广东省茂名市高三数学第二次模拟试题 文(含解析)

茂名市2016年第二次高考模拟考试
数学试卷（文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，24小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回. 参考公式：锥体的体积公式是：1
3V S h =
•锥体底
，其中S 底是锥体的底面积，h 是锥体的高. 第一部分 选择题（共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{1,2,5}A =，{}1,3,5U C B =，则A B =I （ ）
A ．{5}
B ．{2}
C ．{1,2,4,5}
D ．{3,4,5}
答案:B
解析：由{}1,3,5U C B =得：B ＝{}24，
，故A B =I {2}。

2．已知Z=
i
i
+12 (i 为虚数单位),则Z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
答案:D
解析：因为Z=
i i +12＝2(1)(1)(1)
i i i i -+-＝1＋i ，Z 的共轭复数为1－i ，在第四象限。

3.已知非零向量()
2
1,1a m m =-+r 与向量()1,2b =-r 平行，则实数m 的值为（ ）
A ．1-或21
B ． 1或2
1
- C ． 1- D ． 21 答案:D
解析：因为两向量平行，所以，2
2(1)(1)0m m ---+=，解得m ＝－1或
1
2
，当m ＝－1时，a r
为零向量，不符合题意，故选D 。

4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )
A ．1
B ．
23 C ．13
21
D ．610987
答案:C
解析：执行步骤如下： 第1步：S ＝
23，i ＝1；第2步：S ＝1321
，i ＝2；退出循环。

5．设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 若2a =
，c =，2
1
sin =
A ，且b c <，则=
B （ ） A ．
6π B ．3
π
C ．2
π
D ．32π
答案:A
解析：由正弦定理，得：
212
=
，即sin C =C ＝60°或120°， 而A ＝30°，当C ＝60°时，B ＝90°，不符合b ＜c °， 当C ＝120°时，B ＝30°符合，故选A 。

6．设数列}{n a 是等差数列，n S 为其前n 项和.若368S S =，853=-a a ，则20a =（ ）
A ．4 B.36 C.74- D.80 答案:C
解析：依题意，得：1111
6158(33)(2)(4)8a d a d a d a d +=+⎧⎨+-+=⎩，解得：12
4a d =⎧⎨=-⎩，所以，20a ＝－74
7．设函数⎩
⎨
⎧≥<-+=-)1(,3)
1(),2(log 1)(1
3x x x x f x ,则=+-)12(log )7(3f f ( ) A ．7 B.9 C.11 D.13 答案:A
解析：3(7)1log 9f -=+＝3，
因为333log 12log (34)1log 4=⨯=+，所以3(log 12)f ＝3log 4
3＝4
所以，=+-)12(log )7(3f f 3＋4＝7。

3
3
4
俯视图
侧视图
正视图
第10题图
8．已知命题p ⌝:存在x ∈(1,2)使得0x
e a ->,若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）
A. (-∞,e )
B. (-∞, e ]
C. (2
e ,+∞) D. [2e ,+∞) 答案:D
解析：因为p 是真命题，所以，p ⌝为假命题，所以，(1,2)x ∀∈，有0x
e a -≤， 即x
a e ≥，又x
y e =在（1,2）上的最大值为2e ，所以2
a e ≥。

