第六章 样本和抽样分布

− z 2 n −1 2 z
∫x n
0
z
m −1 2
(z − x )
n −1 2
dx
m 2 Γ Γ 0 2 2 x dx 作积分变换 t = ，dt = z z
=
e z
m+n 2
∫x n
m −1 2
x 1 − z
n −1 2
dx
当 x = 0 时 ， t = 0 ； 当 x = z 时， t = 1 ．
( X 1 , L , X n )的联合概率密度 .
解： 总体 X 的概率密度为
f ( x) = 1 2π σ e
− ( x − µ )2 2σ 2
,−∞ < x < ∞ .
所以（ X 1 , L , X n）的联合概率密度为 所以（
f ( x1 ,L , x n ) = ∏ f ( x i )
=∏
i =1
n
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
若设X的概率密度为 若设 的概率密度为 f (x) ，则 ( X 1 , L , X n ) 的联合概 率密度为： 率密度为：
f ( x1 ,L , x n ) = ∏ f ( x i )
*
i =1
n
若设X的分布率为 P { X 若设 的分布率为 的联合分布率为： 的联合分布率为：
简称为样本，其观察值 x 1 , L x n 称为样本值。 简称为样本， 称为样本值。 由定义知： 的一个样本， 由定义知：若 X 1 , L , X n 为X的一个样本，则 ( X 1 ,L , X n ) 的一个样本 的联合分布函数为： 的联合分布函数为：
F * ( x1 ,L , x n ) = ∏ F ( x i )
分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、 分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样 阶原点矩、样本k 阶中心矩的观察值 观察值。 本k 阶原点矩、样本 阶中心矩的观察值。 统计量是样本的函数，它是一个随机变量， 统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计 量的分布称为抽样分布 抽样分布。 量的分布称为抽样分布。
第六章 样本及抽样分布
二、样本
§1 随机样本
定义： 的随机变量， 定义：设 X 是具有分布函数 F 的随机变量，若 X 1 , L X n 相互独立的随机变量 的随机变量， 是具有同一分布函数 F 的相互独立的随机变量，则称
X 1 , L X n 为从总体 中得到的容量为 的简单随机样本， 为从总体X中得到的容量为 的简单随机样本 中得到的容量为n的简单随机样本，
1 2 2 2 2 ( n σ + nµ − σ − nµ ) = σ 2 = n−1
第六章 样本及抽样分布
二、 常用统计量的分布
2
§２ 抽样分布
1) χ − 分布 的样本， 设( X 1 , L X n )为来自于正态总体 N ( 0,1)的样本，
则称统计量： 则称统计量：
χ = X + L+ X
所以（ 所以（ X 1 , L , X n）的联合分布率为
P{ X 1 = x1 ,L , X n = x n }= ∏ p( x i )
= ∏ p xi (1 − p)1− xi = p i =1 (1 − p )
i =1 n
n
∑ xi
n
i =1
n−
∑ xi
i =1
n
x i = 0,1, i = 1, L , n.
2 2 1
2 n
所服从的分布为自由度 是n的χ 2 分布。 分布。
记为 χ 2 ~ χ 2 ( n)
分布的性质： χ 2分布的性质：
1 若 X ~ χ ( m ), Y ~ χ ( n), 且 X，Y 独立，则有 独立，
0 2 2
X + Y ~ χ (m + n)
2
第六章 样本及抽样分布
证明： 证明：
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
的样本， 例2 若 X 1 , L , X n 是总体 X ~ B (1, p )的样本， 求 ( X 1 , L , X n )的联合分布率 . 解： 总体 X 的分布率为
p( x ) = P{ X = x } = p (1 − p )
x
1− x
, x = 0,1.
第六章 样本及抽样分布
§２ 抽样分布
n 1 n 1 2 2 2 ES = E[ (Xi − X ) ] = E [ ∑ X i − nX 2 ] ∑ n − 1 i =1 n − 1 i =1 n 1 2 [∑ EX i − nEX 2 ] = n − 1 i =1 n 1 [∑ ( DX i + ( EX i ) 2 ) − n( DX + ( EX ) 2 )] = n − 1 i =1 n 1 σ2 [∑ (σ 2 + µ 2 ) − n( = + µ 2 )] n − 1 i =1 n
设 Z = X + Y，
m x −1 − 1 x2 e 2 m 2 m f X (x) = 2 Γ 2 0
n y −1 − 1 y2 e 2 n fY ( y) = 2 2 Γ n 2 0
§２ 抽样分布
由于
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
例3 若 X 1 , L , X n 是参数为 λ 的泊松分布总体 X的样本， 的样本，
求 ( X 1 , L , X n )的联合分布率 .
解： 总体 X 的分布率为 λ x −λ p( x ) = P { X = x } = e , x = 0,1, L x! 所以（ 所以（ X 1 , L , X n）的联合分布率为
证明： 证明：
1 n S = ( X i2 − 2 X i X + X 2 ) ∑ n − 1 i =1
2
n n 1 ( ∑ X i2 − 2 X ∑ X i + nX 2 ) = n − 1 i =1 i =1 n 1 ( ∑ X i2 − 2 XnX + nX 2 ) = n − 1 i =1 n 1 2 [ ∑ X i − nX 2 ] = n − 1 i =1
正态总体的样本均值 与样本方差的分布
第六章 样本及抽样分布
一、统计量
§２ 抽样分布
1） 定义：设 X 1 ,L X n 为来自总体 的一个样本，g ） 定义： 为来自总体X的一个样本 的一个样本， 的函数， 是连续函数， 是 X 1 , L X n的函数，若g是连续函数，且g中不含任 是连续函数 中不含任 未知参数 则称 g ( X 1 , L X n )是统计量。 参数， 何未知参数， 是统计量。
P{ X 1 = x1 ,L , X n = x n }= ∏ p( x i )
=∏
i =1 n
n
λ
xi
xi !
