江苏省高邮市界首中学高三数学二轮复习 解答题训练(2)(教师版)

解答题训练（2）
1．已知△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，面积为ABC S ∆，且()
222,2b c a =+--m ， ()sin ,ABC A S ∆=n ，⊥m n ．
（1）求函数()()4sin cos 2A f x x x =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣
⎦上的值域； （2）若a =3，且()π1sin 33
B +=，求b ． 1.解：（1）由题设得：()
222sin 20ABC b c a A S ∆⋅=+--=m n ，∴2c o s s i n s i n 0b c A A b c A -= 即1cos 2A =，∵()0,πA ∈， ∴π3
A =； ∴()()()ππ4sin cos 2sin 2166
f x x x x =-=-- ∵ π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， ∴()1πsin 2126x -≤-≤； ∴()21f x -≤≤；∴()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域为[]2,1-． （2）∵20B π<<，∴πππB <+<， ∵(
)π1sin 33B +=，∴πππ23B <+<，∴(
)πcos 3B +=． ∴(
)ππsin sin 33B B ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦
， ∴
sin sin a b B A =． 2. 如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=， BE 与平面ABCD 所成角为060.
(1)求证：AC ⊥平面BDE ；（2）设点M 是线段BD 上一个动点，
试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.
2.(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ， 所以AC DE ⊥. ……………………2分
因为ABCD 是正方形，
所以BD AC ⊥，因为DE BD D ⋂=………………4分 从而AC ⊥平面BDE . ……………………6分
（2）当M 是BD 的一个三等分点，即3BM ＝BD 时，AM ∥平面BEF ． …………7分 取BE 上的三等分点N ，使3BN ＝BE ，连结MN ，NF ，则DE ∥MN ，且DE ＝3MN ， 因为AF ∥DE ，且DE ＝3AF ，所以AF ∥MN ，且AF ＝MN ，
故四边形AMNF 是平行四边形． ……………………………………10分 所以AM ∥FN ，
因为AM ⊄平面BEF ，FN ⊂平面BEF ， …………………………………………12分 所以AM ∥平面BEF ． …………………………………………14分
3. 已知0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l ， A B
C D F E
且1l ∥2l .
（1）判断函数()f x 的奇偶性；并判断,A B 是否关于原点对称；
（2）若直线12,l l 都与AB 垂直，求实数b 的取值范围.
3.解：（1）()()()()
()x f bx ax x b x a x f -=--=---=-33 ，……2分 ()x f ∴为奇函数.……3分
设()()2211,,,y x B y x A 且21x x ≠,又()b ax x f -='23，……5分
()x f 在两个相异点,A B 处的切线分别为12,l l ,且1l ∥2l ，
∴()()()22111222330k f x ax b k f x ax b a ''==-===->，
∴2221x x =又21x x ≠，∴21x x -=，……6分 又()f x 为奇函数， ∴点B A ,关于原点对称．……7分
（2）由（1）知()()1111,,,y x B y x A --， ∴b ax x y k AB -==211
1，……8分 又()x f 在A 处的切线的斜率()b ax x f k -='=2113， 直线12,l l 都与AB 垂直,
∴()()22111,
31AB k k ax b ax b ⋅=--⋅-=-，……9分 令021≥=ax t ，即方程014322=++-b bt t 有非负实根，……10分
∴302
≥⇒≥∆b ，又212103b t t +=> ， ∴0034>⇒>b b ．综上3≥b ．……14分
4. 已知椭圆()22
220y x C a b a b
：+＝1＞＞A 的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，.
（1）求椭圆C 和直线的方程；
（2）记曲线C 在直线下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若 曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．
4.解：（1）由离心率e =223a b =. ① 又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即22
22(3)(1)1a b
--=+. ②
解①②得22
124a b ==，，故所求椭圆方程为22
1124y x +=. 由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-.
（2）曲线2222440x mx y y m -+++-=， 即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径
r =，表示圆心在直线2y =-上，半径为. 由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形.
设G 与直线l 相切于点T ，
=，得4m =±，
当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，
解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩
，得(24)T --，. 因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，， 所以切点T D ∉，由图可知当G 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，
解得min 1m =-.。