2020年北京市海淀区中考数学一模试题(解析版)

2020年北京市海淀区中考数学一模试卷一．选择题
1. 2的相反数是（）
A. 2
B. －2
C. 1
2D. 1
2
-
【答案】B
【解析】
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2. 下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
【详解】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
B、长方体的主视图是矩形，符合题意；
C、球的主视图是圆形，不合题意；
D、该几何体的主视图是梯形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视图有一定的空间想象能力．
3. 北京故宫有着近六百年的历史，是最受中外游客喜爱的景点之一，其年接待量在2019年首次突破19000000人次大关．将19000000用科学记数法可表示为（ ）
A. 0.19×108
B. 0.19×107
C. 1.9×107
D. 19×106
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用科学记数法的定义结合科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，进而得出答案．
【详解】解：将19000000用科学记数法表示为：1.9×107．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 如图是北京大兴国际机场俯视图的示意图.下列说法正确的是（）
A. 这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B. 这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形
C. 这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 这个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，根据中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180°后得到的图形与原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，即可判断得出答案．
【详解】由图可知，图形关于中间轴折叠能完全重合，
\此图形是轴对称图形，
但绕中心旋转180°后，图形不能完全重合，
\此图形不是中心对称图形．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
5. 将抛物线2
y x
=向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）
2
A. 2
2(3)
=- D.
=- C. 2
y x
23
23
y x
=+ B. 2
y x
2
2(3)y x =+【答案】B
【解析】
【分析】根据“上加下减”即可求出平移后抛物线解析式．
【详解】解：根据“上加下减”即可求出向下平移3个单位长后的抛物线解析式为：2=23y x -．
故选：B ．
【点睛】本题考查了抛物线平移问题，熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．6. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若OC =12
OA ，则
∠C 等于（ ）
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
【答案】B
【解析】【分析】连接OB ，构造直角△，结合已知条件推知直角△ABO 的直角边OB 等于斜边OA 的一半，则∠A=30°．
【详解】如图，连接OB ．
∵AB 与⊙O 相切于点B ，
∴∠ABO=90°．
∵OB=OC ，12
OC OA =，
∴∠C=∠OBC ，OB=12
OA ，
∴∠A=30°，
∴∠AOB=60°，则∠C+∠OBC=60°，
∴∠C=30°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径；在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半．
7. 若实数m，n，p，q在数轴上的对应点的位置如图所示，且n与q互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是（ ）
A. 点M
B. 点N
C. 点P
D. 点Q 【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴可以得到实数m，n，p，q的大小关系，再根据n与q互为相反数，可以得到原点所在的位置，从而可以得到绝对值最大的数对应的点是哪个点．
【详解】解：由数轴可得，
p＜n＜m＜q，
∵n与q互为相反数，
∴原点在线段NQ的中点处，
∴绝对值最大的数对应的点是点P，
故选：C．
【点睛】考查实数与数轴、相反数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想．
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为a，且sin cos
a a
>，则点M所在的线段可以是( )
A. AB和CD
B. AB和EF
C. CD和GH
D. EF和
GH
【答案】D
【解析】
【分析】分情况考虑：先考虑点M 分别在边PQ 上的线段AB 和CD 上的情况，根据正弦、余弦函数的定义判断即可；再考虑点M 分别在边QR 上的线段EF 和GH 上的情况，根据正弦、余弦函数的定义判断即可．
【详解】如图，当点M 在线段AB 上时，连接OM ．
sin PM OM a =Q ，cos OP OM
a =，OP PM >，sin cos a a \<，
同法可证，点M 在CD 上时，sin cos a a <，
如图，当点M 在EF 上时，作MJ OP ^于J ．
sin MJ OM a =Q ，cos OJ OM
a =，OJ MJ <，sin cos a a \>，
同法可证，点M 在GH 上时，sin cos a a >，
故选：D ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角函数中正弦和余弦的定义，涉及到分类讨论，关
键是构造直角三角形，从而可在直角三角形中利用正余弦的定义进行．
二．填空题
9. 若代
数式1x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______．
