2.3 三角形的内切圆-2020浙教版九年级数学下册习题课件(共25张PPT)
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2.3 三角形的内切圆
1．如图 2－3－1，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点 O 是△ABC 的( B )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
图2－3－1
2.如图 2－3－2，已知△ABC 的内切圆⊙O 与各边分别相切于点 D，E，F，那么点 O
＋
BC)
，
∴r
＝
AC·BC AB＋AC＋BC
＝8＋8×151＋517＝3，∴直径为
6
步．故选 C.
第9题答图
10．[2018·威海]如图 2－3－9，在扇形 CAB 中，CD⊥AB，垂足为 D，⊙E 是△ACD 的内切圆，连结 AE，BE，则∠AEB 的度数为__1_3_5__°_．
图 2－3－9
第 7 题答图
8．如图 2－3－7，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，∠C＝90°，BC ＝3，AC＝4. (1)求△ABC 的面积； (2)求⊙O 的半径； (3)求 AF 的长．
图 2－3－7
解：(1)∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴S△ABC＝12×3×4＝6； (2)如答图，连结 OE，OD，OF. ∵⊙O 为△ABC 的内切圆，D，E，F 为切点， ∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC. 又∵∠C＝90°，OD＝OE， ∴四边形 ECDO 为正方形， 设 OE＝OD＝CE＝CD＝x， 则 EB＝3－x，AD＝4－x，FB＝3－x，AF＝4－x.
(2)∵AC＝AB，CE＝BE，
∴AE⊥BC，∠FAO＝∠DAO，
∵AF＝AD，∴FM＝DM，AE⊥DF，
∴AE 过圆心 O，DF∥BC，
∴AF∶AC＝DF∶BC，即 4∶6＝DF∶4，
∴DF＝83，∴FM＝43，
∴AM＝
AF2－FM2＝83
2 .
图 2－3－11
解：(1)如答图，连结 OF，OE，OD.
∵△ABC 外切于⊙O，切点分别为 D，E，F，
∴BF＝BD，CE＝CD，
∴BF＋CE＝BD＋CD＝BC＝7；
(2)如答图，连结 OA.
∵△ABC 外切于⊙O，切点分别为 D，E，F， ∴∠OAE＝12∠BAC＝30°，
第 12 题答图
AE＝AF＝ 3× 3＝3，
【解析】 连结 CE， ∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°， ∵⊙E 内切于△ADC， ∴∠EAC＋∠ECA＝45°，∴∠AEC＝135°， 易证△AEC≌△AEB， ∴∠AEB＝∠AEC＝135°.
11．如图 2－3－10，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F， 且 AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求 AF，BD，CE 的长．
3 5.
6.如图 2－3－6，⊙O 为△ABC 的内切圆，D，E，F 为切点，∠DOB＝73°，∠DOE ＝120°，则∠DOF＝__1_4__6_°___，∠C＝___6_0_°___，∠A＝__8_6__°___．
图 2－3－6
3 7．边长为 1 的正三角形的内切圆半径为___6____. 【解析】 如答图，∵AB＝12，∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，∴在 Rt△OAB 中，OB ＝AB·tan30°＝ 63.
是△DEF 的( C )
A．三条中线的交点
B．三条高线的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
图2－3－2
3．如图 2－3－3，⊙O 内切于△ABC，切点为 D，E，F，若∠B＝50°，∠C＝60°， 连结 OE，OF，DE，DF，则∠EDF 等于( B )
A．45° C．65°
B．55° D．70°
图 2－3－5
第 5 题答图 【解析】 如答图，连结 OB，作 OD⊥BC 于 D，∵⊙O 与等边三角形 ABC 的两边 AB，BC 都相切，
∴∠OBC＝∠OBA＝12∠ABC＝30°，∴tan∠OBC＝OBDD，∴BD＝taOnD30°＝ 33＝3， 3
∴CD＝BC－BD＝8－3＝5，∴tan∠OCB＝OCDD＝
∴△ABC 的周长是 AB＋BC＋AC＝AF＋AE＋CE＋BF＋BC＝3＋3＋7＋7＝20.
13．已知△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，AC 分别相切于点 D，E，F，若E︵F＝D︵E， 如图 2－3－12①.
