自控理论第五章频率分析法

Uo(s) Ui (s) T (sUo(s) uo0 ) Uo(s) TsUo(s) Ui (s) Tuo0
1
1 A
Uo (s)
Ts
1[Ui (s)
Tuo0 ]
Ts
[ 1
s
2
2
Tuo0 ]
取拉氏反变换，
uo
(t
)
(uo0
1
AT T 2
2
)e
t T
A sin(t arctanT ) 1 T 22
I ( )
G( j)
G(jω) R2 (ω) I 2 (ω) G(jω)＝arctg I (ω)
R(ω)
幅频特性 相频特性
A( )
()
o
Re R( )
为了直观的、明确的表示在很宽的频率范围内的频率响应， 采用图形表示要比采用函数表示方便地多。因此在频域分析中， 要极为重视频率特性的图形表示方法。
在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行 分析和设计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三 种图解表示。
幅相频率特性曲线：即系统幅相曲线或极坐标图。用以在 复平面上描述系统频率特性。也称奈奎斯特(Nyquist)图
Bode图（对数坐标图）：即系统对数频率特性曲线。在对
数坐标中将频率响应的幅频特性与相频特性 分开来表示的图形。
j
ω=∞， φ=-90°
1 （ω=0，φ=0）
0
φ
∣G（jω）∣
（2）对数频率特性曲线(Bode图)
对数频率特性图---Bode图。它是将幅频特性和相频特性分 别用两个图表示，为了在很宽的频率范围内描绘频率特性，坐 标刻度采用对数化的形式。
对数频率特性的定义：
L（ω）= 20 lg ∣G（jω）∣-------- 对数幅频特性 φ（ω）= ∠G（jω） ------------- 对数相频特性
惯性环节具有低通滤波特性。 渐近线误差
L()
横坐标：表示频率ω（rad/s），对数分度lgω（对ω不均 匀）；
纵坐标：表示对数幅频特性时，为对数幅频特性的函数值 （dB）；
表示对数相频特性时，为对数相频特性的函数值 （弧度或度）；纵坐标为均匀分度。
注意:由于横坐标采用了对数分度，所以零频率，即 不0可能
在横坐标上的有限区段上表现出来。因此，坐标原点，对于横 坐标来说，不可能是0，横坐标表示的最低频率，一般由我们感 兴趣的频率来确定。
Q() = 0
对数幅频特性： L() = 20lgK
对数相频特性： () = 0
比例环节的频率特性图：
Im
0
K Re
Nyquist Diagram
()
L()/ (dB)
60 40 20 0 -20 180° 90° 0° -90° -1801°0-1
Bode Diagram 20lgK
100
101
用幅值(模)和相角来表示，即
Im
G(jω) Re[G(jω)] j Im[G(jω)]
R(ω) jI (ω)
I ( )
G( j)
R(ω) Re[G(jω)] I (ω) Im[G(jω)]
实频特性 虚频特性
A( )
()
o
Re R( )
G( jω) G( jω) e jG( jω)
Im
尼柯尔斯图（对数幅相图）：将构成对数频率特性的幅频 特性和相频特性集中绘制于一图。
（1）幅相曲线
绘制幅相曲线时，以ω为参变量（ω：0→+∞），将
幅频特性和相频特性同时表示在复平面上。
例如：RC网络的频率特 性，根据其A（ω）和φ （ω）的表达式，在参 变量ω∈[0→∞）时，可 绘制RC网络的幅相曲线 如右图所示。
十倍频程
ω
1
2 3 4 5 6 7 8 910
一倍频程 一倍频程
20 30 40 50 60 80 100
二倍频程
§5.2 典型环节的频率特性
1. 比例环节 传递函数：
G(s) = K
频率特性：
G(j) = K = Kej0
幅频特性：
A() = K
相频特性：
() = 0
实频特性：
P() = K
虚频特性：
出为：
Css (t) kn1e jt kn2e jt
将
kn1
A( j)
2j
A( j)
、kn2 2 j
代入上式，
由于
( j) ( j) e j( j)
( j) ( j) e j( j)
则有
Css (t)
A( j) e jt
2j
A( j) e jt
2j
