2016届河北省保定市徐水一中高三上学期第二次月考数学(理)试题【解析版】

2015-2016学年河北省保定市徐水一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（∁R P）∩Q等于( ) A．[2，3]B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．（2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）2．已知命题p：∂x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则( )A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题3．设a=log36，b=log510，c=log714，则( )A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c4．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x），则不等式f（x2）＞的解集为( )A．（1，2）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，1）5．函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，则y=f（x）的定义域为( )A．[﹣1，1]B．[，1]C．[0，1]D．[﹣1，0]6．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是( )A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣37．已知x，y为正实数，则( )A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy8．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是( )A． B．C．D．9．若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是( )A．e x≤1+x+x2B．C．D．10．定义两种运算：，则函数的解析式为( )A．f（x）=﹣，x∈[﹣2，0）∪（0，2]B．f（x）=，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．f（x）=﹣，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．f（x）=，x∈[﹣2，0）∪（0，2]11．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )A．1 B．C．﹣1 D．﹣12．已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为( )A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．f（x）=，则不等式x2•f（x）+x﹣2≤0解集是__________．14．已知函数f（x）=，则f[f]=__________．15．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为__________．16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b有三个零点，则实数b的取值范围是__________．三、解答题：写出必要的过程17．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b，（a≠0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．（1）求a，b的值；（2）若b＜1，g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．18．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R；命题q：不等式＜1+ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．19．汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离．某型汽车的刹车距离s（单位米）与时间t（单位秒）的关系为s=5t3﹣k•t2+t+10，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k的取值范围．20．已知（1）若tanα=2，求f（α）的值；（2）已知sinθ，cosθ是方程x2﹣ax+a=0的两根，求f（θ）﹣的值．21．已知函数（1）若f1（x）=3x+1，f2（x）为偶函数，求a，b，c的值；（2）若对任意实数x，不等式恒成立，求f2（﹣1）的取值范围．22．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax﹣a（a∈R）．（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．2015-2016学年河北省保定市徐水一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（∁R P）∩Q等于( ) A．[2，3]B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．（2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】函数的性质及应用；集合．【分析】由一元二次不等式的解法求出集合P，由对数函数的性质求出集合Q，再由补集、交集的运算分别求出∁R P和（∁R P）∩Q．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则集合P={x|﹣1≤x≤2}，由log2（x﹣1）≤1=得0＜x﹣1≤2，解得1＜x≤3，则Q={x|1＜x≤3}所以∁R P={x|x＜﹣1或x＞2}，且（∁R P）∩Q={x|2＜x≤3}=（2，3]，故选：C．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数不等式的解法，属于基础题．2．已知命题p：∂x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则( )A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题【考点】全称命题；复合命题的真假．【专题】常规题型．【分析】先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．【解答】解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．故答案为C．【点评】本题考查复合命题的真假，属于基础题．3．设a=log36，b=log510，c=log714，则( )A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较；不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】利用log a（xy）=log a x+log a y（x、y＞0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可．【解答】解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，∵，，所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题．4．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x），则不等式f （x2）＞的解集为( )A．（1，2）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，1）【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】所求解的不等式是抽象不等式，是与函数有关的不等式，函数的单调性和不等关系最密切．由f′（x），构造单调递减函数h（x）=f（x）﹣，利用其单减性求解．【解答】解：∵f′（x），∴f′（x）﹣＜0，设h（x）=f（x）﹣，则h′（x）=f′（x）﹣＜0，∴h（x）是R上的减函数，且h（1）=f（1）﹣=1﹣=．不等式f（x2）＞，即为f（x2）x2＞，即h（x2）＞h（1），得x2＜1，解得﹣1＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣1，1）．故选：D．【点评】本题考查抽象不等式求解，关键是利用函数的单调性，根据已知条件和所要解的不等式，找到合适的函数作载体是关键．5．