图 2－3－12
(1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论； (2)设 AE 与 DF 相交于点 M，如图②，AF＝2FC＝4，求 AM 的长． 解：(1)等腰三角形． 证明：∵AC，AB，BC 是⊙O 的切线， ∴∠BDO＝∠BEO＝∠CFO＝∠CEO＝90°. ∵E︵F＝D︵F，∴∠EOF＝∠EOD， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC， 即△ABC 是等腰三角形；
勾(短直角边)长为 8 步，股(长直角边)长为 15 步，问该直角三角形能容纳的圆形(内
切圆)直径是多少？”( C )源自A．3 步B．5 步
C．6 步
D．8 步
图2－3－8
【解析】 如答图，∵BC＝8，AC＝15，∴AB＝ 82＋152＝
17.∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·r＋12AC·r＋12BC·r＝12r(AB＋AC
图 2－3－4 【解析】 ∵⊙O 内切于△ABC， ∴BO 平分∠ABC，∠ODB＝90°， ∵∠ABC＝40°，∴∠OBD＝20°， ∴∠BOD＝70°.
5．[2019·常州]如图 2－3－5，半径为 3的⊙O 与边长为 8 的等边三角形 ABC 的两边 3
AB，BC 都相切，连结 OC，则 tan∠OCB＝____5___．
图 2－3－10
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x(cm)，BF＝BD＝y(cm)，CE＝CD＝z(cm)．
由题意，得xy＋＋zy＝＝194，，解得yx＝＝54，， x＋z＝13， z＝9，
∴AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm.
12．如图 2－3－11，△ABC 外切于⊙O，切点分别为 D，E，F，∠A＝60°，BC＝7， ⊙O 的半径为 3.求： (1)BF＋CE 的值； (2)△ABC 的周长．
第8题答图
又∵AB＝ AC2＋BC2＝5， ∴3－x＋4－x＝5， 解得 x＝1.即⊙O 的半径为 1； (3)∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题：“今有勾八
步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形(如图 2－3－8)，
图 2－3－3
【解析】 ∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°， ∴∠EDF＝12∠EOF＝55°.
4．[2018·湖州]如图 2－3－4，已知△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连结 OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD 的度数是__7_0_°___．
1．如图 2－3－1，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点 O 是△ABC 的( B )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
图2－3－1
2.如图 2－3－2，已知△ABC 的内切圆⊙O 与各边分别相切于点 D，E，F，那么点 O
＋
BC)
，
∴r
＝
AC·BC AB＋AC＋BC
＝8＋8×151＋517＝3，∴直径为
6
步．故选 C.
第9题答图
10．[2018·威海]如图 2－3－9，在扇形 CAB 中，CD⊥AB，垂足为 D，⊙E 是△ACD 的内切圆，连结 AE，BE，则∠AEB 的度数为__1_3_5__°_．
图 2－3－9
第 7 题答图
8．如图 2－3－7，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，∠C＝90°，BC ＝3，AC＝4. (1)求△ABC 的面积； (2)求⊙O 的半径； (3)求 AF 的长．
图 2－3－7
解：(1)∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴S△ABC＝12×3×4＝6； (2)如答图，连结 OE，OD，OF. ∵⊙O 为△ABC 的内切圆，D，E，F 为切点， ∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC. 又∵∠C＝90°，OD＝OE， ∴四边形 ECDO 为正方形， 设 OE＝OD＝CE＝CD＝x， 则 EB＝3－x，AD＝4－x，FB＝3－x，AF＝4－x.
(2)∵AC＝AB，CE＝BE，
∴AE⊥BC，∠FAO＝∠DAO，
∵AF＝AD，∴FM＝DM，AE⊥DF，
∴AE 过圆心 O，DF∥BC，
∴AF∶AC＝DF∶BC，即 4∶6＝DF∶4，
∴DF＝83，∴FM＝43，
∴AM＝
AF2－FM2＝83
2 .
图 2－3－11
解：(1)如答图，连结 OF，OE，OD.
∵△ABC 外切于⊙O，切点分别为 D，E，F，
∴BF＝BD，CE＝CD，
∴BF＋CE＝BD＋CD＝BC＝7；
(2)如答图，连结 OA.