【答案】1
x ³【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．
【详解】解：
范围内有意义，
∴x -1≥0，
解得x ≥1．
故答案为：x ≥1．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，且tan A =1
3，则AC =_____
．
【答案】6
【解析】
【分析】根据正切的定义列式计算，得到答案．
【详解】解：∵ tan A =13
，∴13BC AC =，即213
AC =，
解得，AC =6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切是解题的关键．
11. 分解因式：22ab ac -=_________________________．
【答案】()()a b c b c +-．
【解析】
【详解】试题分析：原式=22()a b c -=()()a b c b c +-，故答案为()()a b c b c +-．考点：提公因式法与公式法的综合运用．
12. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
【答案】9
【解析】
【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．
故答案为：9．
13. 某校初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动，在某时间段共开放7个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室．为了解初三年级学生的答疑情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为_____．【答案】4
7
【解析】
【分析】根据概率公式即可求出该教室是数学答疑教室的概率．
【详解】根据题意可知：共开放7网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室，
管理人员随机进入一个网络教室，
则该教室是数学答疑教室的概率为47
．故答案为：47
．
【点睛】考查了列表法与树状图法求概率，解题关键是会列列表或树状图和掌握概率公式．
14. 如图，在▱ABCD 中，延长CD 至点E ，使DE =DC ，连接BE 与AC 于点F ，则BF FE
的
值
是_____．
【答案】1
2
【解析】
【分析】在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，根据DE =DC ，可得AB =CD =DE =12
CE ，再由
AB ∥CD ，可得△ABF ∽△CEF ，对应边成比例即可求得结论．
【详解】解：在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，
∵DE =DC ，
∴AB =CD =DE =12
CE ，
∵AB ∥CD ，
∴△ABF ∽△CEF ，∴12
BF
AB FE CE ==．故答案为：12
．
【点睛】考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题关键是掌握并运用了相似三角形的判定与性质．
15. 为了丰富同学们的课余生活，某年级买了3个篮球和2个足球，共花费了474元，其中篮球的单价比足球的单价多8元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意可列方程组为_____．
【答案】324748
x y x y +=ìí-=î【解析】
【分析】根据“3个篮球的价钱+2个足球的价钱=474和篮球单价﹣足球的单价=8元”可列方程组．
【详解】设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，
根据题意可列方程组为324748
x y x y +=ìí-=î，故答案为：324748
x y x y +=ìí-=î．【点睛】考查了实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，再设未知数，列出方程组．
16. 如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形．下面四个结论中：
①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上；
②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上；
③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上；
④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上．
所有正确结论的序号是_____．
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据直角梯形的性质，画出图形利用图象法一一判断即可．
【详解】①如图1中，点P 是正方形ABCD 的边AD 上的任意一点，则四边形ABCP 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故①正确．
②如图2中，四边形ABCO 样的直角梯形有无数个，故②正确．
③如图3中，四边形ABCD 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故③正确．
④直角梯形的四个顶点，不可能在同一个圆上，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】考查了直角梯形的定义，二次函数的性质，反比例函数的性质，四点共圆等知识，解题关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
三．解答题
17. 计算：(
)
02122sin 30-+-°+．【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再相加减即可．
【详解】原式
2×12
﹣
【点睛】考查了实数的运算，解题关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18. 解不等式组：()3121212x x x x ì-<ïí-+>ïî
．【答案】﹣1＜x ＜3
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】()3121212x x x x ì-<ïí-+>ïî
①
②，由①得：x ＜3，
由②得：x ＞﹣1，
所以不等式组的解集为﹣1＜x ＜3．
