八年级下册数学济南数学期末试卷综合测试(Word版含答案)

八年级下册数学济南数学期末试卷综合测试（Word 版含答案）
一、选择题
1．如果二次根式2x -有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x ≥ C ．2x ≠ D ．2x ≤ 2．下列说法错误的是（ ）
A ．△ABC 中，若有∠A ＋∠
B ＝∠
C ，则△ABC 是直角三角形
B ．△AB
C 中，若有∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则△ABC 是直角三角形
C ．△ABC 的三边长分别为：a ，b ，c ，且a 2﹣b 2＝c 2，则△ABC 是直角三角形
D ．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4
3．如图，在四边形ABCD 中，下列条件不能．．
判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）
A ．A
B ∥D
C ， A
D ∥BC B ．AB ＝DC ，AD ＝BC C ．AD ∥BC ，AB ＝DC
D ．AB ∥DC ，AB ＝DC
4．甲、乙、丙、丁四名学生近4次数学测验成绩的平均数都是90分，方差分别是S 甲2＝5，S 乙2＝20，S 丙2＝23，S 丁2＝32，则这四名学生的数学成绩最稳定的是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5．△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，下列条件：①∠A=∠B-∠C ；②∠A ：∠B ：∠C=3：4：5；③a 2=（b+c ）（b-c ）；④a ：b ：c=5：12：13其中能判断△ABC 是直角三角形的个数有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，菱形ABCD 中，EF 是AB 的垂直平分线，84FBC ∠=︒，则ACB ∠等于（ ）
A ．24︒
B ．64︒
C ．90︒
D ．100︒
7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别是AC ，BC ，AB 的中点，连接DE ，CF ．若1CF =，则DE 的长度为（ ）
A ．1
B ．2
C 3
D ．4
8．A ，B 两地相距20km ，甲乙两人沿同一条路线从A 地到B 地，如图反映的是二人行进
路程y (km )与行进时间t (h )之间的关系，有下列说法：①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用了4个小时到达目的地；③乙比甲先出发1小时；④甲在出发4小时后被乙追上，在这些说法中，正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
9．若
1
1
x x
x x =--，则x 的取值范围是______． 10．菱形两条对角线长分别为2、6，则这个菱形的面积为_________．
11．如图，已知一根长8m 的竹竿在离地3m 处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有____m ．
12．如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 上一点，EF ⊥FC ，且EF =FC ，已知DF =5cm ，则AE 的长为________cm ．
13．若点A （2，﹣12）在正比例函数y ＝kx （k≠0）的图象上，则正比例函数的解析式为_____．
14．如图，连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ，只要添加_____条件，就能保证四边形EFGH 是菱形．
15．如图，点A 是一次函数21y x =+图象上的动点，作AC ⊥x 轴与C ，交一次函数
4y x =-+的图象于B ． 设点A 的横坐标为m ，当m =____________时，AB =1．
16．已知如图，点()()()2,0,4,0,3,7A B D --，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以
每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是____时，点M 在整个运动过程中用时最少。

三、解答题
17．计算： （1）1
323
(32)(32)2
-++-； （2）2
2234
y x x y ⎧
-=⎪⎨⎪-=⎩． 18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A ，B 的距离分别为：
300km,400km,500km AC BC AB ===，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．
（1）请计算说明海港C 会受到台风的影响；
（2）若台风的速度为20km/h ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
19．如图是由边长为1的小正方形构成6×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD 的顶点都是格点，点E 是边AD 与网格线的交点．仅用无刻度尺的直尺在给定网
格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）直接写出四边形ABCD的形状；
（2）在BC边上画点F，连接EF，使得四边形AEFB的面积为5；
（3）画出点E绕着B点逆时针旋转90°的对应点G；
（4）在CD边（端点除外）上画点H，连接EH，使得EH＝AE+CH．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
21．学习了二次根式的乘除后，老师给同学们出了这样一道题：已知a
3
，求221
a a
-+
的值．刘峰想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
解：∵
()
()()
2
21
2111
1
a
a a a
a a a
-
-+-
===
-
，
又∵a
3
，
∴13
a
=
∴3
你认为刘峰的解法对吗？如果对，请你给他一句鼓励的话；如果不对，请找出错误的原因，并改正．
22．某市出租车收费标准分白天和夜间分别计费，计费方案见下列表格及图象（其中a，b，c为常数）
行驶路程
收费标准
白天夜间（22时至次日5时）不超过2km的部分起步价6元起步价a元
超过2km 不超出10km 的部分
每公里2元 每公里b 元 超出10km 的部分
每公里3元
每公里c 元
设行驶路程为km x 时，白天的运价为1y （元），夜间的运价为2y （元）．如图，折线
ABCD 表示2y 与x 之间的函数关系式，线段EF 表示当02x ≤≤时，1y 与x 的函数关系式，
根据图表信息，完成下列各题：
（1）填空：a =______，b =______，c =______； （2）当210x <≤时，求1y 的函数表达式；
（3）若幸福小区到阳光小区的路程为12km ，小明从幸福小区乘出租车去阳光小区，白天收费比夜间收费少多少元?