9. 已知函数()()sin f x A ωx φ=+002πA ωφ⎛
⎫>>< ⎪⎝
⎭，，的部分图象如图所示，
若将()f x 图像上的所有点向右平移
12
π
个单位得到函数()g x 的图像， 则函数()g x 的单调递增区间为（ ）
A ．[,]36
k k π
π
ππ-
+,k Z ∈ B ． 2[+,]63k k ππππ+
,k Z ∈ C ．[,]1212k k ππππ-+,k Z ∈ D ． 7[,]1212
k k ππππ--,k Z ∈
答案:A
解析：由图可知：A ＝2，T ＝4()3
12
π
π
-
＝
2π
ω
，所以，2ω=，
又2sin(2)03
π
ϕ⨯
+=，得3
π
ϕ=
，
所以，()2sin(2)3f x x π
=+，向右平移12
π
个单位得到函数()g x ＝2sin(2)6x π+， 由2222
6
2
k x k π
π
πππ-
+<+
<
+，得3
6
k x k π
π
ππ-
+<<
+，所以，选A
10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )
A ．31π
B ． 32π
C ． 34π
D ．36π 答案:C
解析：由三视图知，该几何为一侧棱垂直于底面的四棱锥，底面为正方形，它这个四棱锥补回长方体，知其外接球半径为长方体的对角线的一半， 长方体的对角线长为：22233434++=，所以，外接球表面积为：
第9题图
2
42π⎛⨯ ⎝⎭
＝34π.
11．《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2
136
V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式2
275
V L h ≈
相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．227 B ．258 C ．15750
D ．
355
113
答案:B
解析：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则h r h r r l 22
)2(7523
1,2πππ==，所以8
25
=
π.故选B
12．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若3AF FB =u u u r u u u r
，O 为坐标
原点，则△AOB 的面积为( )
A B C D 答案:C
解析：抛物线x y 42
=的焦点为)0,1(，设直线l 的方程为：1+=my x ，代入抛物线方程可
得0442
=--my y .设),(),,(2211y x B y x A ，则4,42121-=⋅=+y y m y y ，
由3AF FB =u u u r u u u r ，得213y y -=，则3
12
=m ，
||||2
1
21y y OF S AOB -⋅=
∴∆=.3341616214)(21221221=+=⋅-+m y y y y 故选C
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．已知直线l 过圆()2
2
34x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程
为 . 答案:30x y -+=
解析：直线10x y ++=化为1y x =--，所直线与它垂直，所以，所求直线的斜率为：k ＝1，又圆心为（0,3），由点斜式可得：30x y -+=
14．实数,x y满足
10
30
330
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪+-≥
⎩
，则1
z x y
=++的最大值为
.
答案:4
解析：画出不等式组表示的平面区域，如下图所示，三角形ABC为所求，目标函数化为1
y x z
=--+，当经过点B（1,2）时，最大值为4。

15．设△ABC的内角为A，B，C，所对的边分别是a，b，c.若ab
c
b
a
c
b
a=
+
+
-
+)
)(
(，则角C=__________.
答案:
3
2π
解析：由ab
c
b
a
c
b
a=
+
+
-
+)
)(
(，得222
a b c ab
+-=-，
2221
cos
22
a b c
C
ab
+-
==-，所以，C＝
3
2π
16．设函数)
('x
f是奇函数()()
f x x R
∈的导函数，0
)1
(=
-
f，当0
x>时，
)
(
)
('<
-x
f
x
xf，则使得()0
f x>成立的x的取值范围是 .
答案:(,1)(0,1)
-∞-U
解析：记函数
()
()
f x
g x
x
=，则
'
'
2
()()
()
xf x f x
g x
x
-
=，因为当0
x>时，'()()0
xf x f x
-<，故当0
x>时，'()0
g x<，所以()
g x在(0,)
+∞单调递减；又因为函数()()
f x x R
∈是奇函数，故函数()
g x是偶函数，所以()
g x在(,0)
-∞单调递减，且
(1)(1)0
g g
-==．当01
x
<<时，()0
g x>，则()0
f x>；当1
x<-时，()0
g x<，则()0
f x>，综上所述，使得()0
f x>成立的x的取值范围是(,1)(0,1)
-∞-U.
三、解答题:本大题共 8小题，满分 70 分。

