求余数

求余数

文/乐家骏来源：小学数学教师

计算一个较小自然数除以非零自然数的商和余数，那是容易的事情，但要计算出一个较大的自然数除以非零自然数的余数，就不是一个简单的问题了，我们必须借助余数的性质来寻求简捷的解法。

下面先介绍四条余数的性质。为了叙述简洁，我们把一个自然数N除以非零自然数p 所得的余数称为数N的p余数。

（1）设a、b是两个自然数，a＞b，p是非零自然数，a=pq1+r，b=pq2+s（q1，q2，r，s是整数，0≤r＜p，0≤s＜p），则（a×b）的p余数等于（r×s）的p余数；（a+b）的p余数等于（r+s）的p余数；（a-b）的p余数等于r-s（当r≥s时）或p+r-s（当r＜s时）。

（2）A×10n（A，n都是非零自然数）的9余数等于A的9余数。

以上两条性质的证明过程较简单，请读者自行推导。

（3）把n位自然数N任意切成p段（p≤n），切成p个整数N1，N2，N3，…，Np，这p个整数的和的9余数等于N的9余数。

性质（3）的证明如下：

把n位数N任意切成p段（p≤n），切成p个整数N1，N2，N3，…，Np，则N可以表示成p-1个形如Ni×10k（i=1，…，p-1）的数加上Np的和。根据性质（2），Ni×10k的9余数等于Ni的9余数，所以N的9余数等于p个整数的和（N1+N2+N3+…+Np）的9余数。

特殊情况：一个自然数的9余数等于这个数的各位数字之和的9余数。如1020304除以9的余数，等于1+0+2+0+3+0+4=10除以9的余数1。

（4）9个连续自然数连写所组成的多位数能被9整除。

证明：设9个连续自然数为a，a+1，a+2，…，a+8，它们的和为9a+36，能被9整除。

根据性质（3），9个连续自然数连写组成的多位数的9余数，等于这9个连续自然数之和的9余数0，即这个多位数能被9整除。

例1设A=2006+2006×2006+2006×2006×2006，那么A除以11的余数是。

（2006年”我爱数学杯“数学竞赛五年级决赛试题）

解根据余数性质（1），n个数的积除以a的余数，等于各个数除以a的余数的积除以a的余数。

2006÷11=182……4，即2006除以11的余数是4。（2006×2006）除以11的余数等于（4×4）除以11的余数5，（2006×2006×2006）除以11的余数是（4×4×4）除以11的余数9。

所以A除以11的余数为4+5+9=18除以11的余数7。

例2已知a、b、c是自然数，且a＞b＞c。如果这三个数除以11的余数分别是2，7，9，那么（a+b+c）×（a-b）×（b-c）除以11的余数是。

（2005年春季武汉市”明心奥数挑战赛“五年级试题）

解法一假设a=24，b=18，c=9，则（24+18+9）×（24-18）×（18-9）=51×6×9，51除以11的余数为7，7×6×9=378，378除以11余4，因此所求的余数为4。

解法二（a+b+c）除以11的余数为（2+7+9）除以11的余数7，（a-b）除以11的余数为11+2-7=6，（b-c）除以11的余数为11+7-9=9。7×6×9=378，378除以11的余数为4，因此所求的余数为4。

例3将从1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：

a=13579111315171921…9799101103，则数a共有位，数a除以9的余数是。

（2006年第11届华杯赛初赛试题）

解从1到103的连续奇数中，一位奇数有5个，两位奇数有45个，三位奇数有2个，所以数a共有5+2×45+3×2=101（位）。

根据余数性质（3），从1开始到103的连续奇数共有52个，所以我们把多位数a切成52个连续奇数，求这52个连续奇数的和：

1+3+5+…+103=（1+103）×52÷2=2704。

2704除以9的余数是4，所以数a除以9的余数是4。

例422003与20032的和除以7的余数是。

（2003年南京小学生智力数学冬令营试题）

解找规律：用7除2，22，23，24，25，26，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，…，余数按2，4，1三个数循环。2003÷3=667……2，所以22003除以7的余数为4。

又2003除以7的余数为1，所以20032除以7的余数为1×1=1。

22003与20032的和除以7的余数为4+1=5。

例5求20082008除以11所得的余数。

解2008÷11=182……6，20082008除以11所得的余数与62008除以11所得的余数相同。现在来探求6n（n=1，2，3，…）除以11所得余数的规律。经过试算，得到：可知6n除以11的余数按6，3，7，9，10，5，8，4，2，1十个数依次循环出现。

2008÷10=200……8，20082008除以11所得的余数是上述十个余数中的第8个数4。

例6某个自然数被247除余63，被248除余63，求这个自然数被26除的余数。

（1994年小学数学奥林匹克决赛民族卷试题）

解某个自然数减去63所得的差能被247与248整除。设这个自然数减去63的差是A，A被247与248整除。

247=19×13，248=2×124。

A能被13和2整除，因为13与2互质，可知A能被26整除。原来的自然数是A+63，只要考虑63被26除得到的余数。63=26×2+11，所以这个自然数被26除的余数是11。

练习题

1. 将任意一个两位数连写4遍得到的八位数除以该两位数，所得的商再除以9，得到的余数是多少？

（2004年第九届华杯赛初赛试题）

2. 1×2×3×4×5×6×7×8×9×10除以11的余数是。

（2006年福州市小学生“迎春杯”数学竞赛试题）

3. 2006×2006×…×2006除以2007的余数是。

2008个2006

（2006年“我爱数学杯”数学竞赛六年级初赛试题）

4. 把1到2008这2008个连续自然数从小到大连写成一个多位数：A=1234567891011…20072008，A除以9的余数是多少？

5. 把1到2008这2008个连续自然数分别除以9，所有余数的和是多少？

6. 自然数A被1981除的余数是35，被1982除的余数也是35，它被14除的余数是多少？

（第四十四届莫斯科数学奥林匹克试题）