23．将两张宽度相等的纸片叠放在一起，得到如图的四边形ABCD ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）如图，联结AC ，过点A 、D 分别作BC 的垂线、DE ，垂足分别为点F 、E ． ①设M 为AC 中点，联结、
，求证：
；
②如果，P 是线段AC 上一点（不与点A 、C 重合），当为等腰三角形
时，求
的值．
24．[模型建立]如图等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于点D ，过B 作BE ⊥ED 于点E ，易证明△BEC ≌△CDA ．（无需证明），我们将这个模型称为“K 形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
[模型运用]
（1）如图1，若AD＝2，BE＝5，则△ABC的面积为；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求AB与y轴交点D的坐标；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为：y＝2x+1，点A（3，2），在其线l上是否存在点B，使直线AB与直线l的夹角为45°？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
[模型拓限]（4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点B（0，4），P是直线y＝2x﹣5上一点，将线段BP延长至点Q，使BQ＝2BP，将线段BQ绕点B顺时针旋转45°后得BA，直接写出OA的最小值为．（10≈3.2，结果精确到0.1）
25．如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6．
（1）求BC，AC的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．
①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．
②设DE交直线BC于点F，连结OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则CD的长为
（直接写出结果）．
【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
20
x-≥，据此解题．
【详解】
20
x-≥，
2
x
∴≥，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可．
【详解】
解：A、△ABC中，若有∠A＋∠B＝∠C，则∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，说法正确；
B、△ABC中，若有∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，说法正确；
C、△ABC的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形，说法正确；
D、在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4
错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．
【详解】
解：平行四边形的判定条件：
A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
C、可能是等腰梯形，不能判定，符合题意；
D、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据方差的意义求解即可．
【详解】
解：∵S甲2=5，S乙2=20，S丙2=23，S丁2=32，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，
∴这四名学生的数学成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理分析判断即可.
【详解】
解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴①正确；
②a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴△BAC是直角三角形，
∴②正确；
③∵a ：b ：c ＝3：4：5， ∴设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ， ∵a 2+b 2＝25k 2，c 2＝25k 2， ∴a 2+b 2＝c 2，
∴△ABC 是直角三角形， ∴③正确； 故选：D ． 【点睛】
直角三角形的判定是本题的考点，熟练运用勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是解题的关键，此类题型属于基础题.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
由菱形的性质可得出，//AD BC ，,180∠=∠∠+∠=︒ACB DAC DAB ABC ，再根据EF 是AB 的垂直平分线，可得出FAB ABF ∠=∠，因此，2180FAB FBC ∠+∠=︒，可推出
48FAB ∠=︒，最终得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴//AD BC ，ACB DAC ∠=∠， ∴180DAB ABC ∠+∠=︒， ∵EF 是AB 的垂直平分线， ∴FA FB =， ∴FAB ABF ∠=∠， ∴2180FAB FBC ∠+∠=︒， ∴48FAB ∠=︒， ∴24ACB ∠=︒． 故选：A 【点睛】
本题考查的知识点是菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，根据EF 是AB 的垂直平分线，得出FAB ABF ∠=∠，是解此题的关键．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB 的长，根据三角形中位线定理可得DE 的长． 【详解】
依题意，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别是AC ，BC ，AB 的中点，1CF =，
22AB CF ∴==， 1
12
DE AB =
=． 故选A ． 【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，掌握以上定理是解题的关键．
8．A
解析：A 【分析】
根据题意结合图象依次判断即可. 【详解】
①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的，正确； ②乙用了4个小时到达目的地，错误； ③乙比甲先出发1小时，错误； ④甲在出发4小时后被乙追上，错误， 故选：A. 【点睛】
此题考查一次函数图象，正确理解题意，会看函数图象，将两者结合是解题的关键.