【点睛】考查了求不等式组的解集，解题关键是熟练掌握求公共部分的方法：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19. 如图，已知等边三角形ABC ，延长BA 至点D ，延长AC 至点E ，使AD =CE ，连接CD ，BE ．求证：△ACD ≌△CBE ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质求得AC =BC ，∠DAC =∠BCE ，再根据SAS 证明△ACD ≌△CBE ．
【详解】证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AC =BC ，∠CAB =∠ACB =60°，
∴∠DAC =∠BCE =120°，
在△ACD 和△CBE 中
AC BC DAC BCE
AD CE =ìïÐ=Ðíï=î
，∵AD =CE ，
∴△ACD ≌△CBE （SAS ）．
角形的判定定理．
20. 已知关于x 的一元二次方程x 22﹣x +2m 1=0﹣．
（1）当m =1﹣时，求此方程的根；
（2）若此方程有两个实数根，求m 的取值范围．
【答案】（1）x =﹣1或x =3；（2）m ≤1
【解析】
【分析】（1）将m =1﹣代入方程，再利用因式分解法求解可得；
（2）根据方程有两个实数根得出△=b 24﹣ac ≥0，据此列出关于m 的不等式求解可得．
【详解】解：（1）将m =1﹣代入方程，得：x 22﹣x 3=0﹣，
∵（x +1）（x 3﹣）=0，
∴x +1=0或x 3=0﹣，
解得x =1﹣或x =3；
（2）∵方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）24×1×﹣（2m 1﹣）≥0，
解得m ≤1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，熟悉相关性质是解题的关键．21. 如图，在▱ABCD 中，∠ABC =60°，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．
（1）求证：△ABF 是等边三角形；
（2）若∠CDF =45°，CF =2，求AB 的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
31
【解析】【分析】（1）根据在▱ABCD 中，∠ABC =60°，可以得到∠DAB 的度数，然后根据AF 平分∠DAB ，可以得到∠F AB 的度数，然后等边三角形的判定方法即可得到△ABF 是等边三角形；
（2）作FG ⊥DC 于点G ，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以得到CG 、FG 的长，然后即可得到DG 的长，从而可以得到DC 的长，然后即可得到AB 的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠DAB +∠ABC =180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DAB=120°，
∵AF平分∠DAB，
∴∠F AB=60°，
∴∠F AB=∠ABF=60°，
∴∠F AB=∠ABF=∠AFB=60°，
∴△ABF是等边三角形；
（2）作FG⊥DC于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴∠FCG=∠ABC=60°，
∴∠GFC=30°，
∵CF=2，∠FGC=90°，
，
∴CG=1，FG=
3
∵∠FDG=45°，∠FGD=90°，
∴∠FDG=∠DFG=45°，
，
∴DG=FG
∴DC=DG+CG
+，
1
∴AB
+，
1
即AB
+．
1
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22. 致敬，最美逆行者!
病毒虽无情，人间有大爱，2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后
继支援湖北省抗击疫情，据国家卫健委的统计数据，截至3月1日，这30个省（区、市）累计派出医务人员总数多达38478人，其中派往湖北省除武汉外的其他地区的医务人员总数为7381人．
a．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图
（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500）：
b．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数在900≤x＜1300这一组的是：919，997，1045，1068，1101，1159，1179，1194，1195，1262．
根据以上信息回答问题：
（1）这次支援湖北省抗疫中，全国30个省（区、市）派往武汉的医务人员总数 A．不到3万人，B．在3万人到3.5万人之间，C．超过3.5万人
（2）全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是 ，其中医务人员人数超过1000人的省共有 个．
（3）据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．习近平总书记回信勉励北京大学援鄂医疗队全体“90后”党员中指出：“在新冠肺炎疫情防控斗争中，你们青年人同在一线英勇奋战的广大疫情防控人员一道，不畏艰险、冲锋在前、舍生忘死，澎显了青春的蓬勃力量，交出了合格答卷．”
小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：
C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；
H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；
B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．
小华还了解到除全国30个省（区、市）派出38478名医务人员外，军队派出了近四千名医务人员，合计约4.2万人．请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1）．【答案】（1）B；（2）1021人，15；（3）90后”大约有1.2万人
【解析】
【分析】（1）根据题意列式计算即可得到正确的选项；
（2）根据频数（率）分布直方图中的信息和中位数的定义即可得到结论；
（3）根据样本估计总体，可得到“90后”大约有1.2万人．
【详解】解：（1）这次支援湖北省抗疫中，全国30个省（区、市）派往武汉的医务人员总数为384787381=31097﹣（人），
故选B ；
