人教版九年级数学上册第22章二次函数测试题

人教版
九年级数学
试题
人教版数学九年级上学期
第22章《二次函数》单元测试卷
（满分120分，限时120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A ．y=x 2
B ．y=
21
x
C ．y=kx 2
D ．y=k 2x 2.y=m 2m +2m+2
x
是二次函数，则m 的值为（ ）
A ．0，﹣2
B ．0，2
C ．0
D ．﹣2
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax +b 和二次函数y=ax 2+bx +c 的图象可能为（ ）
o x
y
o
x
y
x
y
o
o y x
4.某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx +c 的图象时，列出下面的表格：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … ﹣7.5 ﹣2.5 0.5 1.5 0.5
…
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（ ） A ．该抛物线的对称轴是直线x=﹣2
B ．该抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣2.5）
C ．b 2﹣4ac=0
D ．若点A （0，5，y 1）是该抛物线上一点．则y 1＜﹣2.5
5.关于抛物线y=x 2﹣2x +1，下列说法错误的是（ ）
A ．开口向上
B ．与x 轴有两个重合的交点
C ．对称轴是直线x=1
D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小
6.已知抛物线y=x 2+bx +c 的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是（ ）
-3
-11
o y x
A ．﹣1＜x ＜4
B ．﹣1＜x ＜3
C ．x ＜﹣1或x ＞4
D ．x ＜﹣1或x ＞3
7.二次函数y=x 2﹣2x ﹣2与坐标轴的交点个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
8.已知关于x 的方程ax +b=0（a ≠0）的解为x=﹣2，点（1，3）是抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）上的一个点，则下列四个点中一定在该抛物线上的是（ ）
A ．（2，3）
B ．（0，3）
C ．（﹣1，3）
D ．（﹣3，3）
9.二次函数y=﹣x 2+2x+4的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10.已知抛物线y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a +b +c=2；③a ＜；④b ＞1其中正确的结论是（ ）
2-1
1x o
y A ．①② B ．②③
C ．③④
D ．②④
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知函数y=（m-1）2m +1
x
+5x+3是关于x 的二次函数，则m 的值为 ．
12.如图是二次函数y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）和一次函数y 2=mx +n （m ≠0）的图象，当y 2＞y 1，x 的取值范围是 ．
y 2
y 1
-1
32
1
-2
-3
-114y o x
13.若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点．符合条件的一个二次函数的解析式为 ．
14.已知点P （m ，n ）在抛物线y=ax 2﹣x ﹣a 上，当m ≥﹣1时，总有n ≤1成立，则a 的取值范围是 ．
15.二次函数y=ax 2（a ＞0）的图象经过点（1，y 1）、（2，y 2），则y 1 ＜ y 2（填“＞”或“＜”）．
16.二次函数y=x 2+2x +2的最小值为 ．
三、解答题(共8题，共72分)
17.（本题8分）已知抛物线经过点（2，3），且顶点坐标为（1，1），求这条抛物线的解析式．
18.（本题8分）已知函数y=u +v ，其中u 与x 的平方成正比，v 是x 的一次函数， （1）根据表格中的数据，确定v 的函数式；
（2）如果x=﹣1时，函数y 取最小值，求y 关于x 的函数式； （3）在（2）的条件下，写出y 的最小值．
1
-11
o y x
19.（本题8分）如图，已知抛物线y=x 2+bx +c 经过A （﹣1，0）、B （3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；
B A
y x
o
20.（本题8分）如图，抛物线y=ax 2
+2ax +1与x 轴仅有一个公共点A ，经过点A 的直线交该抛物线于点B ，交y 轴于点C ，且点C 是线段AB 的中点． （1）求这条抛物线对应的函数解析式； （2）求直线AB 对应的函数解析式．
C B A
y x
o
21.（本题8分）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为多少？
菜园
墙
D C
B
22.（本题10分）某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．
（1）设每千克水果降价x 元，平均每天盈利y 元，试写出y 关于x 的函数表达式； （2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
23.（本题10分）如图，顶点为M 的抛物线y=a （x +1）2﹣4分别与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的右侧），与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM 是否为直角三角形，并说明理由．
M
C B
A y
o
24.（本题12分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+1经过点A （4，﹣3），顶点为点B ，点P 为抛物线上的一个动点，l 是过点（0，2）且垂直于y 轴的直线，过P 作PH ⊥l ，垂足为H ，连接PO ．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B 的坐标；
（2）①当P 点运动到A 点处时，计算：PO= ，PH= ，由此发现，PO PH
（填“＞”、“＜”或“=”）；
②当P 点在抛物线上运动时，猜想PO 与PH 有什么数量关系，并证明你的猜想； （3）如图2，设点C （1，﹣2），问是否存在点P ，使得以P ，O ，H 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
图2
图1
l
l
H
A B o x
y
C B A
y x
o
人教版数学九年级上学期
第22章《二次函数》单元测试卷解析
一、
1.【答案】A 、是二次函数，故A 符合题意； B 、是分式方程，故B 错误；
C 、k=0时，不是函数，故C 错误；
D 、k=0是常数函数，故D 错误； 故选：A ． 2.【答案】∵y=m 2m +2m+2
x
是二次函数，∴2m +2m+2=2，m ≠0，解得：m=﹣2，故选D ．
3.【答案】A 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣
＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；
B 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＜0，故本选项错误；
C 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣
＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；
D 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＜0，故本选项错误． 故选：A ．
4.【答案】A 、正确．因为x=﹣1或﹣3时，y 的值都是0.5，所以对称轴是x=﹣2． B 、正确．根据对称性，x=0时的值和x=﹣4的值相等． C 、错误．因为抛物线与x 轴有交点，所以b 2﹣4ac ＞0． D 、正确．因为在对称轴的右侧y 随x 增大而减小． 故选C ．
5.【答案】画出抛物线y=x 2﹣2x +1的图象，如图所示．
o
y
A、∵a=1，∴抛物线开口向上，A正确；