二、填空题
9．x ＞1 【解析】 【分析】
直接利用二次根式有意义的条件，结合一元一次不等式的解法得出答案． 【详解】
解：∵
= ∴x ≥0且x ﹣1＞0， 解得：x ＞1． 故答案为：x ＞1． 【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
10【解析】 【分析】
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求出其面积即可． 【详解】
解：∵一个菱形的两条对角线长分别为2和6，
∴这个菱形的面积1263
=⨯⨯=，
2
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是菱形的面积计算，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．11．A
解析：4
【解析】
【详解】
解：解如图所示：在Rt∆ABC中，BC=3，AC=5，
由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2
设旗杆顶部距离底部AB=x米，则有32+x2=52，
解得x=4
故答案为：4．
【点睛】
本题考查勾股定理．
12．E
解析：5
【分析】
只需要证明△EAF≌FDC即可得到答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠EFC=90°，
∴∠AFE+∠CFD=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∵EF=CF，
∴△EAF≌FDC（AAS），
∴AE=FD=5，
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，垂直的定义，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
13．A
解析：y＝﹣6x
【解析】
【分析】
直接把A点坐标代入y＝kx中求出k即可．
【详解】
解：把A（2，﹣12）代入y＝kx得2k＝﹣12，解得k＝﹣6，
所有正比例函数解析式为y＝﹣6x．
故答案为:y＝﹣6x．
【点睛】
本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式．
14．A
解析：AC＝BD
【分析】
根据中位线的性质易得四边形EFGH为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等．
【详解】
解：∵E、F为AD、AB中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，EF=1
2
BD，
同理可得GH∥BD，GH=1
2BD，FG∥AC，FG=1
2
AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴当EF=FG时，四边形EFGH为菱形，
∵FG=1
2AC，EF=1
2
BD，EF=FG
∴AC=BD，
故答案为：AC＝BD．
【点睛】
本题考查菱形的判定，四边相等的四边形是菱形和中位线定理，解题的关键是了解菱形的
判定定理，难度不大．
15．或
【分析】
分别用m 表示出点A 和点B 的纵坐标，用点A 的纵坐标减去点B 的纵坐标或用点B 的纵坐标减去点A 的纵坐标得到以m 为未知数的方程，求解即可．
【详解】
解：∵点A 是一次函数图象上的动点，且点A 的 解析：43或23 【分析】
分别用m 表示出点A 和点B 的纵坐标，用点A 的纵坐标减去点B 的纵坐标或用点B 的纵坐标减去点A 的纵坐标得到以m 为未知数的方程，求解即可．
【详解】
解：∵点A 是一次函数21y x =+图象上的动点，且点A 的横坐标为m ，
∴(,21)A m m +
∵AC ⊥x 轴与C ，
∴(,0)C m
∴(,4)B m m -+
∵1AB =
∴|21(4)|1m m +--+= 解得，43m =或23
故答案为43或23 【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据A 点横坐标和点的坐标特征求得A 、B 点纵坐标是解题的关键．
16．【分析】
用AF 和DF 把时间表示出来，发现用时为，如下图过F 作DC 的垂线，垂足为E ，经论证知，这样就把求时间最短问题，转化为求AF+FE 的最短问题，而AF 、FE 两条线段，F 点在BD 上运动，E 在BC
解析：()2,6-
【分析】
用AF 和DF 把时间表示出来，发现用时为
1AF AF =，如下图过F 作DC 的垂
线，垂足为E ，经论证知2
DF FE =，这样就把求时间最短问题，转化为求AF+FE 的最短问题，而AF 、FE 两条线段，F 点在BD 上运动，E 在BC 上运动，因此又可把AF+FE 的最短
问题转化为求A 点到BC 上一点的连线的最短问题，由垂线短最短知，当AE ⊥CD 时，AF+FE 最短，即用时最短，如下图中的AE 1即是最短用时、F 1即是所求的点．接下来，只要运用一次函数的知识求出F 1的坐标也就是所要求的时间最短时F 的坐标．
【详解】 2122AF DF t AF DF =+=+ 如图，分别作//CD x 轴，//BC y 轴，使直线,CD BC 交于点C ，
7,7D B D BC y CD x x ∴===-=
BC CD ∴=
又90BCD ︒∠=
BCD ∴∆为等腰直角三角形
过F 点作FE CD ⊥于E 点，连接AE
2EF ∴= t AF EF AE ∴=+≥
又当AE CD ⊥时，AE 取得最小值
此时7AE BC ==
即min 7t =