解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且24a =，530S =，数列{}n b 满足
n n a nb b b =+++ΛΛ212.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1+⋅=n n n b b c ，求数列{}n c 的前n 项和n T . 解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由25430a S ==，得
由11454
5302
a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩……………………………………………………………………2分 解得1=22a d =，，………………………………………………………………………4分 故数列{}n a 的通项公式为：()2122n a n n =+-⨯=………………………………5分 （Ⅱ）由（1）可得122.......2n
b b nb n +++=①…………………………………………6分 所以当2n ≥时，1212.......(-1)2(1)n b b n b n -+++=-②……………………………7分
①-②得2n nb =，即2
n b n =
………………………………………………………………8分 又112b a ==也满足2n b n =，所以2n b n N n
+
=∈，.………………………………9分
)1
11(4)1(41+-=+=
⋅=∴+n n n n b b c n n n …………………………………………………10分
11111144(1)4(1)223111
n n
T n n n n ∴=-+-++-=-=+++L ………………………12分
18．（本小题满分12分）
2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：
现从该港口随机抽取了n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家. （Ⅰ）求,m n 的值；
（Ⅱ）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n 家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率.
解析：(Ⅰ)由已知可得;0.30+2m+m+0.10=1,解得：m=0.20. ……………………２分
……………………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家. ……………………６分
记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为a ,b ，则从中抽取2家公司，不同的结果为（Ａ，B ）（Ａ，C ）（Ａ，D ）（B ，C ）（B ，D ）（C ，D ）（Ａ，a ）（Ａ，b ）（B ，a ）（B ，b ）（C ，a ）（C ，b ）（D ，a ）（D ，b ）（a ，b ）…共15种，………８分
记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M ，则事件M 包含的结果有：（Ａ，B ）（Ａ，C ）（Ａ，D ）（B ，C ）（B ，D ）（C ，D ）…共6种，……………………１０分
……………………12分
19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，
1AB AA =，160o
BAA ∠=．
（Ⅰ）证明：1
AB AC ⊥； （Ⅱ）若1==CB AB ， 26
1=C A ，求三棱锥BC A A 1-的体积.
解析：（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连接CO ，1OA ，
1A B ．
CA CB
=Q ，
∴CO AB ⊥， (2)
分
又1AB AA =，160o
BAA ∠=．
1A AB ∴∆为等边三角形．
1A O AB ∴⊥，………….…….3分
1
1
又因为CO ⊂平面1COA ，1
AO ⊂平面1COA ，1
CO AO O =I
．
AB ∴⊥平面1COA ．………………………………………..………….5分
又1
AC ⊂平面1COA ，因此1AB A C ⊥；…………………………….6分 （Ⅱ）解：在等边ABC ∆中2
3
231=⨯=CO ，在等边1ABA ∆中232311=⨯=O A ； 在1A OC ∆中212
12
2
3
4343C A O A CO ==+=
+． ∴1A OC ∆是直角三角形，且190o
A OC ∠=，故O A CO 1⊥．……….….8分
由（Ⅰ）得CO AB ⊥
又AB ⊂平面1ABA ，⊂O A 1平面1ABA ，O O A AB =1I ，
⊥∴CO 平面1ABA ．
故CO 是三棱锥1ABA C -的高．……………………………..…………….9分 又4
360sin 11211=︒⨯⨯=
∆ABA S ． ∴8
1
23433131111=⨯⨯=⋅==∆--CO S V V ABA ABA C BC A A ……………….12分 （其他解法酌情给分）
20．（本小题满分12分）
如图，圆C 与x 轴相切于点)0,2(T ，与y 轴正半轴相交于两点,M N （点M 在点N 的下方），且3MN =．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）过点M 任作一条直线与椭圆22
184
x y +=相交于两点A B 、， 连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．
解析：解：（Ⅰ）设圆C 的半径为r （0r >），依题意，圆心坐标为),2(r .
第20题图
∵ 3MN =∴ 2
2
2322r ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，解得2254r =．⋅L L L L L 2分
∴ 圆C 的方程为()4252522
2
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+-y x ．⋅L L L L L 4分
（Ⅱ）把0=x 代入方程()4252522
2
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+-y x ，解得1=y 或4=y ，
即点)4,0(),1,0(N M ．⋅L L L L L 6分
（1）当y AB ⊥轴时，可知ANM BNM ∠=∠=0．
（2）当AB 与y 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为1+=kx y ．
联立方程⎩⎨
⎧=++=8
21
2
2y x kx y ，消去y 得，064)21(2
2=-++kx x k ．⋅L L L L L 8分
设直线AB 交椭圆于()()1122,,A x y B x y 、两点，则
221214k k x x +-=
+，2
2
1216
k x x +-=． ∴2
1212122112211)
(323344x x x x x kx x kx x kx x y x y k k BN AN +-=-+-=-+-=
+ 若0AN BN k k +=，即ANM BNM ∠=∠⋅L L L L L 10分
∵021122112)(322
22121=+-+-=+-k k
k k x x x kx ，
∴ ANM BNM ∠=∠．⋅L L L L L 12分
21．（本小题满分12分）
已知函数2
()ln ,f x x ax x a R =++∈.
(Ⅰ)当1=a 时，求函数)(x f 的图象在点(1，)1(f )处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数()f x 的单调区间；