B、∵令x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；
C、∵﹣b
2a
=1，∴该抛物线对称轴是直线x=1，C正确；
D、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确．故选D．
6.【答案】由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），
∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，
且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，
∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．
故选B．
7.【答案】∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）=12＞0，
∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．
∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是3个．
故选D．
8.【答案】∵关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣2，∴有﹣2a+b=0，即b=2a．
∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴x=﹣b
2a
=﹣1．
∵点（1，3）是抛物线上的一点，
∴点（﹣3，3）是抛物线上的一点．
故选D．
9.【答案】y=﹣（x﹣1）2+5，∵a=﹣1＜0，∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．
故选：C．
10.【答案】①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x= -b
2a
＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；
②当x=1时，函数值为2，∴a+b+c=2；故本选项正确；
③∵对称轴x= -b
2a
＞﹣1，解得：
b
2
＜a，∵b＞1，∴a＞
1
2
，故本选项错误；
④当x=﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又a+b+c=2，将a+c=2﹣b代入（1），2﹣2b＜0，∴b＞1故本选项正确；
综上所述，其中正确的结论是②④；
故选D．
二、填空题
11.【答案】根据题意得：2
m+1=2，m-1≠0，解得：m=﹣1．
12.【答案】从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3），
∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1，
13.【答案】∵若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点，∴y=﹣x2﹣2x+5符合要求．答案不唯一．例如：y=﹣x2﹣2x+5．
14.【答案】根据已知条件，画出函数图象，如图所示．
P
y
x
o
由已知得：a<0，--1
2a
≤-1，a+1-a≤1，解得：﹣
1
2
≤a＜0．故答案为：﹣
1
2
≤a＜0．
15.【答案】∵a＞0，且二次函数的对称轴为x=0，∴当x＞0时，二次函数y值随着x值的增大而增大，∵0＜1＜2，∴y1＜y2．故答案为：＜．
16.【答案】配方得：y=x2+2x+2=y=x2+2x+12+1=（x+1）2+1，
当x=﹣1时，二次函数y=x2+2x+2取得最小值为1．
三、解答题
17.【解答】∵顶点坐标为（1，1），设抛物线为y=a（x﹣1）2+1，
∵抛物线经过点（2，3），∴3=a（2﹣1）2+1，解得：a=2．
∴y=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3．
18.【解答】（1）设v=kx+b，把（0，﹣1）、（1，1）代入得k=2，b= -1，∴y=2x﹣1；
（2）设u=ax2，则y=ax2+2x﹣1，
∵当x=﹣1时，y=ax2+2x﹣1取最小值，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，即-2
2a
= -1，
∴a=1，∴y=x2+2x﹣1，
（3）把x=﹣1代入y=x2+2x﹣1得y=1﹣2﹣1=﹣2，即y的最小值为﹣2．
19.【解答】（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中得：b=-2，c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）．
（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
20.【解答】（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，
∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；
（2）∵y=（x+1）2，∴顶点A的坐标为（﹣1，0），
∵点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，∴B点的横坐标为1，
当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（﹣1，0），B（1，4）代入得k=2，b=2，
∴直线AB的解析式为y=2x+2．
21.【解答】∵AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，∴BC=1
2
（30﹣x），
菜园的面积=AB×BC=1
2
（30﹣x）•x，
则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=﹣1
2
x2+15x．
22.【解答】（1）根据题意得：y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200．
（2）令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960，则有960=﹣20x2﹣80x+1200，
即x2+4x﹣12=0，解得：x=﹣6（舍去），或x=2．
答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．
23.【解答】（1）∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．∴﹣3=a﹣4，∴a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，
（2）△BCM是直角三角形
理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，
∵顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4，∴M（﹣1，﹣4），
由（1）抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，令y=0，∴x2+2x﹣3=0，∴x1=﹣3，x2=1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20，∴BC2+CM2=BM2，
∴△BCM是直角三角形，
24.【解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），∴﹣3=16a+1，∴a=﹣1
4
，
∴抛物线解析式为y=﹣1
4
x2+1，顶点B（0，1）．
（2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5，∴PO=PH，故答案分别为5，5，=．②结论：PO=PH．
理由：设点P坐标（m，﹣1
4
m2+1），∵PH=2﹣（﹣
1
4
m2+1）=
1
4
m2+1
PO=1
4
m2+1，∴PO=PH．
（3）∵10102BC=AC，
∵PO=PH，又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，∴PH与BC，PO与AC是对应边，
∴PH BC
HO BA
，设点P（m，﹣
1
4
m2+1）
2
2
1
m+110
4
42
m+4
m=±1，
∴点P坐标（1，3
4
）或（﹣1，
3
4
）．
习题试解预习法
检验预习效果的最佳途径
数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。

