整数规划主要是指整数线性规划一个线性规划问题汇总

选目标函数当前最大值节点，找到的整数
解质量高。慢。
例6 用分枝定界法求解纯整数规划：
max z 3 x1 2 x2
2 x1 3 x2 14 x1 0.5 x2 4.5 s .t x1 , x2 0 x1 , x2 Z
解：首先不考虑整数约束， 得到相应的线性规划问题B： min z 3 x1 2 x2
基本思路 minZ=CX AX=b (A)
minZ=CX (B) AX=b X 0
X 0
X为整数来自百度文库
(B)为(A)的松弛问题。
i+1
Xj*
i
X*
(C)
(B)
Xj i+1 (D)
(B)
Xj i
例 5： minZ=－40X1－ 90X2 9X1+7X2 56 7X1+20X2 70 X1 , X2 0 X1 , X2为整数
2 x1 3 x2 14 s .t x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 1 2
用单纯形法进行求解，得到最优解： x1＝3.25，x2＝2.5，min z＝-14.75。 这时下界 z ＝－14.75，上界 z ＝0。
取 x2＝2.5 构造两个分枝：x2 2, x2 3分别加到 B 中构成两个后继问题 B1，B2：
B1
：
min z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 x1 0.5 x2 4.5 s .t x2 2 x1 , x2 0
B2
：
min z 3 x1 2 x2
2 x1 3 x2 14 x1 0.5 x2 4.5 s .t x2 3 x1 , x2 0
(1)、分枝变量选择原则：
① 按目标函数系数：选系数绝对值最大者变 量先 分。 对目标值升降影响最大。 ② 选与整数值相差最大的非整数变量先分枝。 ③ 按使用者经验，对各整数变量排定重要性 的优先顺序。
(2)、分枝节点选择：
① 深探法(后进先出法)：
最后打开的节点最先选，尽快找到整数解。
整数解质量可能不高。 ② 广探法：
图 4－ 1
要求该模型的解，不考虑整数约束条件，用单纯形 法对相应线性规划求解，其最优解为：x1＝3.25 x2＝2.5 max z＝14.75
----凑整得到的（3，3） （4，2）不在可行域范围内。 --（3，2）点尽管在可行域内，但没有使目标达到极大化。 --（4，1）使目标函数达到最大，即z＝14。
整数规划问题及其数学模型
例1 某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两 种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下， 问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？
设备 材 料 材料A（kg） 材料B（kg） 利润（元/件） 甲 2 1 3 乙 3 0.5 2 资源限量 14 4.5
解：设生产甲、乙这两种设备的数量分别为x1、x2， 由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建立 模型如下： Maxz=3x1+2x2 2x1+3x2≤14 x1+0.5x2≤4.5 x1、x2≥0,且为整数
二、整数规划数学模型的一般形式 由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式： Min z =CX AX=b X≥0, 且为整数或部分为整数 若称该整数规划问题为原问题，则线性规划问题： Min z =CX AX=b X≥0 为原问题对应的松驰问题（LP Relaxation)。
– 显然，原问题与松弛问题有如下关系：
X1 5
(3) S0 =0 5 -341.39 1.571 X2 1 -340 X2 2 (7) 无解
1.428 -327.12 3
5.444 -307.76 1
分枝定界法一般步骤：
(1)、(A), 先解(A)的松弛问题(B) (2)、① (B)无可行解→(A)无可行解。
② (B)最优解符合(A)要求，停。
2 x1 3 x2 14 x1 0.5 x2 4.5 s .t x 2 2 x 4 1 x1 , x2 0
B11 求解，得 x1＝3，x2＝3，min z＝-13，B12 的最优解为 x1
＝4，x2＝1，min z＝-14。
这时得到的满足整数约束条件的新的目标函数值为 -14。大于 B2 分枝的目标函数值，因此 B2 分枝不需要再 分枝了。这时下界为 z ＝-14，上界为 z ＝-14，因此该整 数规划的最优解为 x1＝4，x2＝1，min z＝-14。
(2) X2 2
问题(5)
(2) X2 3
例 5： minZ=－40X1－ 90X2 9X1+7X2 56 7X1+20X2 70 X1 , X2 0 X1 , X2为整数
(1) S0 =0 4.809 -355.890 1.817 X1 4
(2) S0 =0 4 -349.0 2.1 X2 2 (4) S0 =0 4 -340 2 (5) X2 3 -340 (6)
maxZ=20X1 + 30X2 +10X3+18X4 +15X5
5X1+3X2 +X3 +2X4 +4X5 8 2X1+X2 +4X3 +3X4 +5X5 10 Xi为0, 1
例3、选址问题
A1 B1 B4 A2 B3 A3 B2 Ai: 可建仓库地点，容量
ai ,投资费用bi ，建2个
对 B1 继续分枝，B1 中只有 x1 为非整数，取 x1＝3.5 进行分枝，构造两个约束分别为： x1 3 ， x1 4 得到 两个新的分枝 B11、B12：
B11：min z 3 x1 2 x2 B12min z 3 x1 2 x2 ：
2 x1 3 x2 14 x1 0.5 x2 4.5 s .t x 2 2 x 3 1 x1 , x2 0
min f x1 x 2 s .t . x x x 1 1 2 3 例： 3 x1 x 2 x 4 4 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0取整数 解：松弛问题的最优单 纯形表：
x1 0 x1 x2 1 0
x2 0 0 1
（1）松弛问题可行域包含原问题可行域； （2）若两者都有最优解，则松弛问题最优解小于原问题最优解； （3）若松弛问题最优解为整数解，则该最优解就是原问题最优解。
常用解法 • 分枝定界法 • 割平面法
分枝定界法
分枝定界法是在二十世纪六十年代初由Land Doig 和Dakin等人提出的，适用于解纯整数或混合整数 规划问题.