A ( j) e e e e jt j ( j) jt j ( j) 2j
A( j)
e e j (t ( j )) j (t ( j ))
2j
A( j) sin[t ( j)]
e j e j sin
2j
其中( j) 是 ( j) 的幅角，( j) 是的 ( j) 幅值。
说明：线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦
信号，其输出与输入的幅值比为 ( j) 的幅值，输出与输入
0
()
-20 180°
135 °90°
45 °0°
0.1
1
10
100
(rad/sec)
4. 惯性环节 传递函数： 频率特性：
幅频特性：
G(s) 1 Ts 1
G( j) 1
1
e jarctgT
1 jT 1 2T 2
A() 1 1 2T 2
相频特性： () = - arctgT
➢ 惯性环节的Nyquist图
输入信号： r(t) Asin ωt
对r(t)进行拉氏变
(s
Aω
j)(s
j)
则系统输出为：
C(s) (s)R(s) Aω(s) (s j)(s j)
假设 (s) 的所有极点都是互异的单极点S1， S2，…，Sn，
则上式用分布分式展开为：
C(s) k1 kn kn1 kn2
频率分析法的特点 1)控制系统及其元部件的频率特性可以用实验方法
测定，因此系统分析和控制器设计可以用图解法； 2)明确的物理意义：对于一阶或二阶系统，频域的
性能指标和时域性能指标有确定的对应关系； 3)可方便有效地分析噪声的控制问题。
§5.1 频率特性
1、频率特性的基本概念 (1) 频率特性的定义
A() 1
----- c（t）与r（t）的幅值之比
1 2T 2
定义: φ（ω）为系统的相频特性； 系统频率特性 A（ω）为系统的幅频特性；
因为： A（ω）e j φ（ω） 则完整地描述了系统在正弦输入下 系统输出之间随频率ω的变化规律------定义G（jω）为系统的频 率特性。
比较网络的传递函数和复向量表达式，可见它们之间可以通过 下式进行转换：
L()/ (dB)
Bode Diagram
10
0
渐近线
-10
实际幅频特性
-20
-20dB/dec
-30
转折频率
0°
-45°
()
-90° 1/T
(rad/sec)
转折频率（ ＝ 1/T )
低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点
＝ 1/T，称为转折频率（截止频率）。
在转折频率处，L() -3dB，()＝-45。
s s1
s sn s j s j
式中k1，k2，…，kn+2为各部分分式的待定系数。
将上式拉氏反变换得：
n
C(t) kiesit kn1e jt kn2e jt
i 1
暂态响应
稳态响应
对于稳定系统，闭环极点(特征根)Si具有负实部，C(t)的第一部 分即暂态分量，当t∞时，该暂态响应趋于零，系统的稳态输
ω
1
10
100 1000 10000
…
lgω 0
1
2
3
4
…
ω1 2
lgω 0 0.301 (0.3)
3
0.477 (0.5)
4
0.602 (0.6)
5
0.699 (0.7)
6
0.778 (0.8)
7
0.845 (0.85)
8
0.903 (0.9)
9
10
0.954 1 (0.95)
对数分度方法：
十倍频程
如：设有RC网络，在输入端加入信号：ui(t)=ASinωt 时，
R
ui(t)
C
uo(t)
i C duo (t)
dt
uo (t) ui (t) iR
uo (t)
ui (t)
T
duo (t) ,其中T dt
RC
uo (t)
ui (t)
T
duo (t) dt
,其中T
RC
取拉氏变换，初始条件 uo (0) uo0
的相位差为 ( j) 的幅角。
说明：
（1）频率特性不仅是对系统而言，其概念和定义对控制元件、 部件也都适用。
（2）频率特性的概念和定义只适用于线性定常系统或元件，否 则不能用拉氏变换求解，也不存在这种特殊的稳态对应关系。
（3）上述理论的证明是在假定系统稳定的情况下导出的。若系 统不稳定，输出响应C(t)最终不可能趋于稳态分量Css(t)。但从 理论上讲，C(t)中的稳态分量Css(t)总是可以分离出来的，所以 上述理论同样适合于不稳定的系统。