e
−λ
=
λ
n
∑
i =1
n
xi
i =1
∏x !
i i =1
e − nλ , x = 0,1,L , i = 1, L , n. i
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
的样本， 例4 若 X 1 , L , X n 是总体 X ~ N ( µ , σ 2 )的样本，求
2） 常用的统计量 ） 1 n 样本均值 X = ∑ X i , n i =1 n 1 1 n 2 [ ∑ X i − nX 2 ] 样本方差 S 2 = ( X i − X )2 = ∑ n − 1 i =1 n − 1 i =1
第六章 样本及抽样分布
§２ 抽样分布
n 1 1 n 2 2 2 [ ∑ X i − nX 2 ] S = (Xi − X ) = ∑ n − 1 i =1 n − 1 i =1
第六章 样本及抽样分布
2
§２ 抽样分布
3）结论：设 X 1 ,L X n 为来自总体 的一个样本， ）结论： 为来自总体X 的一个样本，
EX = µ , DX = σ , 请记熟此结论！ 请记熟此结论！ σ2 2 2 则 E X = µ , DX = , ES = σ .
n
n n 证明： 证明： ∑ X i ∑ EX i = i =1 =µ EX = E i = 1 n n n n ∑ X i ∑ DX i σ2 = i =1 = D i =1 = DX 2 n n n
的样本值。 设( x1 , L , x n )是相应于样本 ( X 1 , L X n )的样本值。
的观察值。 则称 g ( x 1 , L x n )是g ( X 1 , L X n )的观察值。
注：统计量是随机变量。 统计量是随机变量。
第六章 样本及抽样分布
§２ 抽样分布
X ~ N ( µ , σ 2的一个样本， ) 的一个样本， 例1设 X 1 , L X n 设 为来自总体
第六章 样本及抽样分布
§２ 抽样分布
样本标准差 S =
S2 =
1 n ( X i − X )2 ∑ n − 1 i =1
1 n k 样本k 样本 阶原点矩 Ak = ∑ X i k = 1,2, L n i =1 1 n 样本k 样本 阶中心矩 B k = ∑ ( X i − X ) k k = 1,2, L n i =1 它们的观察值分别为： 它们的观察值分别为：
( 2 ) 当 z > 0, f z ( z ) =
0
x
=∫
0
z
1 m 2 Γ 2
m 2
x
m −1 2
e
−
x 2 n 2
1 n 2 Γ 2
(z − x)
n −1 2
e
−
z− x 2
dx
第六章 样本及抽样分布
§２ 抽样分布
f Z (z ) =
2
e
m+n 2
−
z 2
m Γ Γ 2 2
1 n x = ∑ xi n i =1
n 1 n 1 2 2 2 2 s = ∑ ( x i − x ) = n − 1 [ ∑ x i − nx ] n − 1 i =1 i =1
第六章 样本及抽样分布
s=
1 2 ∑ ( xi − x) n − 1 i =1
n
§２ 抽样分布
1 n k a k = ∑ x i , k = 1,2 L n i =1 1 n k bk = ∑ ( x i − x ) , k = 1,2 L n i =1
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本 §2 抽样分布
第六章 样本及抽样分布 §1 随机样本 •总体 总体 •个体 个体 •样本 样本
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
一、总体和个体 1）总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。 ）总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。 2）个体：总体中的每个元素为个体。 ）个体：总体中的每个元素为个体。 例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体， 例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一 个灯泡的寿命是一个个体； 个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全 体一个总体，每个男生的身高是一个个体。 体一个总体，每个男生的身高是一个个体。
x>0 x≤0
y>0 y≤0
第六章 样本及抽样分布
§２ 抽样分布
设随机变量 Z = X + Y 的密度函数为 f Z (z )，则有
f Z (z ) =
+∞ −∞
z
∫
f X ( x ) f Y (z − x )dx
x > 0, z − x > 0
z−x=0
(1) 当 z ≤ 0，f z ( z ) = 0.
= x } = p( x ) ，则 ( X 1 ,L , X n )
n i =1
P{ X 1 = x1 ,L , X n = x n }= ∏ p( x i )
的样本， 例1 若 X 1 , L , X n 是正态总体 X ~ N (1,4 )的样本，则 20 1 EX 1 X n = ___, D( X 1 − 2 X 2 ) = ____ .
i =1 n
n
1 2π σ
−
( xi − µ ) 2σ 2
i =1
2
e
= ( 2π ) (σ ) e
−n
−
n 2
− i =1
∑ ( xi − µ )2
2σ 2
n
− ∞ < x i < ∞ , i = 1,L , n.
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布 统计量 2 χ − 分布
t − 分布 F − 分布 Nhomakorabea已知， 其中 µ 未知 , σ 2已知问下列随机变量中那些是统计量 ， X1 + X n X1 + L+ X n min( X 1 , X 2 , L , X n ); ; −µ ; 2∨ n ∨2 ( X 1 + X n ) ( X 1 + L + X n ) − nµ . ; . 2 σ ∨ nσ
第六章 样本及抽样分布
f Z (z ) = 2
e z
m+n 2
z − 2
n −1 2