高考理数真题训练04 导数及其应用(解答题)(原卷版)

专题04 导数及其应用（解答题）

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2

()e x f x ax x =+-.

（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥

12

x 3

+1，求a 的取值范围. 2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2

() sin sin2f x x x =．

（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；

（2）证明：()8

f x ≤

； （3）设*

n ∈N ，证明：2

2

2

2

sin sin 2sin 4sin 234

n

n n

x x x

x ≤．

3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (1

2

))处的切线与y 轴垂直． （1）求B ．

（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．

4．【2020年高考天津】已知函数3

()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数．

（Ⅰ）当6k =时，

（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（ii ）求函数9

()()()g x f x f x x

'=-+

的单调区间和极值； （Ⅰ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有

()()()()

121212

2f x f x f x f x x x ''+->

-． 5．【2020年高考北京】已知函数2

()12f x x =-．

（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；

（Ⅰ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．

6．【2020年高考浙江】已知12a <≤，函数()e x f x x a =--，其中e=2.71828…是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点； （Ⅰ）记x 0为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：

（Ⅰ0x ≤≤； （Ⅰ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．

7．【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线

MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式2

1140

h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3

216800

h b b =-

+.已知点B 到OO '的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．.桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价3

2

k (万元)(k >0)，问O E '为多少米时，桥墩CD

与EF 的总造价最低？

8．【2020年高考江苏】已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有

()()()f x h x g x ≥≥．

（1）若()()22

2 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，

，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，

，求k 的取值范围；

（3）若()

422342

() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，

[]

, D m n =⊆⎡

⎣，

求证：n m -

9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数1

()e ln ln x f x a x a -=-+．

（1）当e a =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．

10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：

（1）()f x '在区间(1,)2

π

-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．

11．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()1

1

ln x f x x x -=-

+.

（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；

（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x

y =的切线.

12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32

()2f x x ax b =-+.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.

13．【2019年高考北京理数】已知函数3

21()4

f x x x x =

-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；

（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．

14．【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()x

f x x

g x =为()f x 的导函数．

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π

⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭

；

（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫

π+

π+ ⎪⎝⎭

内的零点，其中n ∈N ，证明200

22sin c s e o n n n x x x -π

ππ+-<

-．

15．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +

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