【测绘课件】05测量误差的基本知识

若d△ → 0时，则直方图成为误差概率曲线——正态分布 曲线。它服从于正态分布。
1)
正态分布曲线的方程式为：
f ()
1
2
e

2 2 2
(5 2)
式中：△为偶然误差； σ（>0）称为标准差，是与观测条件有关的一个参数。它 的大小可以 反映观测精度的高低。
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测量学 第五章
测量误差的基本知识
本 章 要 点
1、测量误差概念（重点） 2、评定精度的标准（重点） 3、误差传播定律（重点） 4、等精度直接观测平差（难点）
目

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录

2
第 第 第 第 四 三 二 一 节 节 节 节 接 观 等 定 误 的 评 概 测 测 精 律 差 指 定 述 量 传 标 精 误 平 度 播 度 差 差 直
限度等；
（3）根据精度要求，确定测量方案（选用测量仪器和确 定测量方法）。
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5.1.2、 测量误差的分类 测量误差按其性质可分为
• 系统误差 • 偶然误差
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1wenku.baidu.com系统误差
系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
第五章测量误差的基本知识
§5-1 测量误差概述
5.1.1 测量误差及其来源
误差存在的现象:观测值与理论值不符，如高差闭合差fh。
测量误差：观测值与相应真值之差。
观测值: 测量所获得的数值。
真误差(△)关系式 真误差 =观测值L –真值X ， 例： =（L1+L2+L3）- 180° 即 = L – X 或
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一、中误差
式（ 5-3）定义的标准差是衡量精度的一种指标，是理论 上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实 际应用中，以有限次观测个数 n计算出标准差的估值定义为 中误差m，作为衡量精度的一种标准，计算公式为：
[] ˆ m n
偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定 2019/2/2 9 第五章测量误差的基本知识 的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。
错误

测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现 错误（有时也称之为粗差）。


错误产生的原因：较多
可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、 读数被记录员记错、照错了目标等；
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误差理论研究的主要对象——偶然误差
在测量的成果中： 错误可以发现并剔除， 系统误差能够加以改正， 偶然误差是不可避免的，它在测量成 果中占主导地位， 测量误差理论主要是处理偶然误差的 影响。
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所有区间的矩形构成了直方图，如图5-1所示
统计表和直方图是偶然误差的实际分布。
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有斜线的矩形面积：
为误差出现在+6 +9 之间的频率(0.069)
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3、误差概率分布曲线----正态分布曲线
当直方图中： n →∞，d△各区间的频率也就趋于一 个完 全确定的数值——概率.
系统误差的特点： 具有累积性，对测量结果影响较大，应 尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。
例：水准测量中LL//CC产生
的i角误差对尺读数的影响：
即 = a´ – a = S tgi 随着S 的增长而加大----系统误差
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系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大， 必须消除 系统误差消减方法 1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
n
(5 5)
（ 1 2 n i）
i
n
在数理统计中，(5-5)式也称偶然误差的数学期望为零，用公式 2019/2/2 20 第五章测量误差的基本知识 表示： E(△)=0.
4)
不同精度的误差分布曲线：
如图5-3：曲线Ⅰ、Ⅱ对应着不同观测条件得出的两组误差 分布曲线。
误差理论研究的主要对象
在测量的成果中: 错误可以发现并剔除，
系统误差能够加以改正，
而偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占 主导地位，所以测量误差理论主要是处理偶然误 差的影响。
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5.1.3偶然误差的特性
偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机 误差 偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具 有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变 量。 偶然误差分布的表示方法
表格法 直方图法 误差概率分布曲线----正态分布曲线
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1、 表格法
图5-J1
例如： 在相同观测条件下观测了 217个三角形（见图 5-J1） 的内角，每一个三角形内角和的真误差为三内角 观测值的和减去180°， 即：Δ=α+β+γ-180°。 将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区 间d△（如表5-1中的3″）； 统计出每一个小区间出现的误差个数k及频率， 频率 = 个数k/总数n（n=217），得出统计表。
§5-2
评定精度的指标
精度——是指一组观测值的密集与离散程度，也 可说是一组观测值的误差的密集与离散程度。 例:对A边三次丈量值为56.882, 56.885, 56.884 后对 A边丈量了三次 为56.882, 56.883, 56.883，可以看出：
前者离散度大 ,精度低;后者离散度小，精度高。但为 了准确评定观测结果的精度，需要有一些确定的指标。 评定精度的指标: 中误差、相对误差、极限误差和容许误差
例：前后视距相等——水准测量中i角误差对h的影响、
球气差对h的影响及调焦所产生的影响。 盘左盘右取均值——经纬仪的CC不垂直于HH；HH不垂 直于VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。 水准测量往返观测取均值——仪器和尺垫下沉对h的影响。
2、找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。
例：光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。 3、仔细检校仪器。
曲线I 较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，
因而观测精度较高。 曲线II较为平 缓，即离散度较 大，因而观测精 度较低。
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如图5-3中，曲线Ⅰ、Ⅱ对应着不同观测条件得出的 两组误差分布曲线。 1 1 当△=0 时， f1 () f 2 ( ) 1 2 2 2 上式是两误差分布曲线的峰值。 其中曲线Ⅰ的峰值较曲线Ⅱ的高，即σ1<σ2 ，故 第Ⅰ组观测的小误差出现的概率较第Ⅱ组的大。 由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等 于 1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出 现的概率必然要小。 曲线 I 表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离 散度较小，因而观测精度较高。 曲线II相对来说较为平缓，即离散度较大，因而 观测精度较低。