∵△ABC 外切于⊙O，切点分别为 D，E，F， ∴∠OAE＝12∠BAC＝30°，
第 12 题答图
AE＝AF＝ 3× 3＝3，
【解析】 连结 CE， ∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°， ∵⊙E 内切于△ADC， ∴∠EAC＋∠ECA＝45°，∴∠AEC＝135°， 易证△AEC≌△AEB， ∴∠AEB＝∠AEC＝135°.
11．如图 2－3－10，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F， 且 AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求 AF，BD，CE 的长．
3 5.
6.如图 2－3－6，⊙O 为△ABC 的内切圆，D，E，F 为切点，∠DOB＝73°，∠DOE ＝120°，则∠DOF＝__1_4__6_°___，∠C＝___6_0_°___，∠A＝__8_6__°___．
图 2－3－6
3 7．边长为 1 的正三角形的内切圆半径为___6____. 【解析】 如答图，∵AB＝12，∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，∴在 Rt△OAB 中，OB ＝AB·tan30°＝ 63.
是△DEF 的( C )
A．三条中线的交点
B．三条高线的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
图2－3－2
3．如图 2－3－3，⊙O 内切于△ABC，切点为 D，E，F，若∠B＝50°，∠C＝60°， 连结 OE，OF，DE，DF，则∠EDF 等于( B )
A．45° C．65°
B．55° D．70°
图 2－3－5
第 5 题答图 【解析】 如答图，连结 OB，作 OD⊥BC 于 D，∵⊙O 与等边三角形 ABC 的两边 AB，BC 都相切，
∴∠OBC＝∠OBA＝12∠ABC＝30°，∴tan∠OBC＝OBDD，∴BD＝taOnD30°＝ 33＝3， 3
∴CD＝BC－BD＝8－3＝5，∴tan∠OCB＝OCDD＝
∴△ABC 的周长是 AB＋BC＋AC＝AF＋AE＋CE＋BF＋BC＝3＋3＋7＋7＝20.
13．已知△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，AC 分别相切于点 D，E，F，若E︵F＝D︵E， 如图 2－3－12①.
图 2－3－12
(1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论； (2)设 AE 与 DF 相交于点 M，如图②，AF＝2FC＝4，求 AM 的长． 解：(1)等腰三角形． 证明：∵AC，AB，BC 是⊙O 的切线， ∴∠BDO＝∠BEO＝∠CFO＝∠CEO＝90°. ∵E︵F＝D︵F，∴∠EOF＝∠EOD， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC， 即△ABC 是等腰三角形；
勾(短直角边)长为 8 步，股(长直角边)长为 15 步，问该直角三角形能容纳的圆形(内
切圆)直径是多少？”( C )源自A．3 步B．5 步
C．6 步
D．8 步
图2－3－8
【解析】 如答图，∵BC＝8，AC＝15，∴AB＝ 82＋152＝
17.∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·r＋12AC·r＋12BC·r＝12r(AB＋AC
图 2－3－4 【解析】 ∵⊙O 内切于△ABC， ∴BO 平分∠ABC，∠ODB＝90°， ∵∠ABC＝40°，∴∠OBD＝20°， ∴∠BOD＝70°.
5．[2019·常州]如图 2－3－5，半径为 3的⊙O 与边长为 8 的等边三角形 ABC 的两边 3
AB，BC 都相切，连结 OC，则 tan∠OCB＝____5___．
图 2－3－10
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x(cm)，BF＝BD＝y(cm)，CE＝CD＝z(cm)．
由题意，得xy＋＋zy＝＝194，，解得yx＝＝54，， x＋z＝13， z＝9，
∴AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm.
12．如图 2－3－11，△ABC 外切于⊙O，切点分别为 D，E，F，∠A＝60°，BC＝7， ⊙O 的半径为 3.求： (1)BF＋CE 的值； (2)△ABC 的周长．
第8题答图
又∵AB＝ AC2＋BC2＝5， ∴3－x＋4－x＝5， 解得 x＝1.即⊙O 的半径为 1； (3)∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题：“今有勾八
步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形(如图 2－3－8)，
图 2－3－3
【解析】 ∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°， ∴∠EDF＝12∠EOF＝55°.
4．[2018·湖州]如图 2－3－4，已知△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连结 OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD 的度数是__7_0_°___．