函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，则y=f（x）的定义域为( )A．[﹣1，1]B．[，1]C．[0，1]D．[﹣1，0]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合函数的定义域之间的关系即可求出函数的定义域．【解答】解：∵函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，∴0≤x≤1，则0≤2x≤2，即﹣1≤2x﹣1≤1，即函数y=f（x）的定义域为[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，利用复合函数之间的关系即可求出函数的定义域．6．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是( )A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】规律型．【分析】先求出p的等价条件，利用¬q的一个充分不必要条件是¬p，即可求a的取值范围．【解答】解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，即p：x＞1或x＜﹣3，￢p：﹣3≤x≤1，∵q：x＞a，∴￢q：x≤a，若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则￢p⇒￢q成立，但￢q⇒￢p不成立，∴a≥1，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法是解决本题的关键．熟练掌握命题的否定的形式．7．已知x，y为正实数，则( )A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy【考点】有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．【解答】解：因为a s+t=a s•a t，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D．【点评】本题考查指数与对数的运算性质，基本知识的考查．8．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是( )A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．9．若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是( )A．e x≤1+x+x2B．C．D．【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；函数思想；构造法；导数的综合应用．【分析】A，B，D，可利用利用特殊值的方法，举出反例；对于C，构造函数h（x）=cosx﹣1+x2，求出导数，得出函数的单调递增且h（x）≥0；【解答】解：对于A，取x=3，e3＞1+3+32，所以不等式不恒成立；对于B，x=时，左边=，右边=，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；对于C，令h（x）=cosx﹣1+x2，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增，∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数h（x）在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴cosx≥1﹣x2，故正确；对于D，当x=100时，左式大于零，右式小于零，所以不等式不恒成立；故选C．【点评】选择题中特殊值代入法的应用，利用构造函数，根据单调性求最值．10．定义两种运算：，则函数的解析式为( )A．f（x）=﹣，x∈[﹣2，0）∪（0，2]B．f（x）=，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．f（x）=﹣，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．f（x）=，x∈[﹣2，0）∪（0，2]【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；新定义；函数的性质及应用．【分析】根据中的新定义，化简得f（x）=，由此解出函数定义域为{x|﹣2≤x≤2且x≠0}，再将函数解析式去绝对值化简，可得本题答案．【解答】解：根据题意，可得∵，∴，=|x﹣2|，因此，函数=，∵，∴函数的定义域为{x|﹣2≤x≤2且x≠0}．由此可得函数的解析式为：f（x）===﹣，（x∈[﹣2，0）∪（0，2]）．故选：A【点评】本题给出新定义域，求函数的解析式．着重考查了函数的定义域求法、不等式组的解法和求函数解析式的一般方法等知识，属于中档题．11．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )A．1 B．C．﹣1 D．﹣【考点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f （log220）的值．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1故选C【点评】本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性，其中根据已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）判断函数的奇偶性，并求出函数的周期是解答的关键．12．已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为( )A．﹣B．﹣C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论．【解答】解：sin4α﹣cos4α=（sin2α﹣cos2α）（sin2α+cos2α）=sin2α﹣cos2α=2sin2α﹣1=﹣，故选B．【点评】已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的．二、填空题：每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．f（x）=，则不等式x2•f（x）+x﹣2≤0解集是{x|x＜2}．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】当x≥2时，原不等式可化为x2+x﹣2≤0，当x＜2时，原不等式可化为﹣x2+x﹣2≤0，解不等式即可求解【解答】解：当x≥2时，原不等式可化为x2+x﹣2≤0解可得，﹣2≤x≤1此时x不存在当x＜2时，原不等式可化为﹣x2+x﹣2≤0即x2﹣x+2≥0解不等式可得x∈R此时x＜2综上可得，原不等式的解集为{x|x＜2}故答案为：{x|x＜2}【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，解题中要注意分类讨论的应用．14．已知函数f（x）=，则f[f]=1．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，由里及外求解所求表达式的值．【解答】解：函数f（x）=，则f[f]=f=f（1913）=2cos=2cos（638π﹣）=2cos=1．故答案为：1．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．15．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为x+y﹣2=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．【解答】解：y=的导数y'=，y'|x=1=﹣1，而切点的坐标为（1，1），∴曲线y=在在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b有三个零点，则实数b的取值范围是（0，）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可转化为函数f（x）=与函数y=x+b的图象有且仅有两个交点，从而作图求解即可【解答】解：∵函数g（x）=f（x）﹣x﹣b有且仅有两个零点，∴函数f（x）=与函数y=x+b的图象有且仅有两个交点，作函数f（x）=与函数y=x+b的图象如下，当b=0时，有一个交点，是一个临界值，当直线y=x+b与f（x）=相切时，f′（x）==；故切点为（1，1）；故b=1﹣=；结合图象可得，b∈（0，）；故答案为：（0，）【点评】本题考查了导数的应用，函数图象的作法及函数的零点与函数的图象的交点的关系应用等，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题三、解答题：写出必要的过程17．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b，（a≠0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．