2016-2017年黑龙江省鸡西市虎林高中高一上学期数学期末试卷带答案

2016-2017学年黑龙江省鸡西市虎林高中高一（上）期末数学试
卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00分）如果A={x|x＞﹣1}，那么正确的结论是（）
A．0⊆A B．{0}∈A C．{0}⊊A D．∅∈A
2．（5.00分）函数y=ln（1﹣x）的定义域为（）
A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1]D．[0，1]
3．（5.00分）设函数，则f[f（﹣1）]=（）
A．π+1 B．0 C．﹣1 D．π
4．（5.00分）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）
A．y=x3+x B．y=log a x C．y=3x D．y=﹣
5．（5.00分）下列不等式正确的是（）
A．a3＞a2（a＞0，且a≠1）B．0.30.8＞0.30.7
C．π﹣1＞e﹣1D．log34＞log43
6．（5.00分）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f （1）+g（﹣1）=4，则g（1）=（）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（5.00分）如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（）A．8：27 B．2：3 C．4：9 D．2：9
8．（5.00分）减函数f（x）=3ax﹣2a+1，若存在x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，则实数a的取值范围是（）
A．﹣1＜a＜B．a＜﹣1或a＞C．a＞D．﹣1＜a＜0
9．（5.00分）奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
10．（5.00分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）
A．B．C．D．
11．（5.00分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）
A．8cm3B．12cm3C．D．
12．（5.00分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f
（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）
A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．（20，24）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5.00分）函数f（x）=a x﹣1+3的图象恒过点．
14．（5.00分）若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=．15．（5.00分）函数f（x）=x2﹣4x+5在[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则
m的取值范围是．
16．（5.00分）若关于x的不等式4x﹣log a x＜0在区间（0，]上恒成立，则实数a的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10.00分）（1）
（2）．
18．（12.00分）A={x|2≤x≤6}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，
（1）A∪B，∁R（A∩B）
（2）若C={x|a﹣4＜x≤a+4}，且A⊆C，求a．
19．（12.00分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱．
（1）试用x表示圆柱的体积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．
20．（12.00分）已知定义在区间（﹣1，1）上的增函数f（x）=为奇函数，且f（）=
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
21．（12.00分）已知f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，
函数解析式为．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最值．
22．（12.00分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，求实数的取值范围（注：相等的实数根算一个）．
2016-2017学年黑龙江省鸡西市虎林高中高一（上）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00分）如果A={x|x＞﹣1}，那么正确的结论是（）
A．0⊆A B．{0}∈A C．{0}⊊A D．∅∈A
【解答】解：∵A={x|x＞﹣1}，
∴0∈A，故A错误；
{0}⊆A错误，故B错误；
{0}⊊A，故C正确；
∅∈A，故D错误；
故选：C．
2．（5.00分）函数y=ln（1﹣x）的定义域为（）
A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1]D．[0，1]
【解答】解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=
的定义域为[0，1）
故选：B．
3．（5.00分）设函数，则f[f（﹣1）]=（）
A．π+1 B．0 C．﹣1 D．π
【解答】解：∵函数，
∴f（﹣1）=0，
f[f（﹣1）]=f（0）=π．
故选：D．
4．（5.00分）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）
A．y=x3+x B．y=log a x C．y=3x D．y=﹣
【解答】解：对于A．定义域为R，f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x），即有f（x）为奇函数，
又f′（x）=3x2+1＞0，则f（x）在R上递增，故A满足条件；
对于B．则为对数函数，定义域为（0，+∞），则函数没有奇偶性，故B不满足条件；
对于C．则为指数函数，f（﹣x）≠﹣f（x），则不为奇函数，故C不满足条件；对于D．则为反比例函数，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，
且在（﹣∞，0）和（0，+∞）均为增函数，故D不满足条件．
故选：A．
5．（5.00分）下列不等式正确的是（）
A．a3＞a2（a＞0，且a≠1）B．0.30.8＞0.30.7
C．π﹣1＞e﹣1D．log34＞log43
【解答】解：对于A：令a=0.1，显然不正确；
对于B：由函数y=0.3x是减函数，得B不正确；
对于C：π＞e，显然＜，不正确；
对于D：log34＞1＞log43，正确，
故选：D．
6．（5.00分）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f （1）+g（﹣1）=4，则g（1）=（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
方程f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，
化为：﹣f（1）+g（1）=2，f（1）+g（1）=4，
两式相加可得2g（1）=6，
所以g（1）=3．
故选：B．
7．（5.00分）如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（）A．8：27 B．2：3 C．4：9 D．2：9
【解答】解：两个球的体积之比为8：27，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，
可知两球的半径比为2：3，
从而这两个球的表面积之比为4：9．
故选：C．
8．（5.00分）减函数f（x）=3ax﹣2a+1，若存在x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，则实数a的取值范围是（）
A．﹣1＜a＜B．a＜﹣1或a＞C．a＞D．﹣1＜a＜0
【解答】解：∵f（x）=3ax﹣2a+1，
当a≠0时，函数有且只有一个零点
若存在x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，
则f（﹣1）•f（1）＜0
即（﹣3a﹣2a+1）•（3a﹣2a+1）＜0
即（﹣5a+1）•（a+1）＜0
解得a＜﹣1或a＞，
故实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞，
故选：B．
9．（5.00分）奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞）C．（﹣1，0）∪
（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【解答】解：根据题意，可作出函数图象：
∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
故选：A．
10．（5.00分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），
故选：C．
11．（5.00分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）
A．8cm3B．12cm3C．D．
【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，
所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．
故选：C．
12．（5.00分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f