由于该网络的传递函数为：G(s) C(s) 1 R(s) Ts 1
（ T=RC）
如果uo(t)与ui(t)用复向量表示，则有： 1
C( j)
Z c
jC
1
1
R( j)
Z Z
r
c
R 1
jRC 1 T j 1
jC
e j () A() e j () G( j) 1 2T 2
其中 () arctgT ----- c（t）与r（t）的相位之差
幅频特性： A() 相频特性： () = 90° 实频特性： P() 0
虚频特性： Q() 对数幅频特性： L() 20log 对数相频特性： () = 90°
➢微分环节的Nyquist图
Im
=
=0
0
Re
➢微分环节的Bode图
Bode Diagram
40
L()/ (dB)
20
20dB/dec
G（s）︱s=jω = G（jω）
实际上，稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅氏变换的比。
即：对于一个线性定常系统，若已知其传递函数G（s），只 要将 G（s）中的 s 以jω来代替，便可以得到系统的频率特性表 达式。
证明如下
设系统的传递函数为：
(s)
bm s m an s n
bm1sm1 b0 an1sn1 a0
（4）若已知系统的传递函数 (s) 或元部件的传递函数 G(s) ，
令 s j ，便可求出相应的频率特性表达式( j) 或G( j) 。
尽管频率特性是一种稳态响应，但动态过程的规律也全寓于其 中，所以它是控制系统或元部件的一种数学模型。
2、频率特性的几何表示法
频率特性是复数，它既可以用实部、虚部来表示，也可以
102
(rad/sec)
2. 积分环节
传递函数： 频率特性：
G(s) 1 s
G( j) 1 1 e j 2 j
幅频特性： A() 1
相频特性： () = -90°
实频特性： P() 0
虚频特性： Q() 1
➢ 积分环节的Nyquist图
Im
=
0
Re
=0
对数幅频特性： L() 20log
对数相频特性： () = -90°
➢ 积分环节的Bode图
Bode Diagram
20
L()/ (dB)
0
－20dB/dec
-20
()
-40 0° -45°
-90°
-135° -180°
0.1
1
10
100
(rad/sec)
3. 微分环节
传递函数： G(s) s 频率特性： G( j) j e j 2
对数相频特性： () = - arctgT 低频段( << 1/T )
L() 20lg 1T 22 0 即低频段可近似为0dB的水平线，称为低 频渐近线。
高频段( >> 1/T )
L() 20lg 1T 22 20lg T
20lg T 20lg 即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直 线，称为高频渐近线。
uo
(t
)
(uo0
1
AT T 2
2
)e
t T
暂态分量
A sin(t arctanT ) 1 T 22
稳态分量
uos (t) A A()sin(t ()) 与输入ui (t) Asin(t)比较 输出与输入稳态分量的幅值比为A()= 1 ,
1+T 22 相位差为() arctan(T )
实频特性：
P()
1
1
2T
2
虚频特性：
Q(
)
1
T 2T
2
Im
注意到：
P()
1 2
2
Q()2
1 2
2
即惯性环节的奈氏图
0
=
1/2 1 Re
45G(j) =0
为圆心在(1/2, 0)处，
=1/T
半径为1/2的一个圆。
Nyquist Diagram
➢ 惯性环节的Bode图
对数幅频特性： L() 20log 12T 2
第五章 频率分析法
一、本章重点 1. 开环幅相特性曲线及奈氏稳定判据； 2. 开环对数频率特性曲线（Bode图）及对数频率稳定判据; 3. 稳定裕度（h 和γ）； 4. 开环传递函数的实验确定方法； 二、本章难点 1. 频率特性曲线的绘制； 2. 稳定裕度、频域指标的计算;
三、本章考点 1. 幅相曲线、Bode图的绘制； 2. 利用Bode图确定传递函数; 3. 判定系统稳定性、求其稳定裕度。