将 bi，aik 代入得到：
k
xi N ik xk N i f i f ik xk
k
③得到割平面方程： ；
f i f ik xk 0
k
第三步：把割平面方程加入到相应线性规划 B 的最终单纯形 表中， 用对偶单纯形法求解。 若解为非负整数解， 则停止计算， 得到最优整数解；若得到的解不是非负整数解，重复第二步过 程，重新计算。
x3 1/2 -1/4 3/4
1 指派第i个人完成第j项任务 x ij i个人完成第 j项任务 0 不指派第 m m min z cij xij
xij 1 j 1 m s.t xij 1 i 1 xij 0或1
m
i 1
j 1
i 1,2, , m j 1,2, , m
分枝定界法的过程如下：
二、割平面法 割平面法是 1958 年由 Gomory 提出来的
割平面法求解步骤如下：
第一步：不考虑整数约束，求相应线性规划模型 B 的最优 解。若最优解恰为整数，则停止计算；若最优解不为整数， 进入第二步。
第二步：寻找割平面方程。
①令 xi 为相应线性规划最优解中不符合整数条件的一个基 变量，由单纯形表的最终表得到：
Maxz=3x1+2x2 2x1+3x2≤14 x1+0.5x2≤4.5 x1、x2≥0,且为整数
例2、背包问题
背包可装入8单位重量，10单位体积物品 物品 1 2 3 4 名称 书 摄像机 枕头 休闲食品 重量 5 3 1 2 体积 2 1 4 3 价值 20 30 10 18
5
衣服
4
5
15
解：Xi为是否带第 i 种物品
见图所示，即把原来 的可行域分为两部分， 把中间没有整数解的 部分切割掉，缩小搜索范围。
对 B1、B2 求解，B1 的最优解为：x1＝3.5，x2＝2， min z＝-14.5。B2 最优解为：x1＝2.5，x2＝3，min
z＝-13.5。
B1，B2 仍没有满足整数条件，需要继续分枝，这时
的上界依然为 z ＝ 0 ，下界为 z ＝min{-14.5,-13.5} ＝ -14.5。
② (C)，[(D)]对应的目标值S≥S0
③ (C)，[(D)]对应的目标值Sc<S0
且解为整数解，令ScS0
且解为非整数解，令(C)，[(D)] 取代(B) 返回(4) (6)、全部枝剪完，停
优点： (1)、任何模型均可用；
(2)、思路简单、灵活；
(3)、速度快； (4)、适合上机。
分枝定界法注意事项：
③ (B)最优解不符合(A)要求，转(3)。 (3)、估整数解S0 ，作上界 (4)、选(B)解中不符合整数条件的分量Xj (Xj = bj )分枝， 作(B)的后续问题(C)、(D)。 (C)： (B）加约束Xj [bj ] (D)：(B)加约束Xj [bj ]+1
(5)、解(C)、(D)
剪枝条件：① (C)，[(D)]无可行解
i 1 i 1 j 1
yij ( i=1,2,3, j=1…4)由 i仓库向 j商店运货量
指派问题（Assignment problem） • 指派问题是0－1整数规划问题。在实践中经常会遇 到：有m项任务要m个人去完成（每人只完成一项工 作），在分配过程中要充分考虑各人的知识、能力、 经验等，应如何分配才能使工作效率最高或消耗的资 源最少？这类问题就属于指派问题。引入0－1变量xij
Bj: 商店，需求dj ( j=1…4 )
Cij: 仓库 i 到商店 j 的单位
运费
问：选择适当地点建仓库，在满足商店需 求条件下，总费用最小。
解：设xi ( i=1,2,3)为是否在 Ai 建仓库
y11 + y21 = d1 B2 A1 y12 + y22 + y32 = d2 y23+ y33 = d3 B1 B3 A2 y14 + y24 + y34 = d4 B4 x 1 + x 2 + x 3= 2 A3 y11 + y12 + y14 a1x1 y21 + y22 + y23 + y24a2x2 y32 + y33 + y34 a3x3 xi 为0－1， yij 0 3 3 4 混合整数规划 min Z bi xi Cij yij
解：先解(1)的松弛问题 X* =
4.809
1.817
Z* = -355.890， 下界Z*
选X1分枝 问题(2) (1) X1 4 问题(3) (1) X1 5
解为
X1 =4
X2 =2.1
Z= -349.0
解为
X1 =5
X2 =1.571
Z= -341.39
选(2)继续分枝 问题(4)
xi aik xk bi
k
②将 bi 和 aik 都分解成整数部分 N 与非负真分数 f 之和：
bi N i f i , 0 f i 1
aik N ik f ik ,0 f ik 1
N 表示不超过 b 的最大整数，如： 如 b＝3.30 则 N＝3，f＝0.30； 若 b＝－1.23 则 N＝－2，f＝0.77。
§5 整数线性规划
– 整数规划主要是指整数线性规划。一个线性规划问 题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整 数规划问题。 – 所有变量都要求为整数的称为纯整数规划或称全整 数规划； – 仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划； – 有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数 规划称为0－1规划。