高中数学 第二章 数列 2.2 习题课——等差数列习题课练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高

习题课——等差数列习题课
课时过关·能力提升
1在等差数列{a n }中,已知a 1=1
3,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50
B.49
C.56
D.51
d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=1
3,所以d=2
3,所以a n =1
3+(n-1)×2
3=37,所以n=56.
2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24
D.a 24和a 25
a n+1=a n -2
3,所以数列{a n }是公差为-2
3的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-2
3).因为a 23=1
3,a 24=-1
3,所以a 23a 24<0.
3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数
n 是()
A .4或5
B .5或6
C .6或7
D .不存在
d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,
∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,
∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.
4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005
B.4 006
C.4 007
D.4 008
a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且
|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=
4006(a 1+a 4006)
2
>0.所以使S n >0成
立的最大正整数n 是4006.
5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.100
6已知f (n+1)=f (n )-1
4(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.
a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=
10-a 4
.
∴f (101)=a 101=-91
4. -91
4
7设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.
S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),
①
即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②
则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.
故S=36.
8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.
,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.
9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.
,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -
S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.
10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.
因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,
所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=
a 17-a 917-9
=3
2.
首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32
n-632
. 若前n 项和S n 最小,则{
a a ≤0,
a a +1≥0,
即{3a
2
-
632
≤0,
32
(a +1)-632
≥0,
所以n=20或n=21.
故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =3
2
n-63
2≤0,得n ≤21.
所以当n ≤21时,T n =-S n =3
4(41n-n 2
), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n
=S n -2S 21=3
4(n 2-41n )+630.
★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a a
a
+2(n-1)(n∈N+).
(1)求数列{a n}的通项公式a n;
(2)是否存在正整数n,使得a1
1+a2
2
+…+a a
a
-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.
S n=na n-2(n-1)n.
n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.
(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.
∴a a
a
=2n-1.
故a1
1+a2
2
+…+a a
a
=n2,∴n2-(n-1)2=2015,
解得n=1008.
故存在n=1008满足题意.
★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a a
a
)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;
(2)T n是数列{3
a a a a+1}的前n项和,求证:3
7
≤T n<1
2
.
由题意得,a a
a
=3n-2,即S n=3n2-2n,
当n≥2时,a n=S n-S n-1
=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]
=6n-5;
当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).
又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.
(2)由(1)知,设b n=3
a a a a+1
,
则b n=3
a a a a+1=3
(6a-5)[6(a+1)-5]
=1 2(1
6a-5
-1
6a+1
),
故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤1
7,故
3
7≤T n <1
2.。