【中考数学二轮复习】_专题研究五__几何探究题类型二平移变换问题

中考数学复习_专题题型研究

题型五几何探究题

类型二平移变换问题

针对演练

1. 如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝

2.边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.

(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数解析式，并求出y的最大值．

第1题图

2. (2017攀枝花)如图①，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴、y 轴交于点M(6，0)、N(0，23)，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上．将等边△ABC从图①的位置沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F(如图②所示)，设△ABC平移的时间为t(s)．

(1)等边△ABC的边长为________；

(2)在运动过程中，当t＝________时，MN垂直平分AB；

(3)若在△ABC开始平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BA—AC运动，当点P运动到C时即停止运动，△ABC也随之停止平移．

①当点P 在线段BA 上运动时，若△PEF 与△MNO 相似，求t 的值； ②当点P 在线段AC 上运动时，设S △PEF ＝S ，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点P 的坐标．

第2题图 答案

1. 解：(1)四边形APQD 为平行四边形； (2)OA ＝OP ，OA ⊥OP ，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB ＝BC ＝PQ ，∠ABO ＝∠OBQ ＝45°， ∵OQ ⊥BD ， ∴∠PQO ＝45°，

∴∠ABO ＝∠OBQ ＝∠PQO ＝45°， ∴OB ＝OQ ，

在△AOB 和△OPQ 中， ⎩⎪⎨⎪

⎧AB ＝PQ ∠ABO ＝∠PQO BO ＝QO

， ∴△AOB ≌△POQ (SAS )， ∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ ， ∴∠AOP ＝∠BOQ ＝90°， ∴OA ⊥OP ；

(3)过O 作OE ⊥BC 于E .

①如解图①，当P 点在B 点右侧时，

第1题解图①

则BQ ＝x ＋2，OE ＝x ＋2

2，

∴y ＝12×x ＋22·x ，

即y ＝14(x ＋1)2

－14，

又∵0≤x ≤2，

∴当x ＝2时，y 有最大值2; ②如解图②，当P 点在B 点左侧时， 则BQ ＝2－x ，OE ＝

2－x

2

， ∴y ＝12×2－x 2·x ，

即y ＝－14(x －1)2

＋14，

又∵0≤x ≤2，

∴当x ＝1时，y 有最大值为1

4；

综上所述，当x ＝2时，y 有最大值为2.

第1题解图②

2. 解：(1)3，

【解法提示】∵点M (6，0)，N (0，23)，∴OM ＝6，ON ＝23，∴MN ＝62＋（23）2＝43，∴sin ∠NMO ＝1

2，∠NMO ＝30°，∵∠ABC ＝

60°，

∴∠BAM ＝90°，即AB ⊥MN ，∴AB ＝1

2OM ＝3，即等边三角形边长为

3.

(2)3，

【解法提示】由等边三角形的性质易知当MN 垂直平分AB 时，C 点与M 点重合，∵等边三角形ABC 的边长为3，∴BC ＝3，∵OM ＝6，∴MB ＝3，∴OB ＝OM －MB ＝3，即t ＝3.

(3)①当P 点在线段AB 上运动时， 则OB ＝t ，BP ＝2t ， 则BM ＝6－t ，PA ＝3－2t ， △PEF 与△MNO 相似分为

△PEF ∽△NOM 或△PEF ∽△MON 两种对应情况， 当△PEF ∽△MON 时，如解图①，

第2题解图①

则∠EPF ＝∠EFA ＝∠EMB ＝30°， ∴AE ＝12AF ＝14AP ＝3－2t

4，

BE ＝12BM ＝6－t

2

，

又BE ＝AB －AE ＝3－

3－2t

4

， ∴3－

3－2t 4＝6－t 2，解得t ＝3

4

； 当△PEF ∽△NOM 时，若点P 在线段BE 上，如解图②，

第2题解图②

则∠PFE ＝∠NMO ＝30°，则PF ∥OM , ∴△PAF 是等边三角形， ∴EF 垂直平分PA ， ∴BE ＝BP ＋12PA ＝t ＋3

2，

又BE ＝12MB ＝6－t

2，

∴32＋t ＝6－t

2

，解得t ＝1； 当△PEF ∽△NOM 时，若点P 在线段AE 上，则P 点与A 点重合，即t ＝

32

； 综上所述：t ＝34或1或3

2

；

②当点P 在线段AC 上运动时，则BM ＝6－t ，PC ＝6－2t ，3

2≤t ≤3.

∴BE ＝12BM ＝3－t 2，即AE ＝t

2，

∴EF ＝3AE ＝3

2

t ，AF ＝2AE ＝t ，

∴CF ＝AC －AF ＝3－t ，∴PF ＝PC －CF ＝3－t . 如解图③，作PH ⊥EF 于H 点，由∠AFE ＝30°，

第2题解图③

可知PH ＝12PF ＝3－t

2

，

S △PEF ＝12EF ·PH ＝12×32t ×3－t

2

＝－

38t 2＋338t ＝－

38(t －32)2＋9332