高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积同步训练新人教B版必修4

3.3 三角函数的积化和差与和差化积
知识点一：积化和差
1．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于
A ．－m
B ．m
C ．－m 2 D.m 2
2．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为
A.14
B.32
C.12
D.3
4
3．在△A BC 中，若B ＝30°，则cosAsinC 的取值范围是
A ．[－1,1]
B ．[－12，1
2]
C ．[－1
4，34] D ．[－34，1
4]
4．计算sin105°cos75°的值是 A.1
2 B.1
4 C ．－1
4 D ．－1
2
5．函数y ＝sin(x ＋π
3)sin(x ＋π
2)的最小正周期T ＝__________.
知识点二：和差化积
6．将cos 2x －sin 2y 化为积的形式，结果是
A ．－sin(x ＋y)sin(x －y)
B ．cos(x ＋y)cos(x －y)
C ．sin(x ＋y)cos(x －y)
D ．－cos(x ＋y)sin(x －y)
7．函数y ＝cos 2(x －π
12)＋sin 2(x ＋π
12)－1是
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为2π的偶函数
C ．最小正周期为π的奇函数
D ．最小正周期为π的偶函数
8．化简sin(θ＋2π3)＋sin(θ＋4π
3)的结果是__________．
9．把cosx ＋cos2x ＋cos3x ＋cos4x 化成积的形式．
10．把下列各式化为积的形式：
(1)sin122°＋sin36°；
(2)sin75°－sin15°；
(3)cos75°－cos23°.
能力点一：利用积化和差、和差化积公式进行求值、化简、证明
11．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－
2sin4θsin θ；③sin3θ－sin5θ＝－12
cos4θcos θ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcos θ；⑤sinxsiny＝12
[cos(x －y)－cos(x ＋y)]． 其中正确等式的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．函数f(x)＝asinx ＋acos(x －π6
)(x∈R )的最大值是6，则实数a 等于 A. 2 B ．－ 2 C. 3 D ．－ 3
13．化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7
所得结果为 A ．sin π7 B.12sin π7
C ．－12
D ．－12cos π7
14．函数y ＝sin2x ＋sin 2x＋π3 cos2x ＋cos 2x＋π3 的最小正周期是__________． 15．求证：sin αsin(60°＋α)sin(60°－α)＝14
sin3α.
能力点二：公式的综合应用
16.在△ABC 中，若sinBsinC ＝cos 2A 2
，则△ABC 是 A ．等边三角形 B ．等腰三角形
C ．不等边三角形
D ．直角三角形
17．如果向量a ＝(cos α＋sin α，2 009)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos2α
＋tan2α＋1的值是__________．
18．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：(1)A ＋C ＝2B ；(2)
1cosA ＋1cosC ＝－2cosB
，求cos A －C 2
的值．
19．已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2
)，求：2sin 2α＋tan α－cot α－1的值．
20．已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设〈AB →，AC →〉＝θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝2sin 2(π6＋θ)－cos2θ的最大值与最小值．
答案与解析
1．A sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos2α－cos2β)
＝－12
[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝－(cos 2α－cos 2β)＝－m. 2．A 原式＝12[sin90°＋sin(－50°)]＋12
(－cos60°＋cos40°) ＝12－12sin50°＋12cos40°－14
＝14
. 3．C cosAsinC ＝12[sin(A ＋C)－sin(A －C)]＝14－12
sin(A －C)， ∵－1≤sin(A－C)≤1，
∴cosAsinC∈[－14，34
]． 4．B
5．π
6．B
7．C y ＝1＋cos 2x ＋π6 2＋1－cos 2x ＋π6 2
－1 ＝12[cos(2x －π6)－cos(2x ＋π6)]＝－sin2x·sin(－π6)＝12
sin2x ， ∴函数是周期为π的奇函数．
8．－sin θ
9．解：原式 ＝(cosx ＋cos4x)＋(cos2x ＋cos3x)
＝2cos 52xcos 32x ＋2cos 52xcos x 2
＝2cos 52x(cos 32x ＋cos x 2
) ＝4cos 52x·cosx·cos x 2
. 10．解：(1)sin122°＋sin36°＝2sin
122°＋36°2·cos 122°－36°2
＝2sin79°·cos43°；
(2)sin75°－sin15°＝2cos 75°＋15°2·sin 75°－15°2＝2cos45°·sin30°＝22
； (3)cos75°－cos23°
＝－2sin 75°＋23°2sin 75°－23°2
＝－2sin49°·sin26°.