（2）全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是997104522
101+=（人）；其中医务人员人数超过1000人的省（区、市）共有15（个）；
故答案为：1021人，15；
（3）4041038342000118001614338148
++´»++（人），
答：“90后”大约有1.2万人．
【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图，样本估计总体，熟悉相关性质是解题的关键．23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x =3与直线y =12x +1交于点A ，函数y =k x
（k ＞0，x ＞0）的图象与直线x =3，直线y =12
x +1分别交于点B ，C ．
（1）求点A 的坐标．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y =k x
（k ＞0，x ＞0）的图象在点B ，C 之
间的部分与线段AB ，AC 围成的区域（不含边界）为W ．
①当k =1时，结合函数图象，求区域W 内整点的个数；
②若区域W 内恰有1个整点，直接写出k 的取值范围．
【答案】（1）A（3，5
2
）；（2）①在W区域内有1个整数点；②当区域W内恰有1个整点时，1≤k＜2或16＜k≤20
【解析】
【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；
（2）①当k=1时，求得B、C的坐标，根据图象得到结论；
②分两种情况根据图象即可得到结论．
【详解】解：（1）直线x=3与直线y=1
2
x+1交于点A，
∴
3
1
1
2
x
y x
ìï
ïï
í
=
=+
ïï
ïî
，解得
3
5
2
x
y
=
ì
ï
í
=
ïî
，
∴A（3，5
2
）；
（2）①当k=1时，根据题意B（3，
1
3），C
（1-+
，1
2
+），
由图像可得，在W区域内有1个整数点：（2，1）；
②若区域W内恰有1个整点，
当C点在直线x=3的左边时，如图1，在W区域内有1个整数点：（2，1），
∴1≤k＜2；
当C点在直线x=3的右边时，如图2，在W区域内有1个整数点：（4，4），
∴16＜k≤20；
综上，当区域W内恰有1个整点时，1≤k＜2或16＜k≤20
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
24. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别
与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）8
【解析】
【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接EF，
∵∠BAC=90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA=OE，
∴∠BAD=∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠AEO=∠B，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为5，
∴EF=2OE=10，
在Rt△AEF中，AF=6，
，
根据勾股定理得，
AE EF AF
=-
由（1）知OE∥BC，
∵OA=OD，
∴BE=AE=8．
【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一
∥是解本题的关键．
半，勾股定理，能判断出EF BC
25. 某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队．这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分，积分均为正整数．这五个队完成所有比赛后得到如下的积分表．
根据上表回答下列问题：
（1）第一组一共进行了 场比赛，A队的获胜场数x为 ；
（2）当B队的总积分y=6时，上表中m处应填 ，n处应填 ；
（3）写出C队总积分p的所有可能值为： ．
【答案】（1）10，3；（2）0：2， 2：0；（3）9或10
【解析】
【分析】（1）按照5个队中每个队都要和另外4个队进行一场比赛，而A与B和B与A属于同一场比赛，列式计算或直接从表中数一下即可得比赛场数；根据表中比赛结果可直接得出A队的获胜场数x的值；
（2）每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，设以上四种得分为
a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，根据E和A的总分可得关于a，b，c，d的等式，化简即可得出a，b，c，d的值，设m对应的积分为x，根据题意得关于x的方程，解得x的值，则可得答案；
（3）C队胜2场，分两种情况：当C、B的结果为2：0时；当C、B的结果为2：1时，分别计算出p的值即可．
【详解】解：（1）∵
()
551
10
´-
=（场），
∴第一组一共进行了10场比赛；
∵每场比赛采用三局两胜制，A、B的结果为2：1，A、C的结果为2：0，A、E的结果为2：0，
∴A队的获胜场数x为3；
故答案为：10，3；
（2）由题可知：每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，
根据题意可知每种结果都会得到一个正整数积分，设以上四种得分为a，b，c，d，且a＜b ＜c＜d，
根据E的总分可得：a+c+b+c=9，
∴a=1，b=2，c=3，
根据A的总分可得：c+d+b+d=13，
∴d=4，
设m对应的积分为x，
当y=6时，b+x+a+b=6，即2+x+1+2=6，
∴x=1，
∴m处应填0：2；
∴B：C=0：2，
∴C：B=2：0，
∴n处应填2：0；
（3）∵C队胜2场，
∴分两种情况：当C、B的结果为2：0时，
p=1+4+3+2=10；
当C、B的结果为2：1时，
p=1+3+3+2=9；
∴C队总积分p的所有可能值为9或10．
故答案为：9或10．
【点睛】本题考查了统计表在比赛积分问题中的应用，读懂表格中的数据，理清题中的数量关系是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-+-+的顶点为A
（1）求抛物线的顶点坐标（用m 表示）；
（2）若点A 在第一象限，且2OA =，求抛物线的解析式；
（3）已知点(1,2)B m m --，(2,2)C ，若抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围
【答案】（1）(,)m m ；（2）22y x x =-+或写为：2(1)1y x =--+；（3）2m £，或3m ³.