此时1AE 与BD 交于1F
1F ∴的横坐标等于A 的横坐标
12F x ∴=-
设直线BD 的解析式为()0y kx b k =+≠
代入1,B D 两点得0473k b k b
=+⎧⎨=-+⎩ 14k b =-⎧∴⎨=⎩
即4y x =-+
把2x =-代入得6y =
()12,6F ∴-
即当()2,6F -时，M 在整个运动过程中用时最少．
【点睛】
此题是典型的几何最值问题（胡不归）及求直线上点的坐标问题．此类问题包括定和算两部分：定就是运用“两点之间线段最短”、“垂线段最段”等有关最短的几何性质，找到取最值的几何图形；算就是运用勾股定理、相似形、函数等相关知识计算最值是多少和其它需要确定的量．
三、解答题
17．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据二次根式的运算法则即可求解；
（2）根据加减消元法即可求解．
【详解】
解：（1）原式＝4﹣+3﹣2
＝+1；
（2）原方程组整理得，
①﹣②得2y ＝0，解得y
解析：（11+；（2）20x y =⎧⎨=⎩． 【分析】
（1）根据二次根式的运算法则即可求解；
（2）根据加减消元法即可求解．
【详解】
解：（1）原式＝+3﹣2
＝2
+1； （2）原方程组整理得24234x y x y -=⎧⎨-=⎩
①②， ①﹣②得2y ＝0，解得y ＝0，
把y ＝0代入①得2x ＝4，
解得x ＝2，
所以原方程组的解为20
x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】
此题主要考查二次根式的运算与二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知其解法． 18．（1）计算见解析；（2）台风影响该海港持续的时间为7小时
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD 的长，进而得出海港C 是否受台风影响；
（2）利用勾股
解析：（1）计算见解析；（2）台风影响该海港持续的时间为7小时
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD 的长，进而得出海港C 是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED 以及EF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】
解：（1）如图，过点C 作CD AB ⊥于点D
∵300km,400km,500km AC BC AB ===
∴222AC BC AB +=
∴ABC 是直角三角形 ∴1122
AC BC AB CD ⨯=⨯ ∴300400500CD ⨯=⨯
∴240(km)CD =
∵以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域
240250<
∴海港C 会受台风影响；
（2）当250km,250km EC FC ==时，
台风在EF 上运动期间会影响海港C
在Rt CED 中
222225024070(km)ED EC CD =--
在Rt CFD △中
222225024070(km)FD FC CD =--
∴140km EF =
∵台风的速度为20千米/小时
∴140207÷=（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
19．（1）正方形；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可证明四边形ABCD为正方形；
（2）延长EO交BC于F，则根据正方形为中心对称图形得
解析：（1）正方形；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可证明四边形ABCD为正方形；
（2）延长EO交BC于F，则根据正方形为中心对称图形得到AE＝CF，则可根据梯形的面积公式计算出四边形AEFB的面积为5；
（3）延长DC交过B点的铅垂线于G点，通过证明△BAE≌△BCG得到BG＝BE；（4）利用网格特点，作∠EBG的平分线交CD于H点，证明△BEH≌△BGH，则EH＝HG，则AE＝CG，则有EH＝AE+CH．
【详解】
解：（1）∵AB＝BC＝CD＝AD＝22
+＝10，
13
∴四边形ABCD为菱形，
∵BD＝22
+＝25，
24
∴AD2+AB2＝BD2，
∴∠BAD＝90°，
所以四边形ABCD为正方形；
（2）如图，点F为所作；
（3）如图，点G为所作；
（4）如图，H点为所作．
【点睛】
本题考查了作图—旋转变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换和旋转变换的定义，并据此得出变换后的对应点．
20．（1）见解析；（2）四边形ADCF是菱形，理由见解析．
【分析】
（1）由“AAS”可证△AEF≌△DEB；
（2）先证四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形的性质可得AD＝CD，可得结论．
【详
解析：（1）见解析；（2）四边形ADCF 是菱形，理由见解析．
【分析】
（1）由“AAS ”可证△AEF ≌△DEB ；
（2）先证四边形ADCF 是平行四边形，由直角三角形的性质可得AD ＝CD ，可得结论．
【详解】
证明：（1）∵AD 是BC 边上的中线，
∴BD ＝CD ，
∵点E 是AD 的中点，
∴AE ＝ED ，
∵AF ∥BC ，
∴∠AFE ＝∠EBD ，
在△AEF 和△DEB 中，
AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AEF ≌△DEB （AAS ），
（2）四边形ADCF 是菱形，
理由如下：∵△AEF ≌△DEB ，
∴AF ＝BD ，
又∵BD ＝CD ，
∴AF ＝CD ，
∵AF ∥BC ，
∴四边形ADCF 是平行四边形，
∵∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的中线，
∴AD ＝CD ，
∴四边形ADCF 是菱形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质．证明四边形ADCF 是平行四边形是解题的关键．
21．答案见解析.
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【详解】
刘峰的解法错误，
原因是：错误地运用了＝这个公式，
正确解法是：∵a ＝＝＜1，
∴a﹣1＜0，
∴＝
＝
＝
＝
解析：答案见解析.
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【详解】
刘峰的解法错误，
(0)
(0)
a a
a a
⎧
⎨
-<
⎩
这个公式，
正确解法是：∵a
1，
∴a﹣1＜0，
∴
＝
|1|
(1)
a
a a
-
-
＝
1
(1)
a
a a
-
-
＝﹣1
a
，
∴
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
22．（1）7，2.4，3.6；（2）y=2x+2；（3）5.4元
【分析】
（1）a即为AB与y轴的交点的纵坐标，可结合图象，单价=总价÷路程，b、c 便可以求出；
（2）利用表格中的数据求解即可；
（3
解析：（1）7，2.4，3.6；（2）y=2x+2；（3）5.4元
【分析】
（1）a即为AB与y轴的交点的纵坐标，可结合图象，单价=总价÷路程，b、c便可以求出；
（2）利用表格中的数据求解即可；
（3）利用待定系数法求解求出当x＞10时，y2与x之间的函数关系式，再把x=12分别代入y1和y2的函数表达式即可解答．
【详解】
解：解：（1）由图可知，a=7，
b=（26.2-7）÷（10-2）=2.4，
c=（29.8-26.2）÷（11-10）=3.6（元）；
故答案为7，2.4，3.6；
（2）当2＜x≤10时，求y1的函数表达式为y1=6+2（x-2）=2x+2；
（3）设当x＞10时，y2与x之间的函数关系式为y2=kx+b，
根据题意得，
1129.8 1026.2
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
3.6
9.8
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴y2与x之间的函数关系式为y2=3.6x-9.8（x＞10）；
当x＞10时，y1与x之间的函数关系式为6+2×（10-2）+3（x-10）=3x-8（x＞10）．
当x=12时，y2=3.6×12-9.8=33.4（元），y1=3×12-8=28（元），33.4-28=5.4（元），
答：白天收费比夜间收费少5.4元．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用问题，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．23．（1）见解析；（2）①见解析；②或
【分析】
（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
（2）①过点作于，连接，由，可得，再证明
解析：（1）见解析；（2）①见解析；②或
【分析】
（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
（2）①过点M作于G，连接BD，由，可得，再证明，利用三角形内角和定理即可得出答案；
②设，则，设，则，根据勾股定理可得
，即，从而得出，即可得到
，根据P是线段AC上一点（不与点A、C重合），不存在，可得出当为等腰三角形时，仅有两种情形：或，分类讨论即可求得答案．
【详解】
解：（1）如图1，过点A作于E，于F，
两条纸条宽度相同，
．
，//
AD BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
．
，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）①如图2，过点M作于G，连接BD，
则，
四边形ABCD是菱形，
∴与BD互相垂直平分，
AC
经过点M，
，
，，
，
，
，
∴，
，
在和中，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②，
∴设，则，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
P是线段AC上一点（不与点A、C重合），
不存在，
∴当为等腰三角形时，仅有两种情形：或，Ⅰ．当时，则，如图3，
，，
，
，
，
，
∴；
Ⅱ．当
时，如图4，过点F 作于点H ，
在中，
，
，
，
， ∴；
综上所述，当
为等腰三角形时，的值为或．
【点睛】 本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形判定和性质，三角形面积公式，菱形面积，等腰三角形性质，勾股定理等，运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题是解题关键．
24．（1）；（2）；（3）存在两个点，，理由见解析；（4）1.9.
