，利用勾股定理得到32+t 2＝(4﹣t)2，然后解方程得到此时AP 的长．
【详解】
（1）证明：≌≌ABP ＝≌APD ＝≌PCD ＝90°，
≌≌APB+≌PAB ＝90°，≌APB+≌DPC ＝90°，
≌≌PAB ＝≌DPC ，
在≌ABP 和≌PCD 中，
PAB DPC ABP PCD BP CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
≌≌ABP≌≌PCD （AAS ），
≌AP ＝PD ，
≌点P 是≌APD 的准外心；
（2）解：≌≌BAC ＝90°，BC ＝5，AB ＝3，
≌AC =4，
当P 点在AB 上，PA ＝PB ，则AP 12=AB 32=； 当P 点在AC 上，PA ＝PC ，则AP 12
=AC ＝2， 当P 点在AC 上，PB ＝PC ，如图2，
设AP ＝t ，则PC ＝PB ＝4﹣x ，
在Rt≌ABP 中，32+t 2＝(4﹣t)2，解得t 78=
， 即此时AP 78
=，
综上所述，AP的长为3
2
或2或
7
8
．。