【教学课件】24.2.2《直线和圆的位置关系》(人教)

（1）若距离大于半径在圆外，
（2）等于半径在圆上， （3）小于半径在圆内。
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问题2 唐朝诗人王维在《使至塞上》写道： 单车欲问边，属国过居延。征蓬出汉塞，归雁入胡天。
大漠孤烟直，长河落日圆。萧关逢候骑，都护在燕然。
其中第三句后半部分“长河落日圆”描写的是“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之
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第二十四章●第二节
直线和圆的位置关系
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问题1 我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆一下它们的位置 关系有哪些？如何根据点到圆心的距离与圆的半径的关系来判断点的位置？ 点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外。 也可以把点与圆心的距离和半径作比较：
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练习3 已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦
AD。求证：DC是⊙O的切线。 分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于 过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径
OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD
＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所 以∠ODC＝∠OBC＝90°。
中”。如果从数学的角度来分析，把黄河当作一直线，太阳当作一个圆，如何
用几何图形来刻画这个落日的过程呢？请同学们动手画一画。
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问题3 从问题2落日的画图过程中，你能总结出直线和圆有哪几种位置关系吗？
直线和圆有三种位置关系，如下图：
追问1：以上三种情况中，直线和圆分别有几个交点？ 当直线与圆有两个公共点时，称之为直线和圆相交；当直线与圆有唯一公共点时， 称之为直线与圆相切；当直线与圆没有公共点时，称之为直线和圆相离。
A O B www.czsx.com.cn P
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问题6 如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料， 并且使载下来的圆与三角形的三条边都相切？
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆 叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫 做三角形的内心。
的切线矛盾。因此，半径OA与直线垂直。
因此，我们有切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
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问题5 在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，•连结PO，• 沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条 半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB， ∠APO与∠BPO有什么关系？ 从上面的操作几何我们可以得到： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长（这点与切点之间的线段长）相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
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例1：已知Rt△ABC的斜边AB＝8，AC＝4。
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
（2）以点C为圆心，分别以2和4的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分 别有怎样的位置关系？ 分析：根据d与r间的数量关系可知： d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时， 相离。
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问题4 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线，则圆心O到直线l的 距离是多少？直线l和⊙O有什么关系？
可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的
半径，直线l就是⊙O的切线。这样，我们得到了 切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆
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例2：如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB。
求证：AT是⊙O的切线。
分析：AT经过直径的一端，因此只要 证AT垂直于AB即可，而由已知条件可
知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB，又
由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°。由 三角形内角和可证∠TAB＝90°，即
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练习1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为
半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ （1）r=2cm；（2）r=2。4cm； （3）r=3cm。 练习2 关系是 已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则x轴与⊙A的位置 ， y轴与⊙A的位置关系是 。
的切线。
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追问1：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，应该如何 证明？ 两步：（1）这条直线经过圆上的一点；（2）过这点的半径垂直于这条直线。 追问2：反之，如果知道一条直线是圆的切线，那么它是否垂直于经过切点的半 径呢？ 假设OA与l不垂直，过点O作，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM<OA， 这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，于是直线l与圆相交，而这与直线l是⊙O
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追问2：你能根据点和圆的位置关系，类似得出直线和圆的三种位置关系中到直 线的距离d和半径r之间的大小关系吗？ 设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，
当直线与圆相交时，d＜r；
当直线与圆相切时，d＝r； 当直线与圆相离时，d＞r。 因此可以用d与r间的大小关系来判断直线与圆的位置关系。
AT⊥AB。
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例3：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切与点D，E，F，
且AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD，CE的长。
解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-
AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x，
由BD+CD=BC可得(13-x)+(9-x)=14， 解得x=4。 因此AF=4，BD=5，CE=9。
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练习4 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，
CD=1，BF=3。求内切圆的半径r。 证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F， ∴AF=AE，EC=CD，DB=BF，∵AE=2，CD=1， BF=3，∴AF=2，EC=1，BD=3， ∴AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4， AC=AE+EC=3， ∴△ABC是直角三角形，