（1）求a，b的值；（2）若b＜1，g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由于函数f（x）=a（x﹣1）2+2+b﹣a，（a≠0），对称轴为x=1，分当a＞0时、当a＜0时两种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a、b的值．（2）由题意可得可得，g（x）=x2﹣（m+2）x+2，根据条件可得≤2，或≥4，由此求得m的范围．【解答】解：（1）由于函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b=a（x﹣1）2+2+b﹣a，（a≠0），对称轴为x=1，当a＞0时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，由题意可得，解得．当a＜0时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递减，由题意可得，解得．综上可得，，或．（2）若b＜1，则由（1）可得，g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2，再由函数g（x）在[2，4]上为单调函数，可得≤2，或≥4，解得m≤2，或m≥6，故m的范围为（﹣∞，2]∪[6，+∞）．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R；命题q：不等式＜1+ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】分别求出命题P，Q为真命题时的等价条件，利用命题P或Q为真命题，P且Q 为假命题，求a的范围即可．【解答】解：当命题p为真命题即f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，即ax2﹣x+a＞0对任意实数x均成立，∴解得a＞2，当命题q为真命题即﹣1＜ax对一切正实数均成立即a＞==对一切正实数x均成立，∵x＞0，∴＞1，∴+1＞2，∴＜1，∴命题q为真命题时a≥1．∵命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，∴p与q有且只有一个是真命题．当p真q假时，a不存在；当p假q真时，a∈[1，2]．综上知a∈[1，2]．【点评】本题考查复合命题与简单命题真假的关系，利用条件先求出命题p，q为真命题的等价条件是解决这类题的关键，属于一道中档题．19．汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离．某型汽车的刹车距离s（单位米）与时间t（单位秒）的关系为s=5t3﹣k•t2+t+10，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】应用题；导数的综合应用．【分析】（1）当k=8时，s=5t3﹣8t2+t+10，令瞬时速度即s′=0，可求t，再代入s可求；（2）汽车静止时v=0，故问题转化为15t2﹣2kt+1=0在[1，2]内有解，，令，利用导数可求得f（t）的范围，从而可得k的范围；【解答】解：（1）当k=8时，s=5t3﹣8t2+t+10，这时汽车的瞬时速度为V=s′=15t2﹣16t+1，令s′=0，解得t=1（舍）或，当时，，所以汽车的刹车距离是米．（2）汽车的瞬时速度为v=s′，∴v=15t2﹣2kt+1，汽车静止时v=0，故问题转化为15t2﹣2kt+1=0在[1，2]内有解，又，∵，当且仅当时取等号，∵，∴记，，∵t∈[1，2]，∴，∴f（t）单调递增，∴，，即，故k的取值范围为．【点评】该题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值，在实际问题中构建恰当函数是解决问题的关键．20．已知（1）若tanα=2，求f（α）的值；（2）已知sinθ，cosθ是方程x2﹣ax+a=0的两根，求f（θ）﹣的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式两角和与差的三角函数化简函数的表达式，通过tanα=2求出结果即可．（2）利用已知条件求出a，然后求解f（θ）﹣的值．【解答】解：（1）===，∵tanx=2，∴==，cos2x===﹣．∴f（α）==．（2）sinθ，cosθ是方程x2﹣ax+a=0的两根，sinθ+cosθ=a，sinθcosθ=a，∴a2﹣2a=1，解得，又，∴a=，f（θ）﹣=1．【点评】本题考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系式以及诱导公式，两角和与差的三角函数，考查计算能力．21．已知函数（1）若f1（x）=3x+1，f2（x）为偶函数，求a，b，c的值；（2）若对任意实数x，不等式恒成立，求f2（﹣1）的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】转化思想；判别式法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由f1（x）=3x+1，f2（x）=ax2+bx+c为偶函数，运用偶函数的定义和恒等式的知识即可得到a，b，c；（2）先令x=1，可得f2（1）=2，即a+b+c=2，再由不等式恒成立，结合二次函数的判别式小于等于0，及配方思想，可得a的范围，进而得到f2（﹣1）=4a﹣2，可得范围．【解答】解：（1）f1（x）=3x+1，f2（x）=ax2+bx+c为偶函数，可得a+b=3，b=0，c=1，解得a=3，b=0，c=1；（2）可令x=1，即有2≤f2（1）≤2，则f2（1）=2，即a+b+c=2，由2x≤f2（x）恒成立，即为ax2+（b﹣2）x+c≥0，可得a＞0，且（b﹣2）2﹣4ac≤0，即有（a+c）2﹣4ac≤0，即有（a﹣c）2≤0，则a=c成立，即有b=2﹣2a，又f2（x）﹣（x+1）2=ax2+（2﹣2a）x+a﹣（x+1）2=（a﹣）（x﹣1）2，对任意的x∈R，都有f2（x）≤（x+1）2，即有0＜a≤，故f2（﹣1）=a﹣b+c=4a﹣2的取值范围是（﹣2，0]．【点评】本题考查函数的性质和应用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用判别式和配方思想，考查运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax﹣a（a∈R）．（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【专题】压轴题．【分析】（1）由a=﹣3得到f（x）的解析式，求出导函数等于0时x的值，讨论函数的增减性得到函数的极值；（2）求出导函数，利用导函数根的判别式讨论导函数=0方程的解的情况得到关于a的不等式，因为图象与x轴有且只有一个交点，①根的判别式小于等于0，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增，f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0；②根的判别式大于0时由f （x1）•f（x2）＞0得到求出a的解集可．【解答】解：（1）当a=﹣3时，，∴f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1）．令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=3．当x＜﹣1时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；当﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣1，3）上单调递减；当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增．∴当x=﹣1时，f（x）取得极大值为f（﹣1）=；当x=3时，f（x）取得极小值为=﹣6．（2）∵f′（x）=x2﹣2x+a，∴△=4﹣4a=4（1﹣a）．①若a≥1，则△≤0，∴f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）=﹣a ＜0，f（3）=2a＞0，∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．②若a＜1，则△＞0，∴f′（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1＜x2）．∴x1+x2=2，x1x2=a．当x变化时，f′（x），f（x）的取值情况如下表：∵x12﹣2x1+a=0，∴a=﹣x12+2x1．∴===．同理f（x2）=．∴===．令f（x1）•f（x2）＞0，解得a＞0．而当0＜a＜1时，f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0，故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，分类讨论的数学思想．。