【考前30天】高考数学考前30天三轮专题提分必练绝密十四(大纲文科专用)

2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(十四)
[第14讲 圆锥曲线的标准方程与性质]
(时间：10分钟＋35分钟)
2012二轮精品提分必练
1．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1
的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程为( )
A.x 24－y 2＝1 B ．x 2
－y 2
4＝1 C.x 2
2 －y 23＝1 D. x 23－y 2
2
＝1 2．已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的右焦点，且两条曲线交点
的连线过点F ，则该椭圆的离心率为( )
A.5－1
2 B.2－1 C.
55 D.22
3．椭圆x 249＋y 2
24
＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积
为 ( )
A ．20
B ．22
C ．24
D ．28 4．设双曲线以椭圆x 225＋y 2
9
＝1的长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲
线的离心率为( )
A ．2 B.52 C.32 D.6
2
2012二轮精品提分必练 1．已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 2
9
＝1的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且|PF 2|＝6，点
Q (0，m )，|m |≥3，则
P Q →·(PF 1→－PF 2→
)的值是( ) A ．40 B ．80 C ．160
D ．与m 的值有关 2．椭圆x 24＋y 2
3＝1上有n 个不同的点：P 1，P 2，…，P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}
是公差不小于1
100
的等差数列，则n 的最大值为( )
A ．199
B ．200
C ．198
D ．201
3. 椭圆x 2
4＋y 2
＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，MF 1→·MF 2→＝0，则M 到y 轴的距离为( )
A.233
B.26
3
C.
3
3
D. 3 4．双曲线mx 2－y 2
＝1(m ＞0)的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B ，C ，使得△ABC 为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为 ( )
A.1
2
B ．1
C ．2
D ．3
5．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的一个焦点重合，它们在
第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为________．
6．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16
＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，
则|PM |＋|PF 1|的最大值为___________________．
2012二轮精品提分必练
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8.已知抛物线y 2
＝4x ，过点M (0,2)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .
(1)求证：|MA |、|MC |、|MB |成等比数列；
(2)设MA →＝αAC →，MB →＝βBC →
，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(十四)
【基础演练】
1．B 【解析】 ||PF 1＝2
5
2
＋22＝6，|PF 2|＝4，a ＝6－42
＝1，b 2＝c 2－a 2
＝4，
所以双曲线的方程为x 2
－y
2
4
＝1.
2．B 【解析】 显然F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，设椭圆的半焦距为c ，则c ＝p 2，两曲线的一个交点为A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，p ，即A(c,2c)，
设椭圆的左焦点为F′，则在Rt△AF′F 中，F′F＝2c ，AF ＝2c ，∴AF′＝22c.根据椭圆性质有22c ＋2c ＝2a ，∴e＝
2
2＋22
＝2－1.
3．C 【解析】 设||PF 1＝r 1，||PF 2＝r 2，则r 1＋r 2＝14，r 2
1＋r 2
2＝4c 2
＝100，故r 1·r 2
＝48，所以S△PF 1F 2＝1
2
r 1·r 2＝24.
4．B 【解析】 由题意知c ＝5，a 2
c ＝4，所以a ＝25，则e ＝c a ＝5
2.
【提升训练】
1．B 【解析】设P(x 0，y 0)(y 0＞0)，由焦半径公式得，||PF 2＝ex 0－a ＝6，即5
4x 0－4
＝6，可求得x 0＝8，代入双曲线方程，得y 0＝33，故PQ →·(PF 1→－PF 2→)＝PQ →·F 2F 1→
＝(－8，m －33)(－10,0)＝80.
2．D 【解析】 由题意知，要使所求的n 最大，应使|P 1F|最小，|P n F|最大．又F 为椭圆的右焦点，设P n 的横坐标为x n ，故由第二定义可得，|P n F|＝a －ex n ，其中a ＝2，e ＝1
2，所以当x 1＝2时， |P 1F|＝1最小，当x n ＝－2时， |P n F|＝3最大．由等差数列的通项公式可得， |P n F|＝|P 1F|＋(n －1)d ，即n ＝2d ＋1，又因为d≥1
100，解得n≤201.
3．B 【解析】 椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，
该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2
＝83，即||x ＝
26
3
，亦即点M 到y 轴的距离． 4．A 【解析】 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，由对称性可设B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 0，x 0－1m ，C ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x 0，－x 0＋1m . 把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－
1m 代入双曲线方程得(m －1)x 2
0＋2x 0m
－m ＋1m ＝0， 显然m ＝1时，x 0＝1，不满足△ABC 为等腰直角三角形这一条件，B 项错误； 当m ＝2时，x 0＝2
2
＜1，不满足△ABC 为等腰直角三角形这一条件，C 项错误； 当m ＝3时，x 0＝3
3
＜1，不满足△ABC 为等腰直角三角形这一条件，D 项错误，综上，实数m 的可能值为1
2
.
5.2－1 【解析】 依题意c ＝p 2，b 2
a ＝p ，∴
b 2＝2a
c ，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2
＋2e －1
＝0，解得e ＝2－1.
6．15 【解析】 |PF 1|＋| PF 2|＝10，|PF 1|＝10－| PF 2|，|PM|＋|PF 1|＝10＋|PM|－| PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM|－| PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM|＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋
－
2
＋42
＝15.
7．【解答】 (1)∵|BC →|＝2|AC →|且BC 过(0,0)，则|OC →|＝|AC →|，又∵AC →·BC →
＝0，∴∠OCA ＝90°，即C(3，3)．又∵a＝23，设椭圆方程为x 2
12＋y 2
12－c 2＝1，将C 点坐标代入得
312＋312－c 2＝1，解得c 2＝8，b 2
＝4.∴椭圆的方程为：x 2
12＋y 24
＝1. (2)由条件知D(0，－2)，
当k ＝0时，显然－2＜t ＜2，当k≠0时，设l ：y ＝kx ＋t ， ⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
12＋y 2
4＝1，y ＝kx ＋t ，
消y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2
－12＝0，
由Δ＞0，可得t 2
＜4＋12k 2
，①
设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，PQ 的中点H(x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋t ＝t 1＋3k 2，
∴H ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－
3kt 1＋3k 2，t 1＋3k 2.
由|DP →|＝|DQ →
|，∴DH⊥PQ，即k DH ＝－1k .
∴t
1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k
2
－0＝－1k ，化简得t ＝1＋3k 2，②
∴t＞1，将②代入①得1＜t ＜4，∴实数t 的取值范围是(1,4)． 综上t∈(－2,4)． 8．【解答】 (1)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k≠0)，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋2，y 2
＝4x ，
得k 2x 2
＋(4k －4)x ＋4＝0，①
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，则x 1＋x 2＝－4k －4k 2，
x 1·x 2＝4
k
2.②
|MA|·|MB|＝1＋k 2
|x 1－0|1＋k 2
·|x 2－0|＝＋k 2
k
2，
2012二轮精品提分必练。