（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）
A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．（20，24）
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c∈（10，12）．
故选：C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5.00分）函数f（x）=a x﹣1+3的图象恒过点（1，4）．
【解答】解：f（x）=a x﹣1+3的图象可以看作把f（x）=a x的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，
且f（x）=a x一定过点（0，1），
则f（x）=a x﹣1+3应过点（1，4）
故答案为：（1，4）
14．（5.00分）若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=27．
【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过（2，8），
则有8=2a，∴a=3，即f（x）=x3，
∴f（3）=（3）3=27
故答案为：27
15．（5.00分）函数f（x）=x2﹣4x+5在[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是[2，4] ．
【解答】解：由题意知f（0）=5，f（2）=1，x=2是函数f（x）=x2﹣4x+5对称轴，如图
由函数的对称性知f（4）=5，
又函数f（x）=x2﹣4x+5在[0，m]上的最大值为5，最小值为1，
为了能取到最小值1，必有2∈[0，m]得m≥2
在[0，m]上的最大值为5，必有m≤4，因为自变量超过4，函数的最大值就大于5了
所以m的取值范围是[2，4]
故答案为[2，4]
16．（5.00分）若关于x的不等式4x﹣log a x＜0在区间（0，]上恒成立，则实数a的取值范围是（，1）．
【解答】解：当0＜x≤时，函数y=4x的图象如下图所示：
若不等式4x﹣log a x＜0在区间（0，]上恒成立，即不等式4x＜log a x恒成立，则y=log a x的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）
∵y=log a x的图象与y=4x的图象交于（，2）点时，a=
故虚线所示的y=log a x的图象对应的底数a应满足＜a＜1
故答案为：（，1）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10.00分）（1）
（2）．
【解答】解：（1）原式=．
（2）原式=．
18．（12.00分）A={x|2≤x≤6}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，
（1）A∪B，∁R（A∩B）
（2）若C={x|a﹣4＜x≤a+4}，且A⊆C，求a．
【解答】解：（1）A={x|2≤x≤6}，B={x|x≥3}，
∴A∩B={x|3≤x≤6}，
∴C R（A∪B）={x|x＜3或x＞6}；
（2）∵C={x|a﹣4＜x≤a+4}，且A⊆C，
∴，
∴2≤a＜6
19．（12.00分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱．
（1）试用x表示圆柱的体积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．
【解答】解：（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，
∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x
因此，内接圆柱的高h=6﹣3x；
∴圆柱的体积V=πx2（6﹣3x）（0＜x＜2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）由（1）得，圆柱的侧面积为
S侧=2πx（6﹣3x）=6π（2x﹣x2）（0＜x＜2）
令t=2x﹣x2，当x=1时t max=1．可得当x=1时，（S侧）max=6π
∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
20．（12.00分）已知定义在区间（﹣1，1）上的增函数f（x）=为奇函数，且f（）=
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【解答】解：（1）∵f（x）是在区间（﹣1，1）上的奇函数，
∴f（0）=b=0
又，
∴a=1∴
（2）∵f（t﹣1）+f（t）＜0，且f（x）为奇函数，
∴f（t）＜﹣f（t﹣1）=f（1﹣t）
又函数f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数∴，解得
故关于t的不等式的解集为．
21．（12.00分）已知f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，函数解析式为．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最值．
【解答】解：（Ⅰ）设x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]．∴f（x）=﹣=4x﹣2x
又∵f（﹣x）=﹣f（x）=﹣（4x﹣2x）∴f（x）=2x﹣4x．
所以，f（x）在[0，1]上的解析式为f（x）=2x﹣4x（6分）
（Ⅱ）当x∈[0，1]，f（x）=2x﹣4x=﹣（2x）2+2x，
∴设t=2x（t＞0），则y=﹣t2+t∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]
当t=1时x=0，f（x）max=0；当t=2时x=1，f（x）min=﹣2．
22．（12.00分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，求实数的取值范围（注：相等的实数根算一个）．
【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），代入f（x+1）﹣f（x）=2x，
得2ax+a+b=2x，对于x∈R恒成立，故，又由f（0）=1，得c=1，
解得a=1，b=﹣1，c=1，∴f（x）=x2﹣x+1．
（2）由方程f（x）=x+m得x2﹣2x+1﹣m=0，令h（x）=x2﹣2x+1﹣m，x∈（﹣1，
2），
即要求函数h （x ）在（﹣1，2）上有唯一的零点，
①h （﹣1）=0，则m=4，代入原方程得x=﹣1或3，不符合题意；
②若h （2）=0，则m=1，代入原方程得x=0或2，满足题意，故m=1成立； ③若△=0，则m=0，代入原方程得x=1，满足题意，故m=0成立； ④若m ≠4且m ≠1且m ≠0时，由得1＜m ＜4．
综上，实数m 的取值范围是{0}∪[1，4）．
赠送—高中数学知识点
【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念
①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，
n
n a a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
n
n a a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩． （2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n
m n
a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 11
()()(0,,,m m m n n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r
ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称
指数函数
定义
函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数
图象
1a >
01a <<
定义域 R
值域 (0,)+∞
过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
函数值的 变化情况
1(0)
1(0)1(0)
x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)
x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫
x
a y =x
y
(0,1)
O
1
y =x
a y =x
y (0,1)
O 1
y =
做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M
M N N
-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N
a N =
⑤
log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥
换
底
公
式
：
log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
函数 名称 对数函数
定义
函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数
图象
1a > 01a <<
定义域 (0,)+∞
值域 R
过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在(0,)+∞上是增函数
在(0,)+∞上是减函数
x y
O
(1,0)1x =
log a y x
=x
y
O (1,0)
1
x =log a y x
=
函数值的变化情况log0(1)
log0(1)
log0(01)
a
a
a
x x
x x
x x
>>
==
<<<
log0(1)
log0(1)
log0(01)
a
a
a
x x
x x
x x
<>
==
><<
a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．。