因此,预习数学的关键是先看书,进而尝试做题。

学生经过自己的努力,初步理解和掌握了
新的数学知识,还要通过做练习或解决简单的问题来检验自己预习的效果。

教材中每一小节后的思考练习题,是编者根据教学大纲的要求,对教材中要点和重点的概述,是对学生理解书本内容的具体评估。

因此,我们可以利用这些题目来检查自己的预习效果。

通过试解练习题,哪些知识点已知已会,哪些难懂不会,一下子就检验出来了。

对试解出来的习题,通过听课以加深理解;对试解不出来的习题,课堂上应格外留心听讲,力求政克,为提高课堂学习质量打下坚实的基础。

如何应用习题试解预习法?同学们可以采用以下的步骤：
第一步:先阅读教材,然后合上书本,围绕课后几个思考题想一想:这课讲了什么新问题,自己弄懂了没有?这些新知识与旧知识之间有什么联系,自己是否已经掌握?还有什么不懂的问题需要上课时听老师讲解?通过这样的回忆,初步检查自己的预习效果。

第二步:大致理解了教材的内容后,可以按照由易到难的顺序,对本节后面的练习题尝试作答。

第三步:遇到疑难的问题做不出就停下来想一想,分析一下原因,或重新再预习一遍,再尝试作答。

实在做不出也不要紧,可以先做好记号,留待上课时去解决。

要注意,尝试作答,不是钻牛角尖。

试解习题的关键是要检验出自己在知识或技巧方面的欠缺,及时调整和改进预习的方法,以及发现的疑难之处,明确自己听课时的重点。

是否全部解答出问题并不是最重要的,真正进行独立思考,发现问题才是关键。

数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。

因此,预习数学的关键是先看书,进而尝试做题。

学生经过自己的努力,初步理解和掌握了新的数学知识,还要通过做练习或解决简单的问题来检验自己预习的效果。

因科制宣法
抓住不同学科的特点预习
预习的一般方法,各门功课都可采用。

但是,各门课程都有各自的特点和规律,因而预习方法也不尽相同。

若是在预习前就根据各学科的特点选择方法,那么预习的效果也就会更好,这种预习方法就叫作因科制宜法。

预习数理化的方法
数学、物理、化学等课程的学科特点是:知识的连续性特别强。

所以数理化课程虽然也可以做一般预习,但要集中时间做阶段预习、学期预习。

这样,学习效率会更高一些。

预习数理化课程时可按以下步骤进行:
1.首先阅读课文,理解定理、定律、公式等;
2.扫除绊脚石。

数理化的知识连续性强,前面的概念不理解,后面的课程就无法学下去。

预习的时候发现学过的概念有不明白的,一定要在课前弄清楚。

3.最后,试做练习。

数理化课本上的练习题都是为巩固所学的知识而出的,用来检验自己预习的效果是再恰当不过的。

万能预习法：你一定能用到的四个预习步骤：对于预习,我们可以归纳出一个万能的方法。

一般来说,不论同学们预习哪一门课,也不管你学习水平如何,通常都可以运用这种方法来预习。

第一步:准备阶段
相读要预习的内容,领会教材的大意。

阅读过程中可以做一些标注,比如用红笔标出重点知识,用其他颜色的笔标出疑难问题
第二步:查缺补漏
针对自己理解不透彻或遗忘了的旧知识,及时查阅有关学习材料,进行必要的
复习,为学习新课打好基础;对于查阅到的对理解教材有用的资料可以补充在教材的空白处,也可以另加一张专门用于加批注用的纸贴在书中对应的地方,方便以后学习时查看。

第三步:复查阶段
解决完学习障碍后,回过头来再看教材。

如果里面还有不清楚的问题,可以记下来或标记为听课重点,等上课时听老师讲解或在适当的时机提问。

验收阶段：这时,请合上书本,把刚才看过的内容再梳理一遍:本章节讲了哪几问题?重点概念是什么?主要思路是什么?还有哪几个问题不清楚等。

这样做可以加强你对预习内容的理解和记忆,并起到验收预习效果的作用。

因此,最后这一环节必不可少。

在预习的过程中,看例题也可以分成四步:
1.分清解题成每步必问步骤,指出关键所在;
2.弄清各步骤的依据为什么、步步有依据的习惯;
3.比较同一节例题的特点,尽量去体会选例意图;4分析例题的解题思路,并按例题的解释思路做练习题。