能力提升
11．B 根据和差化积公式与积化和差公式，只有⑤正确．
12．A f(x)＝asinx ＋asin[π2－(x －π6)]＝a[sinx ＋sin(－x ＋2π3)]＝2asin π3
cos(x
－π3)＝3acos(x －π3)， ∴3a ＝6，a ＝ 2.
13．C 原式＝
cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7 sin π7sin π7
＝
12 sin 3π7－sin π7＋sin 5π7－sin 3π7＋sin π－sin 5π7
sin π7
＝－12sin π7sin π7
＝－12.
14.π2 sin2x ＋sin 2x＋π3
cos2x ＋cos 2x＋π3
＝sin2x ＋12sin2x ＋32cos2x
cos2x ＋1
2cos2x －3
2sin2x
＝3 32sin2x ＋1
2cos2x
3 32cos2x －1
2sin2x
＝sin 2x＋π6 cos 2x＋π6
＝tan(2x ＋π
6)，
∴y＝tan(2x ＋π6)，T ＝π
2.
15．证明：左边＝sin α·(－1
2)(cos120°－cos2α)
＝1
4sin α＋1
2sin αcos2α
＝1
4sin α＋14[sin3α＋sin(－α)]
＝1
4sin α＋14sin3α－1
4sin α
＝1
4sin3α.
∴左边＝右边，原等式成立．
16．B 在△ABC 中，
∵sinBsinC＝cos 2A 2，
∴sinBsinC＝1＋cosA 2，
即2sinBsinC ＝1－cos(B ＋C)．
∴cos(B－C)＝1.
∴B－C ＝0，即B ＝C.
17．2 010 ∵a ∥b ，
∴cos α＋sin α－2 009(cos α－sin α)＝0，
即cos α＋sin α
cos α－sin α＝2 009.
又1
cos2α＋tan2α＋1＝1cos2α＋sin2α
cos2α＋1
＝1＋sin2α
cos2α＋1
＝sin 2
α＋cos 2α＋2sin αcos α
cos 2α－sin 2α＋1
＝cos α＋sin α
cos α－sin α＋1＝2 009＋1
＝2 010.
18．解：由题设条件知B ＝60°，A ＋C ＝120°， ∵－2
cos60°＝－22，
∴1
cosA ＋1
cosC ＝－2 2.
∴cosA＋cosC ＝－22cosAcosC.
利用和差化积及积化和差公式得
2cos A ＋C 2cos A －C
2＝－2[cos(A ＋C)＋cos(A －C)]， ∴cos A －C
2＝－2(－12＋2cos 2A －C
2－1)，
化简得42cos 2A －C
2＋2cos A －C
2－32＝0， 又(2cos A －C 2－2)(22cos A －C
2＋3)＝0， ∵22cos A －C
2＋3≠0，
∴cos A －C 2＝2
2. 19．解：由已知，得
－1
2(cos π2－cos4α)＝1
4，
∴cos4α＝12.
∵α∈(π4，π2)，
∴4α∈(π，2π)．
∴4α＝5π3.
∴2α＝5π6.
∴2sin 2α＋tan α－cot α－1
＝2sin 2α＋sin αcos α－cos α
sin α－1
＝1－cos2α＋sin 2α－cos 2
α
sin αcos α－1
＝－cos2α－cos2α
12sin2α
＝－cos 5π6－
2cos 5
π6
sin 5π6
＝32＋2×3212＝53
2.
拓展探究
20．解：(1)设△ABC 的角A 、B 、C 所对应的边的边长分别为a 、b 、c. 则S △ABC ＝1
2bcsin θ＝3.
∴bc＝6
sin θ.①
由已知：0≤AB →·AC →≤6，
得0≤bccos θ≤6，② 将①代入②得0≤6cos θ
sin θ≤6，
即0≤cot θ≤1，又θ为△ABC 的内角，
∴θ∈[π4，π
2]．
(2)f(θ)＝1－cos(π
3＋2θ)－cos2θ
＝1－2cos(2θ＋π6)cos π
6
＝1－3cos(2θ＋π6)，
由(1)知π4≤θ≤π2，
∴π2≤2θ≤π. ∴2π3≤2θ＋π6≤7π6.
∴－1≤cos(2θ＋π6)≤－12. ∴－3≤3cos(2θ＋π6)≤－3
2.
∴当θ＝5π
12时，y max ＝1＋3， 当θ＝π2时，y min ＝1＋3
2.。