绝对值相等的正、负误差出现的个数和 频率大致相等； 最大误差不超过27″。

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2、直方图法

横坐标—以偶然误差为横坐标， 纵坐标—以频率 d△(频率/组距)为纵坐标， 在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形， 各矩形的面积 = 误差出现在该区间的频率(K n )
3) 偶然误差的四个特性

特性一 有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不 会超过一定的限值；

特性二 集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出 现的概率大；
特性三 同； 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相


lim 0
n
特性四 抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平 均值趋近于零。即:
图5j12011227第五章测量误差的基本知识14表表5511三角形内角和真误差统计表正误差三角形内角和真误差统计表误差区间d负误差合计个数k频率kn个数k频率kn个数k频率kn0336699121215151818212124242727以上合计302115141285210108013800970069006500550037002300090005004982920181610862000134009200830073004600370028000900050259413330221611410027201890152013801010074005100180005010001092172011227第五章测量误差的基本知识15从表51中可以看出该组误差的分布表现出如下规律小误差出现的个数比大误差多绝对值相等的正负误差出现的个数和频率大致相等最大误差不超过27
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= X – L （亦可）
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观测误差来源：来源于以下三个方面：
观测者的视觉器官的鉴别能力和技术水平；仪器、 工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。
观测条件
观测条件：观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变 化这三个方面综合起来称为～ 。 观测条件与观测成果精度的关系： 若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高； 若观测条件不好，则测量误差大，精度就低； 若观测条件相同，则可认为观测精度相同。 等精度观测：在相同观测条件下进行的一系列观测 不等精度观测:在不同观测条件下进行的一系列观测
频 率 k/n 0.138 0.097 0.069 0.065 0.055 0.037 0.023 0.009 0.005 0 0.498
个 数k 29 20 18 16 10 8 6 2 0 0 109
频 率 k/n 0.134 0.092 0.083 0.073 0.046 0.037 0.028 0.009 0 0 0.502
•
• •
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第五章测量误差的基本知识
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表5-1 三角形内角和真误差统计表
误差区间 正 误 差 负 误 差 合 计
d△ 0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 15″～18″ 18″～21″ 21″～24″ 24″～27″ 27″以上 合 计
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个数 k 30 21 15 14 12 8 5 2 1 0 108
个 数k 59 41 33 30 22 16 11 4 1 0 217
频 率k/n 0.272 0.189 0.152 0.138 0.101 0.074 0.051 0.018 0.005 0 1.000
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第五章测量误差的基本知识
从表5-1中可以看出， 该组误差的分布表现出如下规律：

小误差出现的个数比大误差多；
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研究误差理论的目的
由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论 不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生
和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一些实
际问题。
研究误差理论所解决的问题：
（1）在一系列的观测值中，确定观测量的最可靠值； （2）如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的
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例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
2．偶然误差
偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系 列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即 从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称 为 ～。 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感觉器官能 力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中 不能控制的因素 ( 如不断变化着的温度、风力等外界环境 ) 所 造成。 偶然误差的规律：偶然误差在测量过程中是不可避免的， 从单个误差来看，其大小和符号没有一定的规律性，但对大 量的偶然误差进行统计分析，就能发现在观测值内部却隐藏 着统计规律。

(5 6)
注意：在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误 差出现的大小和符号各异，而观测值的中误差却是相同 的，因为中误差反映观测的精度： 只要观测条件相同，则中误差不变。 中误差代表的是一组观测值的误差分布。


也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；
还有可能是容许误差取值过小造成的。 错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不 允许有错误存在。


发现错误的方法：进行必要的重复观测，通过多余观测 条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各 种测量规范进行作业等。 2019/2/2 10 第五章测量误差的基本知识
标准差σ定义为：
lim
n
[] n
(5 3)
2)
误差概率曲线：叫作偶然误差的理论分布 (见图5-2) 误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1
图5-2 的误差分
布曲线是对应
着某一观测条 件的，当观测
条件不同，其
相应的误差分 布曲线的形状
也随之改变。
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