(Ⅲ)已知0a <，对于函数()f x 图象上任意不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，其中
21x x >，直线AB 的斜率为k ，记(,0)N u ，若(12),AB AN λλ=≤≤u u u r u u u r
求证'().f u k <
解析：(Ⅰ)当1=a 时,x x x x f ++=2
ln )(
121
)('++=
∴x x
x f ⋅L L L L L 1分
4)1('=∴f
又2111ln )1(2
=++=f Θ⋅L L L L L 2分
∴函数)(x f 的图象在点(1，)1(f )处的切线方程为:)1(42-=-x y ,
即024=--y x ⋅L L L L L 3分 (Ⅱ)()f x 的定义域为(0,)+∞
2121
'()21ax x f x ax x x
++=++=⋅L L L L L 4分
当0a ≥时，'()0f x >在(0,)+∞上恒成立，()f x 在定义域内单调递增；⋅L L L L L 5分
当0a <时，令'()0,f x =
解得，14x a
-±=
a
a
x x 4811,0---=
∴>Θ
则x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；
1(
)4x a
--∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；⋅L L L L L 6分
综上，0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；
0a <时，()f x
的单调递增区间为1(0,
4a
-，
()f x
的单调递增区间为1(
)4a
--+∞ …….7分
（Ⅲ）证明：2221222111
2121
ln ln y y x ax x x ax x k x x x x -++---==
-- 21
1221
ln ln ()1x x a x x x x -=
+++-
1222(,0),(,),(,),(12)N u A x y B x y AB AN λλ=≤≤u u u r u u u r
Q
21211(1)(),x x x x u x u λλλ+-∴-=-∴=
， 又1'()21f x ax x
=++，2121(1)'()21(1)x x f u a x x λλλλ+-∴=+++- 21212121ln ln '()(2)()(1)x x a f u k x x x x x x λλλλ-∴-=
-+--+-- 21210,,12,(2)()0a a x x x x λλλ
<>≤≤∴--<Q 要证：'().f u k <，只需证212121
ln ln 0(1)x x x x x x λλ--<+-- 即证：212121()(ln ln )0(1)x x x x x x λλ---<+-，设21
1x t x => 令(1)()ln ,1
t g t t t λλ-=-+-则2222(22)(1)'(),(1)t t g t t t λλλλ-+-+--=+- 令222
()(22)(1),1,12h t t t t λλλλ=-+-+-->≤≤ 对称轴2(1)112
t λ-+=≤. ()(1)0,h t h <='()0g t ∴<，故()g t 在(1,)+∞内单调递减，则()(1)0,g t g <=故'()f u k <.
…….12分
请考生在第22 , 23 , 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分, 作答时请在答题卡中用2B 铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．
22．（本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点．
(Ⅰ)求证：DE∥AB；
(Ⅱ)求证：AC ⋅BC= 2AD ⋅CD ．
解析：
（Ⅰ）连接BD ，因为D 为弧BC 的中点，
所以BD DC =．
因为E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥．
因为AC 为圆的直径，所以90ABC ∠=︒，
第22题图
所以//AB DE ． …5分 （Ⅱ）因为D 为弧BC 的中点，所以BAD DAC ∠=∠，
又BAD DCB ∠=∠,则BCD DAC ∠=∠．又因为AD DC ⊥，DE CE ⊥，所以
DAC ∆∽ECD ∆． 所以AC AD CD CE
=，AD CD AC CE ⋅=⋅,2AD CD AC BC ∴⋅=⋅. …10分
23．（本题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2π4cos()103
ρρθ---=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是
cos ()sin x t t y t αα
=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数. (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B
两点，且||AB =，求直线的倾斜角α的值． 解析： （Ⅰ）由2
π
4cos()103
ρρθ---= 得圆C
的方程为22(1)(5x y -+-=……………………………………………4分
（Ⅱ）将cos sin x t y t αα
=⎧⎪⎨=⎪⎩代入圆的方程得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=…………5分 化简得22cos 40t t α--=……………………………………………………………6分 设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、,则12122cos 4t t t t α+=⎧⎨
=-⎩………………………7分
所以
12||||AB t t =-===8分 所以24cos 2α=,π3π44α=或…………………………………10分 24.(本小题满分10分)选修4-5；不等式选讲
已知函数()1,2f x x a x x R =-+-
∈ (Ⅰ)当52
a =时，解不等式()10f x x ≤+； (Ⅱ)关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的取值范围。

解析：
（Ⅰ）当52a =时，()123,21152,222
523,2x x f x x a x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=-+-=≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩
① 当12x <
时，由()10f x x ≤+得2310x x -+≤+，解得73x ≥-，此时7132x -≤<；…3分
② 当1522x ≤≤时，由()10f x x ≤+得210x ≤+，解得8x ≥-，此时1522
x ≤≤；..4分 ③ 当52x >
时，由()10f x x ≤+得210x ≤+，解得13x ≤，此时5132x <≤……..5分 综上，不等式()10f x x ≤+的解集为7133x x ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
………6分 (Ⅱ)由绝对值不等式的性质的()()111,222f x x a x x a x a ⎛⎫=-+-
≥---=-+ ⎪⎝⎭ ()f x ∴的最小值为12
a -+。

……..8分 由题意得12a a -+≥，解得14
a ≤， 所以，实数a 的取值范围为1,4
⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦………..10分。