【解析】
【分析】
（1）由可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式解题；
（2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三
解析：（1）
292；（2）4(0,)3
D ；（3）存在两个点，(0,1),(2,5)B B '，理由见解析；（4）1.9.
【解析】
【分析】
（1）由Rt BEC △()Rt CDA AAS ≅可得2,5AD EC BE CD ====，在Rt BEC △中，利用勾股定理解得BC 的长，最后根据三角形面积公式解题；
（2）作BE y ⊥轴于点E ，根据题意，可证()Rt BCE Rt CAO AAS ≅，再由全等三角形对应边相等的性质得到,BE OC CE OA ==，结合点C A 、的坐标分别解得BE OE 、的长，继而得到B 的坐标，再由待定系数法解得直线AB 的解析式为：1433
AB y x =-+，令0x =即可解题；
（3）画出符合题意的示意图，可知有两个点符合，设(,21)B a a +，过点B 作直线平行x
轴，过点A 作直线平行y 轴，两直线相交于点D ，由点B A 、
坐标解得3,12BD a AD a =-=-，根据题意可证()Rt ABD Rt B AE AAS '≅，再由全等三角形对应边相等的性质解得AE B E '、的长，继而得到点(312,23)B a a '-++-，最后将点B '代入直线21y x =+上即可解题；
（4）过点P 作EF y ⊥于点F ，EF AE ⊥于点E ，连接OA ，设(,25)P x x -，由全等三角形的判定与性质得到()Rt BPF Rt PAE AAS ≅，再由全等三角形对应边相等得到 ,25429PF AE x BF PE x x ====--=-，由此解得点(39,5)A x x --，继而推出点A 在直线123y x =-上，过点O 作直线OA 的垂线，根据垂线段最短及等积法解题即可.
【详解】
解：（1）根据题意得，
90,90BCE EBC ACD CAD ∠+∠=︒∠+∠=︒ EBC ACD ∴∠=∠
在Rt BEC △与Rt CDA 中，
E D
EBC ACD
CB AC
∠=∠⎧⎪∴∠=∠⎨⎪=⎩ ∴Rt BEC △()Rt CDA AAS ≅
2,5AD EC BE CD ∴====
Rt BEC △中，
22225229BC BE EC ∴=+=+=
Rt ABC 中，
29AC BC ==
1
29
292922Rt ABC S ∴=⨯⨯=，
故答案为：29
2；
（2）作BE y ⊥轴于点E ,
90,90BCE ECA ECA OAC ∠+∠=︒∠+∠=︒
BCE OAC ∴∠=∠
在Rt BCE 与Rt CAO 中，
90BEC COA ∠=∠=︒
BEC COA BCE CAO BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()Rt BCE Rt CAO AAS ∴≅
,BE OC CE OA ∴==
(0,2),(4,0)C A -
4CE ∴=
2OE ∴=
(2,2)B ∴-
设直线AB 的解析式为：AB y kx b =+，代入点(4,0),(2,2)A B -得，
4022
k b k b +=⎧⎨-+=⎩ 解得：1343k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线AB 的解析式为：1
433
AB y x =-+ 令0x =得，43
y =， 4(0,)3
D ∴；
（3）存在，有两个点符合题意，(0,1),(2,5)B B '，理由如下：
设(,21)B a a +，过点B 作直线平行x 轴，过点A 作直线平行y 轴，两直线相交于点D ，如图，
45ABB AB B ''∠=∠=︒
90BAB '∴∠=︒
AB AB '=
由题意得()Rt ABD Rt B AE AAS '≅
(,21),(3,2)B a a A +
在Rt ABD △中，
3,12BD a AD a =-=-
3,12AE BD a B E AD a '∴==-==-
(312,23)B a a '∴-++-
即(22,5)B a a '+-
B '在直线21y x =+上，
2(22)15a a ∴++=-
4415a a ++=-
0a ∴=
(0,1),(2,5)B B '∴