【解析】
【分析】（1）化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标；
（2）求出点AO ，列方程求解即可；
（3）考虑点C 在抛物线上时m 的值，再结合图形，分情况进行讨论．
【详解】（1）∵2222()y x mx m m x m m =-+-+=--+，
∴抛物线的顶点A 坐标为(,)m m .
（2）点A 在第一象限，∴
OA =，∵
OA =∴1
m =抛物线的表达式为22y x x =-+，或写为：2(1)1
y x =--+
（3）把22C （，）代入222y x mx m m =-+-+，得
22224m m m =-+-+，
解得2m =或3，
结合图象可得：
当2m £时，抛物线与线段BC 有公共点，
当23m ＜＜时，抛物线与线段BC 无公共点，
当3m ³时，抛物线与线段BC 有公共点；
综上，当2m £或3m ³时，抛物线与线段BC 有公共点．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．27. 已知∠MON =α，A 为射线OM 上一定点，OA =5，B 为射线ON 上一动点，连接AB ，满足∠OAB ，∠OBA 均为锐角．点C 在线段OB 上（与点O ，B 不重合），满足AC =AB ，点C 关于直线OM 的对称点为D ，连接AD ，OD ．
（1）依题意补全图1；
（2）求∠BAD 的度数（用含α的代数式表示）；
（3）若tanα=34
，点P 在OA 的延长线上，满足AP =OC ，连接BP ，写出一个AB 的值，使
得BP ∥OD ，并证明．
【答案】（1）补全图见解析；（2）180°2α﹣；（3
，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）首先证明∠D+∠ABO=180°，再利用四边形内角和定理解决问题即可．（3）假设PB∥OD，求出AB的值即可．
【详解】解：（1）图形，如图所示．
（2）C
Q，D关于AO对称，
\D@D，
AOD AOC
Ð=Ð=，
D ACO
\Ð=Ð，AOD AOC a
=
Q，
AC AB
\Ð=Ð，
ACB ABC
Ð+Ð=°
Q，
ACO ACB
180
\Ð+Ð=°，
D ABC
180
\Ð+Ð=°，
180
DAB DOB
Ð=
Q，
DOB a
2
DAB a
\Ð=°-．
1802
（3）如图2中，不妨设//
^于J．
OD PB．作AH BC
^于H，BJ OA
在Rt AOH D 中，5OA =Q ，3tan 4
AOH Ð=，
3AH \=，4OH =，设CH BH x ==，则2BC x =，
//OD BP Q ，
DOA OPB \Ð=Ð，
DOA AOB Ð=ÐQ ，
AOB OPB \Ð=Ð，
4PB OB x \==+，
BJ OP ^Q ，549OP OA AP x x =+=+-=-，
1(9)2
OJ JP x \==-，
cos OH OJ AOH OA OB Ð=
=Q ，\1(9)4254x x
-=+，解得1x =，
1BH \=，
AB \【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，等腰三角形的判定和性质，四边形内角和定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
28. ,A B 是圆上的两个点，点P 在⊙C 的内部．若
APB Ð为直角，则称APB Ð为AB 关于⊙C 的内直角，特别地，当圆心C 在APB Ð边（含顶点）上时，称APB Ð为AB 关于⊙C 的最佳内直角．如图1，AMB Ð是AB 关于⊙C 的内直角，ANB Ð是AB 关于⊙C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中．
（1）如图2，⊙O 的半径为5，()0,5,(4,3)A B -是⊙O 上两点．
①已知()()()1231,003-21P P P ，，，，，在123,,,
APB AP B AP B ÐÐÐ中，是AB 关于⊙O 的内直角的是______；
②若在直线2y x b =+上存在一点P ，使得APB Ð是AB 关于⊙O 的内直角，求b 的取值范围．