如图，
（4）过点P 作EF y ⊥于点F ，EF AE ⊥于点E ，连接OA ，如图，
设(,25)P x x -，
由题意可知()Rt BPF Rt PAE AAS ≅
,25429PF AE x BF PE x x ∴====--=-
255,2939A P A P y y AE x x x x x PE x x x ∴=-=--=-=+=+-=-
(39,5)A x x ∴-- 3153963952333x x x x -----===- ∴点A 在直线123
y x =-上， 过点O 作直线123y x =
-的垂线，垂足为点A ，根据垂线段最短原理，可知此时线段OA 最短，如图，
令10,203
y x =-= 6x ∴=
解得直线123
y x =-与x 轴的交点(6,0)M 令0,2x y ==-
解得直线123
y x =-与y 轴的交点(0,2)N - 2262210MN ∴=+=
由等积法得，
1122
OM ON MN OA ⋅=⋅ 6610 1.921010
OA ∴==≈， 故答案为：1.9.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式、垂线段最短等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键. 25．（1）4；（2）或8．
【分析】
根据BA＝BC，分别用勾股定理求出CO和AC的长.
①分情况AO＝OE和AO＝AE，画出图形，根据三角形中位线定理和证明三角形全等解决问题.
②分情况
i）当D在线
解析：（1）45；（2）810
3
或82．
【分析】
根据BA＝BC，分别用勾股定理求出CO和AC的长.
①分情况AO＝OE和AO＝AE，画出图形，根据三角形中位线定理和证明三角形全等解决问题.
②分情况
i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，根据同高三角形面积比等于底边之比，得到，再根据平行线性质∠BDG＝∠BFG，得到BD＝BF＝，最后使用勾股定理求出结论
ii）当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，同理计算可得结论.
【详解】
解：（1）∵AO＝4，BO＝6，
∴AB＝10，
∵BA＝BC，
∴BC＝10，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
由勾股定理得：CO22
BC OB22
106
-8，
AC22
AO CO
+22
48
+5
（2）①分两种情况：
i）如图1，当AO＝OE＝4时，过O作ON⊥AC于N，
∴AN ＝EN ，
∵DE ⊥AC ，
∴ON ∥DE ，
∴AO ＝OD ＝4；
ii ）当AO ＝AE ＝4时，如图2，
在△CAO 和△DAE 中，
A A AOC AED 90AO AE ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
， ∴△CAO ≌△DAE （AAS ），
∴AD ＝AC ＝4，
∴OD ＝45﹣4；
②分两种情况：
i ）当D 在线段OB 上时，如图3，过B 作BG ⊥EF 于G ，
∵S △OBF ：S △OCF ＝1：4，
∴14BF CF =
∴13BF CB = ∵CB ＝10 ∴BF ＝103
∵EF ⊥AC ，
∴BG ∥AC ，
∴∠GBF ＝∠ACB ，
∵AE ∥BG ，
∴∠A ＝∠DBG ，
∵AB ＝BC ， ∴∠A ＝∠ACB ，
∴∠DBG ＝∠GBF ，
∵∠DGB ＝∠FGB ，
∴∠BDG ＝∠BFG ，
∴BD ＝BF ＝103
， ∴OD ＝OB ﹣BD ＝6﹣
103＝83， ∴CD ＝2200c D +＝22883⎛⎫+ ⎪⎝⎭
＝8103； ii ）当D 在线段OB 的延长线上时，如图4，过B 作BG ⊥DE 于G ，
同理得14
BF CF =， ∵BC ＝10，
∴BF ＝2，
同理得：∠BFG ＝∠BDF ，
∴BD ＝BF ＝2，
Rt △COD 中，CD 22c00D +228(62)++2，
综上，CD 8102．
．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的综合题，关键是根据三角形全等判定和性质、平行线性质、等腰三角形性质，三角形面积、勾股定理等，知识解答有难度.。