（2）点E 是以(),0T t 圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点()()1,0,0,M N n ，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使
DHE Ð是DE 关于⊙T 的最佳内请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的
取值范围．
【答案】（1）①23,AP B AP B ÐÐ，②55b -<£；（2）2，515
t -+£<【解析】
【分析】（1）判断点123
,,P P P 是否在以AB 为直径的圆弧上即可得出答案；（2）求得直线AB 的解析式，当直线2y x b =+与弧AB 相切时为临界情况，证明OAH BAD D D :，可求出此时5b =，则答案可求出；
（3）可知线段MN 上任意一点（不包含点M ）都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值2，再分点H 不与点M 重合，点M 与点H 重合两种情况求出临界位置时的t 值即可得解．
【详解】解：（1）如图1，点23,P P 在以AB 为直径的圆上，所以23,AP B AP B ÐÐ是AB 关于O e 的内直角。

（2）∵APB Ð是AB 关于O e 的内直角，
∴90APB Ð=°，且点P 在O e 的内部，
∴满足条件的点P 形成的图形为如图中的半圆H （点,A B 均不能取
到），
过点B 作BD y ^轴于点D ，
∵()0,5,(4,3)A B -，
∴4,8BD AD ==，
并可求出直线AB 的解析式为25y x =-，
∴当直线2y x b =+与直径AB 重合时，=5b -，
连接OB ，作直线OH 交半圆于点E ，过点E 作直线//EF AB ，交y 轴于点F ，,OA OB AH BH
EH AB
EH EF
==\^\^Q \EF 是半圆H 的切线．
,90OAH OAH OHB BDA Ð=ÐÐ=Ð=°
Q
4182
1122,905
OAH BAD
OH BD AH AD OH AH EH OH EO
EOF AOH FEO AHO EOF HOA
OF OA \D D \===\=
=\=Ð=ÐÐ=Ð=°
\D @D \==:Q //,EF AB Q 直线AB 的解析式为25y x =-，
∴直线EF 的解析式为25y x =+，此时5b =，
∴b 的取值范围是55b -<£．
这一问难度陡然提升，而且之前的经验似乎有些浅显，需要进一步通过画图加深对题干部分的理解并在此过程中探究解题的方向，下面我们通过三步来划分思维的流程。

第一步：分析最佳内直角满足的条件，确定H 的轨迹
显然，最佳内直角为直角，而且直角的一条边经过圆心
T ，因此，不难得出以TD 为直角
的圆上的点(不包括点D ）均满足。

另外，如果点H 在圆T 的水平方向的半径上，也满足条件
综上，我们得出满足条件的点H的轨迹，需要注意，最佳内直角的顶点在圆T的内部，因此，圆T上的两个点D F
、均是空心点。

第二步，分析线段MN的端点N的位置
既然MN上的每一点都可以成为最佳内直角的直角顶点，那么MN一定与第一步得出的点的轨迹有交点，显然，当点N经过以TD为直径的圆的最高点时，n取最大值，因此TD，所以，2
n=，即n的最大值为2.
第三步，求圆心T的取值范围
这里需要再次理解题意：当2
n=，且当点H“遍历”线段MN上的每一点时，对应的圆心的取值范围是什么？此时，问题回归到传统的动态问题分析上来，借助动态问题的分析原则分析如下：
当圆从左到右运动过程中，第一个临界值出现在点H的轨迹与线段MN相切时。

如图所示，
不难求出51
t=-+
当圆继续向右运动，如图所示，当点H点轨迹点水平部分经过点M时，此时为第二个临
界位置，此时，很容易得出5
t=
综合以上可得，t的取值范围是
t£<．
15
【点睛】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，
圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利
用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．。